第七章三角函数章节检测 -2021-2022学年高一数学人教B版(2019)必修第三册（含答案）

北京·高一·同步练习
三角函数·章节检测
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．下列各角中，与角终边相同的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，那么
A． B． C． D．
3．若，，则是(　)
A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角
4．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
5．若是的一个内角，且，则的值为
A． B． C． D．
6．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
A． B．
C． D．
7．集合M={Z}，N={Z}，则
A．MN B．NM C．MN= D．MN=R
8．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．已知函数的一部分图象如图所示，如果，，，则（　　）
A． B． C． D．
10．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是
A．函数的一条对称轴是
B．函数的一个对称中心是
C．函数的一条对称轴是
D．函数的一个对称中心是
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知，则______.
12．已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点，则____．
13．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式是__________．
14．已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线.①当时，面积的最小值为___________；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为__________.
15．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均最高气温可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，例如表示1月份，和是正整数，，.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：
①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度；
②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高；
③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同.
根据已知信息，得到的表达式是______.
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．函数.
（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；
0
（3）求函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值.
17．已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，||＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，m]，f（x）≥1恒成立，求m的最大值．
18．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
5
0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
19．如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数，其中，且函数在6时与14时分别取得最小值（最低温度）和最大值（最高温度）.
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
20．现给出三个条件：①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③函数的图象上相邻两个最高点的距离为.从中选出两个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题.
已知函数（，），_____，_____.求函数在区间上的最大值和最小值.
21．已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（1）确定的解析式；
（2）若图象的对称轴只有一条落在区间上，求a的取值范围．
条件①：的最小值为；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③；的图象经过点．
试卷第4页，共5页
参考答案
1．D
【分析】
写出与终边相同角的集合，取k值得答案.
【详解】
与角终边相同的角的集合为，
取，可得.
∴与角终边相同的是.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.
2．C
【分析】
试题分析：由，得 .故选C．
考点：诱导公式．
3．B
【分析】
根据三角函数的符号，确定终边上的点所处的象限，从而得到结果.
【详解】
则对应第三象限的点，即是第三象限角
本题正确选项：
【点睛】
本题考查各象限内三角函数值的符号，属于基础题.
4．B
【分析】
直接利用扇形面积计算得到答案.
【详解】
根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为Slr45270（平方米）.
故选：B.
【点睛】
本题考查了扇形面积，属于简单题.
5．D
【详解】
试题分析：是的一个内角,，又，所以有，故本题的正确选项为D.
考点：三角函数诱导公式的运用.
6．C
【详解】
将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－);
再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是.故选C.
7．A
【分析】
对k分类讨论，明确集合M，N的范围，即可得到结果．
【详解】
解：∵k∈Z；
∴k＝2n或2n+1，n∈Z；
∴；
又；
∴M N．
故选A．
【点睛】
本题考查描述法表示集合的方法，集合间的关系及交并运算，属于基础题．
8．B
【分析】
由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f（x）的解析式，再利用y=的图象变换规律，得出结论．
【详解】
由函数f（x）=的部分图象，
可得A=2，∵，∴T=π，ω=2，f（x）=2sin（2x+φ），
将代入得，∵﹣π＜φ＜0，
∴．
故可将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到的图象，即为的图象，
故选B．
【点睛】
由的图象变换出 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
9．C
【分析】
先根据函数的最大值和最小值求得和，然后利用图象求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值，求得．
【详解】
解：如图根据函数的最大值和最小值得求得
函数的周期为，即
当时取最大值，即
故选C．
【点睛】
本题主要考查了由的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．
10．C
【分析】
利用诱导公式、函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，
可得y＝2sin（2x）的图象，
然后纵坐标不变，再向右平移个单位长度，
得到函数y＝g（x）＝2sin（2x）＝2cos2x的图象，
令x，求得g（x）＝0，
可得（，0）是g（x）的一个对称中心，故排除A；
令x，求得g（x）＝﹣1，
可得x是g（x）的图象的一条对称轴，故排除B，故C正确；
令x，求得g（x），可得x不是g（x）的图象的对称中心，故排除D，
故选C．
【点睛】
本题主要考查诱导公式、函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，以及正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．
11．
【分析】
利用诱导公式计算即可.
【详解】
解：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查诱导公式的应用，是基础题.
12．10
【分析】
利用三角函数的定义式，可以求得，再利用齐次式得到答案.
【详解】
根据角的终边过，利用三角函数的定义式，可以求得
所以有，
故答案是10.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义，齐次式，分式上下同时除以转化为是解题的关键.
13．
【分析】
根据所给的图象,得到三角函数的振幅,根据函数的图象过点的坐标，代入解析式求出φ，ω,得到函数的解析式
【详解】
根据图象可以看出A＝2，
图像过（0,1）∴2sinφ=1,故φ
∵函数的图象过点（，0）
所以=2k,k∈Z,故, k∈Z
由题即
故当k=-1,
∴函数的解析式是．
故答案为
【点睛】
本题考查三角函数的解析式,三角函数基本性质，熟记五点作图法是解题关键，是中档题．
14．
【分析】
①利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积；
②利用等腰直角三角形的性质的应用求出的最小值．
【详解】
函数，其中，是这两个函数图象的交点，
当时，．
所以函数的交点间的距离为一个周期，高为．
所以：．
如图所示：
①当时，面积的最小值为；
②若存在是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
则， 解得的最小值为．
故答案为：，．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
15．，是正整数且
【分析】
根据最值列出等式求，再根据最高点和最低点对应的月份求周期，并求，以及利用最高点求.
