2021-2022学年鲁教版九年级数学上册第2章 直角三角形的边角关系期中复习测评（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版九年级数学上册第2章 直角三角形的边角关系期中复习测评（word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 421.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-02 13:43:26 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》
期中复习测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，BC＝6，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．4
2．一辆汽车在坡角为α的坡面上行驶3000米，则它上升的高度为（ ）
A．3000cosα米 B．米 C．米 D．3000sinα米
3．如图，△ABC在网格（小正方形的边长均为1）中，则cos∠ABC的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．如图，沿AC的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，从AC上取一点B，取∠ABD＝148°，已知BD＝600米，∠D＝58°，DE⊥AE，点A、C、E在同一直线上，那么开挖点E离点D的距离是（ ）
A．600sin58°米 B．600cos58°米 C．600tan58°米 D．米
如图，图①是一种携带方便的折叠凳子，图②是它的侧面图示，已知凳腿AD＝BC＝4分米，当凳腿AD与水平地面CD的夹角为α时人坐着最舒服，此时凳面AB离地面CD的高度为（ ）
A．4sinα分米 B．4cosα分米 C．分米 D．分米
7．如图，将道具△ABC斜靠在墙OE上，已知∠ACB＝90°，测得∠CAO＝α，∠BAC＝β，CO＝m，则AB的长为（ ）
A． B． C．m sinα cosβ D．
8．如图，一根3米长的竹竿AB斜靠在墙边（∠O＝90°），倾斜角为α，当竹竿的顶端A下滑到点A′时，底端B向右滑到了点B'，此时倾斜角为β，则BB'的长为（ ）
A．（3sinα﹣3sinβ）米 B．（3sinβ﹣3sinα）米
C．（3cosα﹣3cosβ）米 D．（3cosβ﹣3cosα）米
9．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP是（ ）
A．3.5海里 B．4海里 C．7海里 D．14海里
10．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（ ）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）
A．188m B．269m C．286m D．312m
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为 ．
12．如图，河坝的横断面AB的坡比是1：2，坝高BC＝3米，则坡面AB的长度是 米．
13．如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是 m．
14．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点A，B和C，D，AB与CD相交于点E，则tan∠AEC＝ ．
15．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12m，则大厅两层之间高度为 m．（结果保留一位小数）（参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.867，tan31°≈0.601）
16．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长是40m，则水库大坝的高度h是 m．（结果保留根号）
17．我校兴趣小组同学为测量校外的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到20米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为 .（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
18．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向．当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为 米．
19．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为 ．
20．如图，在△ABC中，过点A作AD⊥AB交BC于点D，点D是BC的中点，AB＝3，AD＝4，则tan∠CAD的值为 ．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．
（1）求BE的长；
（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．
22．小明同学借助无人机测量如意湖的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得下方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行60米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上其中tanα＝2，MC＝50米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
23．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD．（结果保留根号）
