3.5探索与表达规律 同步达标测评 2021-2022学年北师大版七年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．观察下列各式及其展开式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（　　）
A．36 B．45 C．55 D．66
2．将从1开始的连续自然数按图表所示规律排列：规定位于第a行，第b列的自然数记为（a，b）．例如，自然数10记为（3，2），自然数14记为（4，3）…按此规律，自然数2021记为（　　）
A．（505，1） B．（505，4） C．（506，1） D．（506，4）
3．下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：；
第2个数：；
第3个数：；
…
第n个数：．
那么，在第10个数，第11个数，第12个数，第13个数中，最大的数是（　　）
A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数
4．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（　　）
A． B． C． D．
5．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2020个格子中的数为（　　）
3 a b c ﹣1 2 …
A．3 B．2 C．0 D．﹣1
6．如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是（　　）
A．48 B．56 C．63 D．74
7．对于每个正整数n，设f（n）表示n（n+1）的末位数字．
例如：f（1）＝2（1×2的末位数字），f（2）＝6（2×3的末位数字），f（3）＝2（3×4的末位数字），…则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2022）的值为（　　）
A．6 B．4042 C．4048 D．6748
二．填空题（共12小题，满分60分）
8．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400＝　 　．
9．设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014＝69，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2＝4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是　 　．
10．观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝﹣；
第2个等式：a2＝＝﹣；
第3个等式：a3＝＝﹣；
第4个等式：a4＝＝﹣．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：an＝　 　＝　 　；
（2）式子a1+a2+a3+…+a20＝　 　．
11．已知：，，，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C＝　 　．
12．观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是　 　．
13．观察下列各式：
13＝12
13+23＝32
13+23+33＝62
13+23+33+43＝102
…
猜想13+23+33+…+103＝　 　．
14．按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 　 　．
15．让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12+1，将所得结果记为a1；
第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1，结果为a2；
第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32+1，结果为a3；
…
依此类推，则a2020＝　 　．
16．将连续正整数按如下规律排列：
若正整数565位于第a行，第b列，则a+b＝　 　．
17．判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾（这个数的末位数字）后所得到的数与此一节尾的5倍的和能否被7整除．如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除．如126，去掉6后得12，12+6×5＝42，42能被7整除，则126能被7整除．类似地，还可通过看去掉该数的一节尾后与此一节尾的n倍的差能否被7整除来判断，则n＝　 　（n是整数，且1≤n＜7）．
18．自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R，它会掉入一个数字“陷阱”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”．那么最终掉入“陷阱”的这个固定不变的数R＝　 　．
19．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝　 　，我们称它为数字“黑洞”．T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！
三．解答题（共3小题，满分25分）
20．观察算式：1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52，…
（1）请根据你发现的规律填空：6×8+1＝（　 　）2；
（2）用含n的等式表示上面的规律：　 　；
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）
21．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
……
（1）计算＝　 　；
（2）探究＝　 　；（用含有n的式子表示）
（3）若的值为，求n的值．
22．阅读下列材料：
1×2＝（1×2×3﹣0×1×2），
2×3＝（2×3×4﹣1×2×3），
3×4＝（3×4×5﹣2×3×4），
由以上三个等式相加，可得：
1×2+2×3+3×4＝×3×4×5＝20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；
（2）计算：1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）；
（3）计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9．
参考答案
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．解：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（a+b）7＝a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；
第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；
第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；