【详解】
由题意可知，解得：，
，解得：，
当时，，
得： ，，
所以的表达式是，是正整数且.
故答案为：，是正整数且
【点睛】
方法点睛：形如 ，一般根据最值求，利用最值，零点对应的自变量的距离求周期和，以及“五点法”中的一个点求.
16．（1）单调递增区间是，；最小正周期；（2）填表见解析；作图见解析；（3）最大值为2，最小值为－1，时取得最小值，时取得最大值.
【分析】
（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）列表，描点、连线，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（3）求出时函数的最大值和最小值，以及对应的值.
【详解】
解：（1）函数，
令，；
解得，；
即，；
所以函数的单调递增区间是，；
最小正周期；
（2）填写表格如下；
0
0 2 0 －2 0 2
用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图为；
（3）时，，，
所以函数在上取得最大值为2，最小值为－1，
且时取得最小值，时取得最大值.
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质以及“五点法”作图，本题要掌握基础函数的性质以及整体法的应用，同时熟悉“五点法”作图，考查分析能力以及作图能力，属中档题.
17．（I）（II）
【分析】
（Ⅰ）由图象可知，A＝2．可求函数的周期，利用周期公式可求ω的值，又函数f（x）的图象经过点，可得，结合范围，可求，即可得解函数解析式；（Ⅱ）由x∈[0，m]，可得：，根据正弦函数的单调性，分类讨论即可得解m的最大值．
【详解】
（Ⅰ）由图象可知，A＝2．
因为，
所以T＝π．
所以．解得ω＝2．
又因为函数f（x）的图象经过点，
所以．
解得．
又因为，
所以．
所以．
（Ⅱ）因为 x∈[0，m]，
所以，
当时，即时，f（x）单调递增，
所以f（x）≥f（0）＝1，符合题意；
当时，即时，f（x）单调递减，
所以，符合题意；
当时，即时，f（x）单调递减，
所以，不符合题意；
综上，若对于任意的x∈[0，m]，有f（x）≥1恒成立，则必有，
所以m的最大值是．
【点睛】
本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【详解】
（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：
0
0
5
0
0
且函数表达式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得．
因为的对称中心为，．
令，解得，．
由于函数的图象关于点成中心对称，令，
解得，．由可知，当时，取得最小值．
考点：“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．
19．（1）
（2）
【分析】
（1）由图象的最高点与最低点易于求出这段时间的最大温差；
（2）可由图象直接得出，由周期求得，然后通过特殊点求，则问题解决．
【详解】
解：（1）由题图可知，这段时间的最大温差是.
（2）从题图中可以看出，从6时到14时的图像是函数的半个周期的图像，所以.
因为，所以.
所以.
依题意.
故所求解析式为.
【点睛】
本题主要考查由函数的部分图象确定其解析式的基本方法．属于中档.
20．见解析
【分析】
方案①③与②③，都有周期可求得，再由型函数的对称轴与对称中心求得，即可表示解析式，最后由三角函数的性质求得指定区间的最值；方案①②中，由对称轴与对称中心可构建方程组，分别表示与，利用分类讨论和时的情况，其中若T小于所求区间范围的区间长度，则最值由振幅确定，反之则可由性质求值域.
【详解】
方案一：选①③.由已知，函数的最小正周期，
所以，，所以.
令，得，.
所以的对称轴方程为，.
令，，由，得.
综上，.
因为，所以.
所以当或，即或时，；
当，即时，.
方案二：选②③.由已知，函数的最小正周期，
所以，，所以.
所以，于是，.
由，得.
综上，.
因为，所以.
所以当，即时，；
当，即时，.
方案三：选①②.由已知可知其中一个对称轴与对称中心，
则，解得
因为，则，即或0
当时，
因为，则
当时，，则
又因为区间的区间长度为，所以函数在区间上的最大值为和最小值为，显然时也成立，
当时，
因为，则
当时，，则
此时函数，则其在区间上有，即，故最大值为，最小值为，
当时，，则，所以函数在区间上的最大值为和最小值为，显然时也成立
综上所述，函数和函数在区间上的最大值为和最小值为；函数在区间上最大值为，最小值为.
【点睛】
本题考查由三角函数的性质求解析式，还考查了求指定区间的最值，属于难题.
21．选择见解析：（1）；（2）．
【分析】
求出函数的最小正周期，可求得的值.
（1）选择①②，求出的值，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式；
选择①③，求出的值，由已知条件可得出，求出的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式；
选择②③，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式；
（2）由可求得的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期，．此时．
（1）选条件①②；因为，所以．
因为图象的一个对称中心为，所以，
因为，所以，此时，所以；
选条件①③：因为，所以．
因为函数的图象过点，则，即，，
因为，即，，所以，，解得.
所以；
选条件②③：因为函数的一个对称中心为，
所以，所以．
因为，所以，此时，所以．
因为函数的图象过点，所以，即，，即，所以．
所以；
（2）因为，所以，
因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，得，
所以的取值范围为．
【点睛】
思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式；
（2）将看成一个整体；
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
北京·高一·