第二章 直线和圆的方程 综合测评卷-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第二章 直线和圆的方程 综合测评卷-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 994.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-02 11:57:32 | ||
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文档简介
第二章 直线和圆的方程 综合测评卷（B卷）
一、单选题
1．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－3＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y－3＝0
2．已知直线，点，，若直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．设直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆：与圆：相交于，两点，且，则下列错误的结论是（ ）
A．是定值 B．四边形的面积是定值
C．的最小值为 D．的最大值为2
6．“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
8．已知半径为的圆被直线和所截得的弦长均为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角可能为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知直线，，，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的斜率不存在
C．当时，直线l的倾斜角为 D．当时，直线l与直线垂直
12．关于下列命题，正确的是（ ）
A．若点在圆外，则或
B．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切
C．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切
D．已知点是直线上一动点， 是圆：的两条切线， 是切点，则四边形的面积的最小值为
三、填空题
13．已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为________．
14．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点.若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为______
15．设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为__________．
（1）存在实数，使得点N在直线l上；
（2）若，则过M、N的直线与直线l平行；
（3）若，则直线l经过的中点；
（4）若，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交；
16．若实数，，，满足，，则的最小值为______．
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知四点，，，.
（1）这四点是否在同一个圆上 如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；
（2）求出到点，，，的距离之和最小的点的坐标.
18．疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.
（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；
（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.
19．已知圆，圆，P是直线上一点，过点P分别作圆的切线，切点分别为A，B．
（1）若的最小值为1，求实数m的值；
（2）若直线l上有且仅有2个点P满足，求实数m的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，点A在直线上，B（7，3），以线段AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l相交于另一个点D，AB⊥CD.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点A不在第一象限内，圆C与x轴的正半轴的交点为P，过点P作两条直线分别交圆于M，N两点，且两直线的斜率之积为－5，试判断直线MN是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
21．如图，中，顶点，边所在直线的方程为，边的中点在轴上.
（1）求边所在直线的方程；
（2）若，求边所在直线的方程.
22．已知直线，若直线在轴上的截距为，且.
（1）求直线和直线的交点坐标；
（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.
参考答案
1．A
【解析】当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，
因为，所以
所以l1的方程为，即.
故选：A.
2．A
【解析】若直线与线段有公共点，则、在直线的两侧（也可以点在直线上）.
令，则有，，，即.
解得，
故选：A.
3．A
【解析】表示点到点距离的平方，
该距离的最小值为点到直线的距离，即，
则的最小值为.
故选：A.
4．A
【解析】设，由重心坐标公式得，
三角形的重心为，，
代入欧拉线方程得：，
整理得：①
的中点为，，
的中垂线方程为，即．
联立，解得．
的外心为．
则，
整理得：②
联立①②得：，或，．
当，时，重合，舍去．
顶点的坐标是．
故选：A．
5．C
【解析】因为圆的半径为，而，所以是正三角形，，为定值，A正确；
，圆半径为，所以到弦的距离为，又到的距离为．所以，而，是的垂直平分线，，B正确；
由上得，
，，当时，，最小值是，C错；
，当且仅当时，，所以最大值是2，D正确．
故选：C．
6．D
【解析】设点，则.
①当时，即当，
，
因为，所以，，
当时，取得最大值；
②当时，即当时，
，
因为，则，
当时，取得最大值.
综上所述，的最大值为.
故选：D.
7．B
【解析】直线过定点在圆上．
圆半径为，所以是等边三角形，圆心到直线的距离为，
所以，，
直线的斜率为，倾斜角为，
所以．
故选：B．
8．C
【解析】直线和截圆所得弦长相等，且两直线平行，
则圆心到两条直线的距离相等且为两条平行直线间距离的一半，
圆心到直线的距离，
，解得：.
故选：C.
9．AD
【解析】圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
因为弦长为，所以，即，解得，
所以，所以直线的倾斜角为或.
故答案为：A D
10．AD
【解析】解：如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，
则，，
故，且为钝角，
故选：AD.