24．如图，在树正东方向两个相距8m的A，B两点处，分别测得树顶端D的仰角为37°，45°，在树的正西方向的C处测得树顶端D的仰角是64°．求B，C之间的距离BC．（参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.0，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
25．如图，在建筑物DF的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡AB的坡比为i＝5：12，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角α为35°，然后小李沿斜坡AC走了2米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角β为18°，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离DE长度为28.8米．（参考数据：cos35°≈，tan35°≈，cos18°≈，tan18°≈）
（1）求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米．
（2）求建筑物DF的高度．
26．一辆自行车竖直摆放在水平地面上如图所示，右边是它的示意图，横梁AC平行于水平面MN，现测得BC＝80cm，∠CAB＝60°，∠ACB＝50°，B到MN的距离BE＝30cm，AD为可调节高度，经研究发现，当坐垫高度为身高的0.6倍时，骑行者最舒适，现一身高170cm的同学骑车，当AD长约为多少时，可以使骑行者最舒适？（结果保留一位小数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：在△ABC中，∠A＝90°，
∵sinB＝＝，BC＝6，
∴＝，
∴AC＝2，
故选：A．
2．解：由题意得：∠B＝α，AB＝3000米，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，
∴AC＝AB sinB＝3000 sinα（米），
故选：D．
3．解：作AD⊥BC交BC延长线于D，如图所示：
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝3，BD＝4，
∴AB＝＝5，
∴cos∠ABC＝＝．
故选：D．
4．解：延长AD、BC，两线交于O，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，
由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：D．
5．解：∵∠DBE＝180°﹣∠ABD＝180°﹣148°＝32°，
∴∠E＝180°﹣32°﹣58°＝90°，
∴△BDE是直角三角形，
∵BD＝600米，cos∠D＝，
∴开挖点E离点D的距离DE＝600cos58°米．
故选：B．
6．解：连接AC、BD，
∵AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ACDB为矩形，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝α，AD＝4分米，
∴AC＝AD sin∠ADC＝4sinα（分米），
故选：A．
7．解：∵∠CAO＝α，CO＝m，∠ACB＝90°，
∴AC＝，
∵∠BAC＝β，
∴AB＝，
故选：D．
8．解：∵一根3米长的竹竿AB斜靠在墙边（∠O＝90°），倾斜角为α，∠O＝90°，
∴cosα＝，
∴OB＝AB cosα＝3cosα（米），
同理可得OB'＝AB cosβ＝3cosβ（米），
∴BB'＝OB'﹣OA＝3cosβ﹣3cosα（米），
故选：D．
9．解：如图，过P作PD⊥AB于点D，
∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°，
且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°，
∴∠PAB＝∠APB，
∴BP＝AB＝7（海里）．
解法二：由题意，∠PAB＝90°﹣75°＝15°，∠ABP＝150°，
∴∠APB＝180°﹣15°﹣150°＝15°，
∴∠PAB＝∠APB，
∴BP＝AB＝7（海里）．
故选：C．
10．解：由题意得：∠N＝43°，∠M＝35°，AO＝135m，BO＝AO﹣AB＝95m，
在Rt△AON中，
tanN＝＝tan43°，
∴NO＝≈150m，
在Rt△BOM中，
tanM＝＝tan35°，
∴MO＝≈135.7（m），
∴MN＝MO+NO＝135.7+150≈286（m）．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：过点B作AC边的高BD，
Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，
∴BD＝AD＝4，
在Rt△BDC中，BC＝4，
∴CD＝＝5，
①△ABC是钝角三角形时，
AC＝AD﹣CD＝1，
∴S△ABC＝AC BD＝＝2；
②△ABC是锐角三角形时，
AC＝AD+CD＝7，
∴S△ABC＝AC BD＝×7×4＝14，
故答案为：2或14．
12．解：∵河坝的横断面AB的坡比是1：2，
∴＝，
∵BC＝3米，
∴AC＝6米，
由勾股定理得：AB＝＝＝3（米），
故答案为：3．
13．解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝150m，
∴CD＝AD tan30°＝150×＝50（m），
∴AH＝CD＝50m．
在Rt△ABH中，
∵∠BAH＝30°，AE＝50m，
∴BH＝AH tan30°＝50×＝50（m），
∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m），
答：这栋楼的高度为100m．
故答案为：100．
14．解：连接格点AF、BF．
∵AC∥DF，AC＝DF＝1，
∴四边形ACDF是平行四边形．
∴AF∥CD．
∴∠FAB＝∠CEA．
∵AF＝2，BF＝，AB＝，
∴AB2＝AF2+BF2．
∴△AFB是直角三角形．
∴tan∠CEA
＝tan∠FAB
＝
＝
＝．
故答案为：．
15．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝31°，AB＝12m，
