2021-2022学年人教A版必修一 1.3.1 单调性与最大（小）值 课件（19张PPT）

(共19张PPT)
函数是描述事物运动变化规律的数学模型，所以有必要了解函数的变化规律。
问题：观察f（x）=x和f（x）=x2的图象的变化趋势
o
5
-5
-5
5
f(x)=x
2、在区间 ________上，
随着x的增大f(x)的值随着增大.
1、从左至右图象一直上升
o
5
-5
-5
5
1、在y轴左侧是下降的，在区间 ______上，f(x)的值随着x的增大而减小.
2、在y轴右侧是上升的， 在区间 _____ 上，f(x)的值随着x的增大而增大.
(-∞,0]
(0,+∞)
x
x
y
y
函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质，这种性质称为函数的单调性。如何描述函数图象的“上升”和“下降”呢？
以二次函数f（x）=x2为例，观察下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
f(x) … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
结合图象，你能发现自变量与函数值的变化有什么规律？
o
5
-5
-5
5
x
y
图象在y轴左侧下降，也就是，在区间 上,f(x)随着x的增大而减小;在y轴右侧上升,也就是,在 区间上f(x)随着x的增大而增大.
在区间（0，+∞）上任取两个自变量的值x1，x2，得到f(x1)=x12，f(x2)=x22 当 x1在区间（－∞,0）上任取两个自变量的值x1，x2，得到f(x1)=x12，f(x2)=x22 当 x1f(x2)
能否仿照前面的描述，说明函数在区间(-∞,0]上是减函数吗？
以函数f(x)=x2为例，说明函数在区间（0，+∞）上是增函数.
则称函数f(x)=x2在区间
上是增函数
则称函数f(x)=x2在区间
上是减函数
这就得到增函数（或减函数）的定义
1、增函数和减函数的定义：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内某个区间D内的 两个自变量的值x1，x2，当x1知识要点
如果对于定义域I内某个区间D内的 两个自变量的值x1，x2 ，
当x1f(x2) ，那么就说f(x)在区间D上是减函数。
同增异减
任意
任意
y
x
0
x1
x2
f(x1)
f(x2)
y=f(x)
图1
y
x
0
x1
x2
f(x1)
f(x2)
y=f(x)
图2
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
2、单调性、单调区间的定义
1、单调性是对定义域内某个区间而言的，
离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
2 、对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数).
注意
例1 下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f (x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有
[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5],
其中y=f (x)在区间[-2，1)， [3，5]上是增函数，在区间[-5，-2)， [1，3)上是减函数.
多个单调区间用逗号隔开
探 究
1. 求函数 y=|2x-1| 的单调区间.
2. 函数f(x)=|x|(2-x)的单调增区间是_________,
单调减区间是_____________________.
x
y
o
1
2
f(x)=
x(2-x), x>0
-x(2-x), x<0
x
y
o
1
2
单调递减区间是(-∞, ]
单调递增区间是( ,+∞ ）
1
2
1
2
(-∞,0]， [1 ,+∞ ）
(0,1）
例2 物理学中的玻意耳定律
告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1由V1，V2∈ (0，+∞)且V10, V2- V1 >0
又k>0,于是
所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
取值
定号
作差变形
结论
证明单调性先明确定义域
用定义证明函数单调性的步骤是：
（1）取值
（2）作差变形
（3）定号
（4）判断，下结论
根据单调性的定义得结论
即取 是该区间内的任意两个值且
即求 ，变形的方法主要有因式分解、配方、有理化等
即根据给定的区间和 的符号，确定
的符号
求证：函数 在区间 上是单调递增函数．
则
证明：在区间（0，+∞）上任取两个值 且
又∵0即函数 在区间（0，+∞）上是单调增函数.
∴ f(x1)思考
若把区间改为 ,结论变化吗
若把函数改为
结论变化吗？
巩固练习
例4：已知：f(x)是定义在[-1，1]上的增函
数，且f(x-1)解：由已知得：
解析：直线y=kx+b在k<0时，单调递减.
∴2a-1<0,即a<
D
2.函数 的单调递增区间是___________.
（1，+∞）
3.函数 f(x)=x2-2ax+3在(-∞，4]上是减函数，则
a的取值范围为________．
[4，+∞)
4.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数.
解：函数的单调区间是[-1,0）,[0,2）,[2,4）,[4,5].
在区间[-1,0）,[2,4）上，函数是减函数；
在区间[0,2）,[4,5]上，函数是增函数.
1.增函数和减函数的定义：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内某个区间D内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1如果对于定义域I内某个区间D内的任意两个自变量的值x1，x2 ，当x1f(x2) ，那么就说f(x)在区间D上是减函数。
3. 证明函数的单调性的基本步骤是：
（1）取值； （2）作差变形；
（3）定号； （4）判断，下结论.
2.函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪个区间内.
思考题1：讨论函数
的单调性，并证明.
思考题2：若函数 在区间
上是单调递增函数，求实数 的取值范围.
作业：阳光课堂第10页