11．CD
【解析】直线，故时，，故直线l恒过定点，选项A错误；
当时，直线，斜率，故选项B错误；
当时，直线，斜率，故倾斜角为，选项C正确；
当时，直线，斜率，，
故，故直线l与直线垂直，选项D正确.
故选：CD.
12．CD
【解析】解：当时，方程为，
不表示圆，故A错误；
已知圆：的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
当时，即此时不存在使直线与圆相切，因此B错误；
对于任意的，令，则，即对于任意的，总存在使直线与圆相切，故C正确.
，半径，圆心到直线的距离，即的最小值，由，所以，
四边形的面积最小值，
故D正确.
故选：CD.
13．
【解析】圆的标准方程为，所以圆心，半径为．
由圆心在直线上，可设．
因为与轴相切，与圆外切，
于是圆的半径为，从而，解得．
因此，圆的标准方程为．
故答案为：
14．
【解析】圆的圆心为，半径为，
当与垂直时，的值最小，
此时点到直线的距离为，
由勾股定理得，
又，解得，
圆的圆心为，半径为，
∵圆与圆外切，∴，∴，
∵圆与直线相切，∴，解得.
故答案为：.
15．②③④
【解析】解：若点在直线上则，
不存在实数，使点在直线上，故①不正确；
若，则，
即， ，
即过、两点的直线与直线平行，故②正确；
若，则
即，，
直线经过线段的中点，即③正确；
若，则，或，
即点、在直线的同侧，且直线与线段不平行．故④正确．
故答案为：②③④．
16．
【解析】可将转化为与两点间距离的平方；
由得：，则满足；
由得：，则满足；
设直线与曲线相切，则，，
解得：，
当时，曲线上的点到可取得最小值，
.
故答案为：.
17．（1）四点，，，都在圆上；（2）.
【解析】（1）设经过，，三点的圆的方程为，
解得，，
因此，经过，，三点的圆的方程为.
由于，故点也在这个圆上.
因此，四点，，，都在圆上.
（2）因为，当且仅当点在线段上时取等号.
同理，，当且仅当点在线段上时取等号.
因此，当点是和的交点时，它到，，，的距离之和最小.
因为直线的方程为，直线的方程为，
联立解得点的坐标为.
18．（1），，；（2）
【解析】（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：
李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等
故
故
即
故
故李叔叔负责区域边界的曲线方程为
（2）圆心关于的对称点为
则有，
解得
联立与，可得交点为
王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点碰面，距离之和最近.
19．（1）；（2）或．
【解析】解：（1）由题可知，圆的半径为，圆心到直线的距离为．
因为P是直线l上一点，所以，从而．
因为的最小值为1，所以，解得．
（2）因为，，且，所以，设，则，即，因为在直线l上，且有且仅有2个点P满足，故只需满足直线l与圆有且仅有2个交点．
从而到直线的距离，解得或．
20．（1）或；（2）
【解析】解：（1），，
设，得，得．
，
在中，，为的中点，，
设，则，
解得或．
①当时，，，圆心为，
此时圆的标准方程为；
②当时，，，圆心为，
此时圆的标准方程为．
圆的标准方程为或；
（2）由题意知，圆的标准方程为．
设直线的方程为，
联立，得．
，得，则，，
两直线的斜率之积为，用代替，可得，．
当直线的斜率存在，即时，
．
直线的方程为，
整理得：，可得直线过定点；
当直线的斜率不存在时，即时，直线的方程为，过定点．
综上可得，直线恒过定点．
21．（1）；（2）.
【解析】（1）因点在直线上，不妨设，
由题意得：，即，所以的坐标为，
边所在直线的方程为，即；
（2）因，所以点在线段的中垂线上，
直线的斜率为，线段的中点坐标为，
所以，线段的中垂线方程为，即，
联立，得，即的坐标为，
又点，边所在直线的方程为，即.
22．（1）；（2）或.
【解析】（1）设的方程为，.
因为在轴上的截距为，所以，解得，
即：，
联立，得
所以直线与的交点坐标为 ．
（2）当过原点时，的方程为，
当不过原点时，设的方程为，
又直线经过与的交点，所以，得，
的方程为，
综上，的方程为或.
