2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2双曲线基本达标测试题
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2双曲线基本达标测试题 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-02 12:13:21 | ||
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文档简介
3.2双曲线基本达标测试题---2021--2022人教A（2019）选择性必修第一册高二上
一．选择题（共8小题）
1．已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，则炮弹爆炸点的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
2．平面内有两个定点和，动点满足条件，则动点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
3．“”是“方程表示双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知是双曲线右支上的一点，的左、右焦点分别为，，且，的实轴长为12，则
A．4 B．6 C．8 D．10
5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为
A． B． C．3 D．或
6．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行．现测得下底直径米，上底直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，则最细部分处的直径为
A．10米 B．20米 C．米 D．米
7．如果双曲线的离心率为，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线．现有一黄金双曲线，则该黄金双曲线的虚轴长为
A．2 B．4 C． D．
8．已知左、右焦点分别为，的双曲线上一点到左焦点的距离为6，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
9．已知双曲线，则下列说法正确的是
A．渐近线方程为 B．焦点坐标为
C．顶点坐标为 D．实轴长为
10．已知双曲线，它的焦点为，，则下列结论正确的是
A．的虚轴长为4
B．的渐近线方程为
C．上的任意点都满足
D．的一个顶点与抛物线的焦点重合
11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，双曲线左支上存在一点，使为实半轴长）成立，则此双曲线的离心率的取值可能是
A． B．2 C． D．5
12．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则
A．实轴长为2
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
三．填空题（共4小题）
13．若焦点在轴上的双曲线的焦距为，则的值为 ．
14．双曲线的离心率为2，则 ．
15．已知，是不相等的两个实数，且，，1，5，．在方程所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在轴上的双曲线的概率为 ．
16．设直线与双曲线相交于，两点，为上不同于，的一点，直线，的斜率分别为，，若的离心率为2，则 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知双曲线的焦点，，双曲线上一点到的最短距离为．
（1）求双曲线的标准方程和渐近线方程；
（2）已知点，设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．设，求的取值范围．
18．已知点在双曲线上．
（1）求正数的值；
（2）求双曲线上的动点到定点的距离的最小值．
19．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且的渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与椭圆及双曲线都有两个不同的交点，且与的两个交点和满足（其中为原点），求的取值范围．
20．已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点，．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上的点满足，求△的面积．
21．若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点且与轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点，，的垂直平分线为，求直线与轴上的截距的取值范围．
22．过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于、两点，其中是的中点．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若纵坐标为2时，求直线的方程；
（3）求证：是一个定值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，则炮弹爆炸点的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
解：设炮弹爆炸点为点，
则，
点的轨迹是双曲线的一支，
故选：．
2．平面内有两个定点和，动点满足条件，则动点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
解：由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，
得，，
，
，
故动点的轨迹方程是．
故选：．
3．“”是“方程表示双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当为双曲线时，
，
，，
故选：．
4．已知是双曲线右支上的一点，的左、右焦点分别为，，且，的实轴长为12，则
A．4 B．6 C．8 D．10
解：因为在双曲线的右支上，
所以，
又因为，
所以．
故选：．
5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为
A． B． C．3 D．或
解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：，
因为一条渐近线与直线垂直，所以，
可得，所以，
解得，
故选：．
6．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行．现测得下底直径米，上底直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，则最细部分处的直径为
A．10米 B．20米 C．米 D．米
解：建立如图的坐标系，
由题意可知，，，，
设双曲线方程为：，
，解得，，
，
故选：．
7．如果双曲线的离心率为，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线．现有一黄金双曲线，则该黄金双曲线的虚轴长为
A．2 B．4 C． D．
解：由题意可得，，解得，即，
故黄金双曲线的虚轴长为．
故选：．
8．已知左、右焦点分别为，的双曲线上一点到左焦点的距离为6，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
解：若在双曲线左支上，
点为的中点，
是三角形的中位线，
则，
，
，则双曲线的渐近线方程为，
若在双曲线右支上，
点为的中点，
是三角形的中位线，
则，
不成立，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．已知双曲线，则下列说法正确的是
A．渐近线方程为 B．焦点坐标为
C．顶点坐标为 D．实轴长为
解：对于双曲线，
所以，，，
所以双曲线的渐近线方程为，
焦点坐标为，，顶点坐标为，，实轴长为，
因此选项错误，选项正确，
故选：．
10．已知双曲线，它的焦点为，，则下列结论正确的是
A．的虚轴长为4
B．的渐近线方程为
C．上的任意点都满足
D．的一个顶点与抛物线的焦点重合
解：由题意知，，，
，
虚轴长为，即选项错误；
渐近线方程为，即，故选项正确；
由双曲线的定义知，，故不可能成立，即选项错误；
双曲线的顶点坐标为，而抛物线的焦点坐标为，即选项正确．
故选：．
11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，双曲线左支上存在一点，使为实半轴长）成立，则此双曲线的离心率的取值可能是
A． B．2 C． D．5
解：为双曲线左支上一点，
，
，①
又，②
由①②可得，，．