则BC＝AB sin∠BAC≈12×0.515≈6.2（m），
故答案为：6.2．
16．解：如图，作CH⊥AB于点H．
∵∠ABC＝135°，
∴∠CBH＝45°，
∴CH＝BC sin45°＝40×＝20（m），
故答案为：20．
17．解：作AH⊥ED交ED的延长线于H，
设DE＝x米，
∵CD的坡度：i＝1：2，
∴CE＝2x米，
由勾股定理得，DE2+CE2＝CD2，即x2+（2x）2＝（20）2，
解得，x＝20（负值舍去），
则DE＝20米，CE＝40米，
设AB＝y米，则HE＝y米，
∴DH＝（y﹣20）米，
∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝y，
∴AH＝BE＝y+40，
在Rt△AHD中，tan∠DAH＝，
则≈0.4，
解得，y＝60，
∴高楼AB的高度为60米，
故答案为：60米．
18．解：如图，过C作东西方向线的平行线交过A的南北方向线AE于B，过M作MN⊥AC交于N点，
则MN最短，
∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，
∴∠CAM＝30°，
∴∠AMN＝60°，
又∵C处看M点为北偏西60°，
∴∠FCM＝60°，
∴∠MCB＝30°，
∵∠EAC＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠BCA＝30°，
∴∠MCA＝∠MCB+∠BCA＝60°，
∴∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，
∴MC＝AC＝1000，∠CMN＝30°，
∴NC＝MC＝500，
∵AC＝2000米，
∴AN＝AC﹣NC＝2000﹣500＝1500（米），
即该小区M铺设的管道最短时，AN的长为1500米，
故答案为：1500．
19．解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．
∵∠ABC＝45°，
∴45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，
∴∠D＝22.5°，
设AC＝1，则BC＝1，AB＝AC＝，
∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝1+，
∴tan22.5°＝tanD＝＝＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
20．解：如图，过点C作CE⊥AD延长线于点E，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠E＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD＝ED＝4，AB＝CE＝3，
∴AE＝AD+DE＝8，
在Rt△ACE中，tan∠CAD＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°．
在Rt△BED中，
∵cos∠ABC＝，
∴BE＝cos45° 3＝ 3＝3．
（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．
∴∠EDB＝45°．
∴BE＝DE＝3．
∵sin∠DAB＝＝，
∴AD＝5．
∴AE＝＝4．
∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．
∴S△ABD＝AB DE＝．
∵AD是BC边上的中线，
∴S△ADC＝S△ABD＝．
22．解：过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知，
∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝60米，
（1）在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝2，MC＝50米，
∴AM＝2MC＝100＝BN，
答：无人机的飞行高度AM为100米；
（2）在Rt△BND中，
∵tan∠BDN＝，即：tan30°＝，
∴DN＝300米，
∴DM＝DN+MN＝300+60＝360（米），
∴CD＝DM﹣MC＝360﹣50≈274（米），
答：河流的宽度CD约为274米．
23．解：作BF⊥CD于点F，设DF＝x米，
在Rt△DBF中，tan∠DBF＝，
则BF＝＝x（米），
在直角△DCE中，DC＝x+CF＝（2+x）米，
在直角△DCE中，tan∠DEC＝，
∴EC＝（x+2）米．
∵BF﹣CE＝AE，即x﹣（x+2）＝8．
解得：x＝4+1，
则CD＝4+1+2＝（4+3）米．
答：CD的高度是（4+3）米．
24．解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，
根据题意可知：AB＝8m，∠DAE＝37°，∠DBE＝45°，∠DCE＝64°，
∴DE＝BE，
∴AE＝AB+BE＝8+DE，
在Rt△ADE中，DE＝AE×tan∠DAE，
∴DE≈（8+DE）×0.75，
解得DE＝24（m），
在Rt△DCE中，DE＝CE×tan∠DCE，
∴24≈CE×2.0，
解得CE＝12（m），
∴BC＝CE+BE＝CE+DE＝12+24＝36（m）．
答：B，C之间的距离BC为36m．
25．解：（1）过A作AG⊥BC于G，如图所示：
∵AB的坡比i＝5：12＝，
设AG＝5x米，则BG＝12x米，
在Rt△ABG中，，
∴x＝2，
∴AG＝10（米），
答：小李从斜坡B走到A处高度上升了10米．
（2）过A作AH⊥DF于H，
在Rt△ACG中，（米），
设EF＝m米，
在Rt△CEP中，β＝18°，
∵，
∴CF＝3（米），
∵四边形AGFH是矩形，
∴AH＝GF＝GC+CF＝（8+3m）米，
又∵DH＝DE+EH＝DE+（EF﹣HF）＝28.8+m﹣10＝（18.8+m）米，
在Rt△AHD中，α＝35°，
∵，
∴，
解得：m＝12，
∴EF＝12米，
∴DF＝DE+EF＝28.8+12＝40.8（米），
答：建筑物DF的高度约为40.8米．
26．解：过点D作DH⊥AC于点H，延长EB交AC于T，过点D作DG⊥EB于点G，