一、单选题
1．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－3＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y－3＝0
2．已知直线，点，，若直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．设直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆：与圆：相交于，两点，且，则下列错误的结论是（ ）
A．是定值 B．四边形的面积是定值
C．的最小值为 D．的最大值为2
6．“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
8．已知半径为的圆被直线和所截得的弦长均为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角可能为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知直线，，，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的斜率不存在
C．当时，直线l的倾斜角为 D．当时，直线l与直线垂直
12．关于下列命题，正确的是（ ）
A．若点在圆外，则或
B．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切
C．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切
D．已知点是直线上一动点， 是圆：的两条切线， 是切点，则四边形的面积的最小值为
三、填空题
13．已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为________．
14．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点.若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为______
15．设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为__________．
（1）存在实数，使得点N在直线l上；
（2）若，则过M、N的直线与直线l平行；
（3）若，则直线l经过的中点；
（4）若，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交；
16．若实数，，，满足，，则的最小值为______．
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知四点，，，.
（1）这四点是否在同一个圆上 如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；
（2）求出到点，，，的距离之和最小的点的坐标.
18．疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.
（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；
（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.
19．已知圆，圆，P是直线上一点，过点P分别作圆的切线，切点分别为A，B．
（1）若的最小值为1，求实数m的值；
（2）若直线l上有且仅有2个点P满足，求实数m的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，点A在直线上，B（7，3），以线段AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l相交于另一个点D，AB⊥CD.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点A不在第一象限内，圆C与x轴的正半轴的交点为P，过点P作两条直线分别交圆于M，N两点，且两直线的斜率之积为－5，试判断直线MN是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
21．如图，中，顶点，边所在直线的方程为，边的中点在轴上.
（1）求边所在直线的方程；
（2）若，求边所在直线的方程.
22．已知直线，若直线在轴上的截距为，且.
（1）求直线和直线的交点坐标；
（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.
参考答案
1．A
【解析】当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，
因为，所以
所以l1的方程为，即.
故选：A.
2．A
【解析】若直线与线段有公共点，则、在直线的两侧（也可以点在直线上）.
令，则有，，，即.
解得，
故选：A.
3．A
【解析】表示点到点距离的平方，
该距离的最小值为点到直线的距离，即，
则的最小值为.
故选：A.
4．A
【解析】设，由重心坐标公式得，
三角形的重心为，，
代入欧拉线方程得：，
整理得：①
的中点为，，
的中垂线方程为，即．
联立，解得．
的外心为．
则，
整理得：②
联立①②得：，或，．
当，时，重合，舍去．
顶点的坐标是．
故选：A．
5．C
【解析】因为圆的半径为，而，所以是正三角形，，为定值，A正确；
，圆半径为，所以到弦的距离为，又到的距离为．所以，而，是的垂直平分线，，B正确；
由上得，
，，当时，，最小值是，C错；
，当且仅当时，，所以最大值是2，D正确．
故选：C．
6．D
【解析】设点，则.
①当时，即当，
，
因为，所以，，
当时，取得最大值；
②当时，即当时，
，
因为，则，
当时，取得最大值.
综上所述，的最大值为.
故选：D.
7．B
【解析】直线过定点在圆上．
圆半径为，所以是等边三角形，圆心到直线的距离为，
所以，，
直线的斜率为，倾斜角为，
所以．
故选：B．
8．C
【解析】直线和截圆所得弦长相等，且两直线平行，
则圆心到两条直线的距离相等且为两条平行直线间距离的一半，
圆心到直线的距离，
，解得：.
故选：C.
9．AD
【解析】圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
因为弦长为，所以，即，解得，
所以，所以直线的倾斜角为或.
故答案为：A D
10．AD
【解析】解：如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，
则，，
故，且为钝角，
故选：AD.
11．CD
【解析】直线，故时，，故直线l恒过定点，选项A错误；
当时，直线，斜率，故选项B错误；
当时，直线，斜率，故倾斜角为，选项C正确；
当时，直线，斜率，，
故，故直线l与直线垂直，选项D正确.