第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，
则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．
故选：B．
2．解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．
∵2021÷4＝505……1，
505+1＝506，
∴2021在第506行，
∵偶数行的数字从左往右是由大到小排列，
∴自然数2021记为（506，4）．
故选：D．
3．解：第1个数：＝＝0；
第2个数：＝＝﹣；
第3个数：＝；
按此规律，第n个数：＝﹣＝．
可得：n越大，第n个数越小，所以选A．
故选：A．
4．解：根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于﹣的结果再乘，
则第8行第3个数（从左往右数）为（﹣）×＝；
故选：B．
5．解：已知其中任意三个相邻格子中 所填整数之和都相等，
则，3+a+b＝a+b+c，a+b+c＝b+c﹣1，
所以a＝﹣1，c＝3，
按要求排列顺序为，3，﹣1，b，3，﹣1，b，…，
再结合已知表得：b＝2，
所以每个小格子中都填入一个整数后排列是：
3，﹣1，2，3，﹣1，2，…，
得到：每3个数一个循环，
则：2020÷3＝673余1，
因此第2020个格子中的数为3．
故选：A．
6．解：方法一：
从方格上方的数的数1、3、5、可以推出m＝7，
第一个方格中：3＝1×2+1，
第二个方格中：15＝3×4+3，
第三个方格中：35＝5×6+5，
∴第四个方格中：n＝7×8+7＝63．
故选：C．
方法二：从数字的特点看，n等于左边一个数的平方减1即可，
即n＝82﹣1＝63，
故选：C．
7．解：∵f（1）＝2（1×2的末位数字），f（2）＝6（2×3的末位数字），f（3）＝2（3×4的末位数字），f（4）＝0，
f（5）＝0，f（6）＝2，f（7）＝6，f（8）＝2，f（9）＝0，…，
∴每5个数一循环，分别为2，6，2，0，0…
∴2022÷5＝404..2
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2022）
＝2+6+2+0+0+2+6+2+…+2+6
＝404×（2+6+2）+8
＝4048．
故选：C．
二．填空题（共12小题，满分60分）
8．解：∵；；；…
∴；
∴．
故答案为：1.6×105或160000．
9．解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2＝a12+a22+…+a20142+2（a1+a2+…+a2014）+2014
＝a12+a22+…+a20142+2×69+2014
＝a12+a22+…+a20142+2152，
设有x个1，y个﹣1，z个0
∴，
化简得x﹣y＝69，x+y＝1849，
解得x＝959，y＝890，z＝165
∴有959个1，890个﹣1，165个0，
故答案为：165．
10．解：（1）用含n的代数式表示第n个等式：an＝＝﹣．
（2）a1+a2+a3+…+a20
＝﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣．
故答案为：（1），﹣；
（2）﹣．
11．解：
；
；
；
…；
C106＝＝210．
12．方法一：
解：因为每个数n都连续出现n次，可得：
1+2+3+4+…+x＝119+1，
解得：x＝15，
所以第119个数是15．
方法二：
解：设这一组数的第119个数是x，则：
1+2+3+4+…+x﹣1＜119＜1+2+3+4+…+x
即：＜119＜，
解得：x＝15
故答案为：15．
13．解：根据数据可分析出规律为从1开始，连续n个数的立方和＝（1+2+…+n）2
所以13+23+33+…+103＝（1+2+3…+10）2＝552．
14．解：∵21×22＝23，22×23＝25，23×25＝28，25×28＝213，…，
∴x、y、z满足的关系式是：xy＝z．
故答案为：xy＝z．
15．解：∵26，65，122每3个数一循环，2020÷3＝673…1，
∴a2020＝a1＝26．
16．解：∵565÷4＝141…1，
∴正整数565位于第142行，
即a＝142；
∵奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小，
∴正整数565位于第五列，
即b＝5，
∴a+b＝142+5＝147．
故答案为：147．
17．解：∵和的时候，是尾数的5倍，
能被7整除，
任意一个正整数写成P＝10a+b，b是P的个位数．
根据已知结论，P是7的倍数等价于a+5b是7的倍数，而a+5b＝a﹣2b+7b，
a+5b和a﹣2b相差7的倍数，所以它们两个同时是7的倍数或者同时不是7的倍数．
因此n＝2符合要求．
∴差的时候，应是尾数的2倍，
∴n＝2．
故填2．
18．解：随便写出一个自然数，按照题中的做法可知，这个固定不变的数R＝13．
19．解：用12验证
1×1×1+2×2×2＝9 9×9×9＝729，
7×7×7+2×2×2+9×9×9＝1080，
1+8×8×8＝513，
5×5×5+1+3×3×3＝153，
故T＝153．
三．解答题（共3小题，满分25分）
20．解：（1）∵1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52，…
∴6×8+1＝72，
故答案为：7；
（2）根据已知中数据的变化规律得出：n（n+2）+1＝（n+1）2；
故答案为：n（n+2）+1＝（n+1）2；
（3）原式＝
＝
＝2×
＝．
21．解：（1）原式＝1﹣﹣+﹣+﹣+﹣＝1﹣＝；
（2）原式＝1﹣﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；
（3）
＝+…+
＝＝
由＝，解得n＝17，
经检验n＝17是方程的根，
∴n＝17．
22．解：1×2＝（1×2×3﹣0×1×2）；
2×3＝（2×3×4﹣1×2×3）；
3×4＝（3×4×5﹣2×3×4）；…
10×11＝（10×11×12﹣9×10×11）；…
n×（n+1）＝[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]．
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
＝（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11）
＝（10×11×12）＝440；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）
＝（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]＝[n×（n+1）×（n+2）]；
（3）1×2×3＝（1×2×3×4﹣0×1×2×3）；
2×3×4＝（2×3×4×5﹣1×2×3×4）；
3×4×5＝（3×4×5×6﹣2×3×4×5）；…
7×8×9＝（7×8×9×10﹣6×7×8×9）；
∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9
＝（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（7×8×9×10﹣6×7×8×9）；
＝（7×8×9×10）＝1260．