在Rt△BCT中，BT＝BC sin50°≈61.6（cm），
∵EG＝170×0.6＝102cm，
∴GT＝EG﹣ET＝102﹣61.6﹣30＝10.4（cm），
∵四边形DHTG是矩形，
∴DH＝GT＝10.4（cm），
在Rt△ADH中，AD＝＝≈12.0（cm）
答：AD的长约为12.0cm．
期中复习测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，BC＝6，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．4
2．一辆汽车在坡角为α的坡面上行驶3000米，则它上升的高度为（ ）
A．3000cosα米 B．米 C．米 D．3000sinα米
3．如图，△ABC在网格（小正方形的边长均为1）中，则cos∠ABC的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．如图，沿AC的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，从AC上取一点B，取∠ABD＝148°，已知BD＝600米，∠D＝58°，DE⊥AE，点A、C、E在同一直线上，那么开挖点E离点D的距离是（ ）
A．600sin58°米 B．600cos58°米 C．600tan58°米 D．米
如图，图①是一种携带方便的折叠凳子，图②是它的侧面图示，已知凳腿AD＝BC＝4分米，当凳腿AD与水平地面CD的夹角为α时人坐着最舒服，此时凳面AB离地面CD的高度为（ ）
A．4sinα分米 B．4cosα分米 C．分米 D．分米
7．如图，将道具△ABC斜靠在墙OE上，已知∠ACB＝90°，测得∠CAO＝α，∠BAC＝β，CO＝m，则AB的长为（ ）
A． B． C．m sinα cosβ D．
8．如图，一根3米长的竹竿AB斜靠在墙边（∠O＝90°），倾斜角为α，当竹竿的顶端A下滑到点A′时，底端B向右滑到了点B'，此时倾斜角为β，则BB'的长为（ ）
A．（3sinα﹣3sinβ）米 B．（3sinβ﹣3sinα）米
C．（3cosα﹣3cosβ）米 D．（3cosβ﹣3cosα）米
9．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP是（ ）
A．3.5海里 B．4海里 C．7海里 D．14海里
10．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（ ）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）
A．188m B．269m C．286m D．312m
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为 ．
12．如图，河坝的横断面AB的坡比是1：2，坝高BC＝3米，则坡面AB的长度是 米．
13．如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是 m．
14．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点A，B和C，D，AB与CD相交于点E，则tan∠AEC＝ ．
15．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12m，则大厅两层之间高度为 m．（结果保留一位小数）（参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.867，tan31°≈0.601）
16．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长是40m，则水库大坝的高度h是 m．（结果保留根号）
17．我校兴趣小组同学为测量校外的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到20米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为 .（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
18．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向．当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为 米．
19．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为 ．
20．如图，在△ABC中，过点A作AD⊥AB交BC于点D，点D是BC的中点，AB＝3，AD＝4，则tan∠CAD的值为 ．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．
（1）求BE的长；
（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．
22．小明同学借助无人机测量如意湖的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得下方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行60米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上其中tanα＝2，MC＝50米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
23．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD．（结果保留根号）
24．如图，在树正东方向两个相距8m的A，B两点处，分别测得树顶端D的仰角为37°，45°，在树的正西方向的C处测得树顶端D的仰角是64°．求B，C之间的距离BC．（参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.0，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