故选：CD.
12．CD
【解析】解：当时，方程为，
不表示圆，故A错误；
已知圆：的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
当时，即此时不存在使直线与圆相切，因此B错误；
对于任意的，令，则，即对于任意的，总存在使直线与圆相切，故C正确.
，半径，圆心到直线的距离，即的最小值，由，所以，
四边形的面积最小值，
故D正确.
故选：CD.
13．
【解析】圆的标准方程为，所以圆心，半径为．
由圆心在直线上，可设．
因为与轴相切，与圆外切，
于是圆的半径为，从而，解得．
因此，圆的标准方程为．
故答案为：
14．
【解析】圆的圆心为，半径为，
当与垂直时，的值最小，
此时点到直线的距离为，
由勾股定理得，
又，解得，
圆的圆心为，半径为，
∵圆与圆外切，∴，∴，
∵圆与直线相切，∴，解得.
故答案为：.
15．②③④
【解析】解：若点在直线上则，
不存在实数，使点在直线上，故①不正确；
若，则，
即， ，
即过、两点的直线与直线平行，故②正确；
若，则
即，，
直线经过线段的中点，即③正确；
若，则，或，
即点、在直线的同侧，且直线与线段不平行．故④正确．
故答案为：②③④．
16．
【解析】可将转化为与两点间距离的平方；
由得：，则满足；
由得：，则满足；
设直线与曲线相切，则，，
解得：，
当时，曲线上的点到可取得最小值，
.
故答案为：.
17．（1）四点，，，都在圆上；（2）.
【解析】（1）设经过，，三点的圆的方程为，
解得，，
因此，经过，，三点的圆的方程为.
由于，故点也在这个圆上.
因此，四点，，，都在圆上.
（2）因为，当且仅当点在线段上时取等号.
同理，，当且仅当点在线段上时取等号.
因此，当点是和的交点时，它到，，，的距离之和最小.
因为直线的方程为，直线的方程为，
联立解得点的坐标为.
18．（1），，；（2）
【解析】（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：
李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等
故
故
即
故
故李叔叔负责区域边界的曲线方程为
（2）圆心关于的对称点为
则有，
解得
联立与，可得交点为
王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点碰面，距离之和最近.
19．（1）；（2）或．
【解析】解：（1）由题可知，圆的半径为，圆心到直线的距离为．
因为P是直线l上一点，所以，从而．
因为的最小值为1，所以，解得．
（2）因为，，且，所以，设，则，即，因为在直线l上，且有且仅有2个点P满足，故只需满足直线l与圆有且仅有2个交点．
从而到直线的距离，解得或．
20．（1）或；（2）
【解析】解：（1），，
设，得，得．
，
在中，，为的中点，，
设，则，
解得或．
①当时，，，圆心为，
此时圆的标准方程为；
②当时，，，圆心为，
此时圆的标准方程为．
圆的标准方程为或；
（2）由题意知，圆的标准方程为．
设直线的方程为，
联立，得．
，得，则，，
两直线的斜率之积为，用代替，可得，．
当直线的斜率存在，即时，
．
直线的方程为，
整理得：，可得直线过定点；
当直线的斜率不存在时，即时，直线的方程为，过定点．
综上可得，直线恒过定点．
21．（1）；（2）.
【解析】（1）因点在直线上，不妨设，
由题意得：，即，所以的坐标为，
边所在直线的方程为，即；
（2）因，所以点在线段的中垂线上，
直线的斜率为，线段的中点坐标为，
所以，线段的中垂线方程为，即，
联立，得，即的坐标为，
又点，边所在直线的方程为，即.
22．（1）；（2）或.
【解析】（1）设的方程为，.
因为在轴上的截距为，所以，解得，
即：，
联立，得
所以直线与的交点坐标为 ．
（2）当过原点时，的方程为，
当不过原点时，设的方程为，
又直线经过与的交点，所以，得，
的方程为，
综上，的方程为或.