25．如图，在建筑物DF的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡AB的坡比为i＝5：12，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角α为35°，然后小李沿斜坡AC走了2米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角β为18°，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离DE长度为28.8米．（参考数据：cos35°≈，tan35°≈，cos18°≈，tan18°≈）
（1）求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米．
（2）求建筑物DF的高度．
26．一辆自行车竖直摆放在水平地面上如图所示，右边是它的示意图，横梁AC平行于水平面MN，现测得BC＝80cm，∠CAB＝60°，∠ACB＝50°，B到MN的距离BE＝30cm，AD为可调节高度，经研究发现，当坐垫高度为身高的0.6倍时，骑行者最舒适，现一身高170cm的同学骑车，当AD长约为多少时，可以使骑行者最舒适？（结果保留一位小数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：在△ABC中，∠A＝90°，
∵sinB＝＝，BC＝6，
∴＝，
∴AC＝2，
故选：A．
2．解：由题意得：∠B＝α，AB＝3000米，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，
∴AC＝AB sinB＝3000 sinα（米），
故选：D．
3．解：作AD⊥BC交BC延长线于D，如图所示：
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝3，BD＝4，
∴AB＝＝5，
∴cos∠ABC＝＝．
故选：D．
4．解：延长AD、BC，两线交于O，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，
由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：D．
5．解：∵∠DBE＝180°﹣∠ABD＝180°﹣148°＝32°，
∴∠E＝180°﹣32°﹣58°＝90°，
∴△BDE是直角三角形，
∵BD＝600米，cos∠D＝，
∴开挖点E离点D的距离DE＝600cos58°米．
故选：B．
6．解：连接AC、BD，
∵AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ACDB为矩形，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝α，AD＝4分米，
∴AC＝AD sin∠ADC＝4sinα（分米），
故选：A．
7．解：∵∠CAO＝α，CO＝m，∠ACB＝90°，
∴AC＝，
∵∠BAC＝β，
∴AB＝，
故选：D．
8．解：∵一根3米长的竹竿AB斜靠在墙边（∠O＝90°），倾斜角为α，∠O＝90°，
∴cosα＝，
∴OB＝AB cosα＝3cosα（米），
同理可得OB'＝AB cosβ＝3cosβ（米），
∴BB'＝OB'﹣OA＝3cosβ﹣3cosα（米），
故选：D．
9．解：如图，过P作PD⊥AB于点D，
∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°，
且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°，
∴∠PAB＝∠APB，
∴BP＝AB＝7（海里）．
解法二：由题意，∠PAB＝90°﹣75°＝15°，∠ABP＝150°，
∴∠APB＝180°﹣15°﹣150°＝15°，
∴∠PAB＝∠APB，
∴BP＝AB＝7（海里）．
故选：C．
10．解：由题意得：∠N＝43°，∠M＝35°，AO＝135m，BO＝AO﹣AB＝95m，
在Rt△AON中，
tanN＝＝tan43°，
∴NO＝≈150m，
在Rt△BOM中，
tanM＝＝tan35°，
∴MO＝≈135.7（m），
∴MN＝MO+NO＝135.7+150≈286（m）．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：过点B作AC边的高BD，
Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，
∴BD＝AD＝4，
在Rt△BDC中，BC＝4，
∴CD＝＝5，
①△ABC是钝角三角形时，
AC＝AD﹣CD＝1，
∴S△ABC＝AC BD＝＝2；
②△ABC是锐角三角形时，
AC＝AD+CD＝7，
∴S△ABC＝AC BD＝×7×4＝14，
故答案为：2或14．
12．解：∵河坝的横断面AB的坡比是1：2，
∴＝，
∵BC＝3米，
∴AC＝6米，
由勾股定理得：AB＝＝＝3（米），
故答案为：3．
13．解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝150m，
∴CD＝AD tan30°＝150×＝50（m），
∴AH＝CD＝50m．
在Rt△ABH中，
∵∠BAH＝30°，AE＝50m，
∴BH＝AH tan30°＝50×＝50（m），
∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m），
答：这栋楼的高度为100m．
故答案为：100．
14．解：连接格点AF、BF．
∵AC∥DF，AC＝DF＝1，
∴四边形ACDF是平行四边形．
∴AF∥CD．
∴∠FAB＝∠CEA．
∵AF＝2，BF＝，AB＝，
∴AB2＝AF2+BF2．
∴△AFB是直角三角形．
∴tan∠CEA
＝tan∠FAB
＝
＝
＝．
故答案为：．
15．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝31°，AB＝12m，
则BC＝AB sin∠BAC≈12×0.515≈6.2（m），
故答案为：6.2．
16．解：如图，作CH⊥AB于点H．
∵∠ABC＝135°，
∴∠CBH＝45°，
∴CH＝BC sin45°＝40×＝20（m），
故答案为：20．
17．解：作AH⊥ED交ED的延长线于H，
设DE＝x米，
∵CD的坡度：i＝1：2，
∴CE＝2x米，
由勾股定理得，DE2+CE2＝CD2，即x2+（2x）2＝（20）2，
解得，x＝20（负值舍去），
则DE＝20米，CE＝40米，
设AB＝y米，则HE＝y米，
∴DH＝（y﹣20）米，
∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝y，
∴AH＝BE＝y+40，
在Rt△AHD中，tan∠DAH＝，
则≈0.4，
解得，y＝60，
∴高楼AB的高度为60米，
故答案为：60米．
18．解：如图，过C作东西方向线的平行线交过A的南北方向线AE于B，过M作MN⊥AC交于N点，
则MN最短，
∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，
∴∠CAM＝30°，
∴∠AMN＝60°，
又∵C处看M点为北偏西60°，
∴∠FCM＝60°，
∴∠MCB＝30°，
∵∠EAC＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠BCA＝30°，
∴∠MCA＝∠MCB+∠BCA＝60°，
∴∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，
∴MC＝AC＝1000，∠CMN＝30°，
∴NC＝MC＝500，
∵AC＝2000米，
∴AN＝AC﹣NC＝2000﹣500＝1500（米），
即该小区M铺设的管道最短时，AN的长为1500米，
故答案为：1500．
19．解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．
∵∠ABC＝45°，
∴45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，
∴∠D＝22.5°，
设AC＝1，则BC＝1，AB＝AC＝，
∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝1+，
∴tan22.5°＝tanD＝＝＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
20．解：如图，过点C作CE⊥AD延长线于点E，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠E＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD＝ED＝4，AB＝CE＝3，
∴AE＝AD+DE＝8，
在Rt△ACE中，tan∠CAD＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°．
在Rt△BED中，
∵cos∠ABC＝，
∴BE＝cos45° 3＝ 3＝3．
（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．
∴∠EDB＝45°．
∴BE＝DE＝3．
∵sin∠DAB＝＝，
∴AD＝5．
∴AE＝＝4．
∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．
∴S△ABD＝AB DE＝．
∵AD是BC边上的中线，
∴S△ADC＝S△ABD＝．
22．解：过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知，
∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝60米，
（1）在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝2，MC＝50米，
∴AM＝2MC＝100＝BN，
答：无人机的飞行高度AM为100米；
（2）在Rt△BND中，
∵tan∠BDN＝，即：tan30°＝，
∴DN＝300米，
∴DM＝DN+MN＝300+60＝360（米），
∴CD＝DM﹣MC＝360﹣50≈274（米），
答：河流的宽度CD约为274米．
23．解：作BF⊥CD于点F，设DF＝x米，
在Rt△DBF中，tan∠DBF＝，
则BF＝＝x（米），
在直角△DCE中，DC＝x+CF＝（2+x）米，
在直角△DCE中，tan∠DEC＝，
∴EC＝（x+2）米．
∵BF﹣CE＝AE，即x﹣（x+2）＝8．
解得：x＝4+1，
则CD＝4+1+2＝（4+3）米．
答：CD的高度是（4+3）米．
24．解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，
根据题意可知：AB＝8m，∠DAE＝37°，∠DBE＝45°，∠DCE＝64°，
∴DE＝BE，
∴AE＝AB+BE＝8+DE，
在Rt△ADE中，DE＝AE×tan∠DAE，
∴DE≈（8+DE）×0.75，
解得DE＝24（m），
在Rt△DCE中，DE＝CE×tan∠DCE，
∴24≈CE×2.0，
解得CE＝12（m），
∴BC＝CE+BE＝CE+DE＝12+24＝36（m）．
答：B，C之间的距离BC为36m．
25．解：（1）过A作AG⊥BC于G，如图所示：
∵AB的坡比i＝5：12＝，
设AG＝5x米，则BG＝12x米，
在Rt△ABG中，，
∴x＝2，
∴AG＝10（米），
答：小李从斜坡B走到A处高度上升了10米．
（2）过A作AH⊥DF于H，
在Rt△ACG中，（米），
设EF＝m米，
在Rt△CEP中，β＝18°，
∵，
∴CF＝3（米），
∵四边形AGFH是矩形，
∴AH＝GF＝GC+CF＝（8+3m）米，
又∵DH＝DE+EH＝DE+（EF﹣HF）＝28.8+m﹣10＝（18.8+m）米，
在Rt△AHD中，α＝35°，
∵，
∴，
解得：m＝12，
∴EF＝12米，
∴DF＝DE+EF＝28.8+12＝40.8（米），
答：建筑物DF的高度约为40.8米．
26．解：过点D作DH⊥AC于点H，延长EB交AC于T，过点D作DG⊥EB于点G，
在Rt△BCT中，BT＝BC sin50°≈61.6（cm），
∵EG＝170×0.6＝102cm，
∴GT＝EG﹣ET＝102﹣61.6﹣30＝10.4（cm），
∵四边形DHTG是矩形，
∴DH＝GT＝10.4（cm），
在Rt△ADH中，AD＝＝≈12.0（cm）
答：AD的长约为12.0cm．