，即，
，③
又，
，
．④
由③④可得．
故选：．
12．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则
A．实轴长为2
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
解：由双曲线 的方程可得，，，，所以，，，所以不正确，
所以实轴长，离心率，渐近线方程为，所以，正确，
因为准线方程为，设渐近线与渐近线的交点为，两个方程联立可得，另一条渐近线的方程为：，所以到它的距离为，所以不正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．若焦点在轴上的双曲线的焦距为，则的值为 ．
解：由题意可得：，．
故答案为：12．
14．双曲线的离心率为2，则 ．
解：双曲线的离心率为2，则，，
所以可得，
所以可得：，解得：，
故答案为：3．
15．已知，是不相等的两个实数，且，，1，5，．在方程所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在轴上的双曲线的概率为 ．
解：由题意，任取，的方法有，
双曲线的焦点在轴上的取法有：，
所以线是焦点在轴上的双曲线的概率为：；
故答案为：．
16．设直线与双曲线相交于，两点，为上不同于，的一点，直线，的斜率分别为，，若的离心率为2，则 ．
解：的离心率为，且，
，，
联立，解得或，
不妨取，，，，
设，则，即，
．
故答案为：3．
四．解答题（共6小题）
17．已知双曲线的焦点，，双曲线上一点到的最短距离为．
（1）求双曲线的标准方程和渐近线方程；
（2）已知点，设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．设，求的取值范围．
解：（1）双曲线的焦点，，双曲线上一点到的最短距离为．
可设双曲线的方程为，
，，
，
，
则双曲线的方程为：，
令，
则，
即渐近线方程为；
（2）设的坐标为，，则的坐标为，，
，，
的取值范围是，．
18．已知点在双曲线上．
（1）求正数的值；
（2）求双曲线上的动点到定点的距离的最小值．
解：（1）把点代入双曲线中，有，
解得，
，．
（2）设点的坐标为，则，且或，
，
当时，取得最小值为24，
的最小值为．
19．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且的渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与椭圆及双曲线都有两个不同的交点，且与的两个交点和满足（其中为原点），求的取值范围．
解：（1）根据题意，的渐近线方程为，则设双曲线的方程为，则，，
又双曲线的焦距为4，则，即，
于是由，
故的方程为；
（2）根据题意，将代入得，
由直线与椭圆有两个不同的交点得，即，①
将代入得，
由直线与双曲线有两个不同的交点，，
则有，即且，②
设，，，，则，，
则得，
而，
于是，解此不等式得，或，③
由①，②，③得，或，
故的取值范围为．
20．已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点，．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上的点满足，求△的面积．
解：（1），
，又，，
双曲线的标准方程为；
（2）时，，，
．
21．若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点且与轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点，，的垂直平分线为，求直线与轴上的截距的取值范围．
解：（1）直线过轴上一点，
由题意可得，即，
双曲线的渐近线方程为，
由两直线平行的条件可得，
解得，，
即有双曲线的方程为；
（2）设直线，
代入可得，，
设，，，，
，，
中点为，，
可得的垂直平分线方程为，
令，可得，
由△，解得，
又，解得，
综上可得，，
即有的范围是，
可得直线与轴上的截距的取值范围为．
22．过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于、两点，其中是的中点．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若纵坐标为2时，求直线的方程；
（3）求证：是一个定值．
解：（1）双曲线的，，
可得双曲线的渐近线方程为，
即为；
（2）令可得，解得，（负的舍去），
设，，
由为的中点，可得，，
解得，，
即有，，
可得的斜率为，
则直线的方程为，
即为为所求；
（3）证明：设，，即有，
设，，
由为的中点，可得，，
解得，，
则
为定值．
一．选择题（共8小题）
1．已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，则炮弹爆炸点的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
2．平面内有两个定点和，动点满足条件，则动点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
3．“”是“方程表示双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知是双曲线右支上的一点，的左、右焦点分别为，，且，的实轴长为12，则
A．4 B．6 C．8 D．10
5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为
A． B． C．3 D．或
6．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行．现测得下底直径米，上底直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，则最细部分处的直径为
A．10米 B．20米 C．米 D．米
7．如果双曲线的离心率为，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线．现有一黄金双曲线，则该黄金双曲线的虚轴长为
A．2 B．4 C． D．
8．已知左、右焦点分别为，的双曲线上一点到左焦点的距离为6，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
9．已知双曲线，则下列说法正确的是
A．渐近线方程为 B．焦点坐标为
C．顶点坐标为 D．实轴长为
10．已知双曲线，它的焦点为，，则下列结论正确的是
A．的虚轴长为4
B．的渐近线方程为
C．上的任意点都满足
D．的一个顶点与抛物线的焦点重合
11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，双曲线左支上存在一点，使为实半轴长）成立，则此双曲线的离心率的取值可能是
A． B．2 C． D．5
12．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则
A．实轴长为2
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
三．填空题（共4小题）
13．若焦点在轴上的双曲线的焦距为，则的值为 ．
14．双曲线的离心率为2，则 ．
15．已知，是不相等的两个实数，且，，1，5，．在方程所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在轴上的双曲线的概率为 ．
16．设直线与双曲线相交于，两点，为上不同于，的一点，直线，的斜率分别为，，若的离心率为2，则 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知双曲线的焦点，，双曲线上一点到的最短距离为．
（1）求双曲线的标准方程和渐近线方程；
（2）已知点，设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．设，求的取值范围．
18．已知点在双曲线上．
（1）求正数的值；
（2）求双曲线上的动点到定点的距离的最小值．
19．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且的渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与椭圆及双曲线都有两个不同的交点，且与的两个交点和满足（其中为原点），求的取值范围．
20．已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点，．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上的点满足，求△的面积．
21．若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点且与轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点，，的垂直平分线为，求直线与轴上的截距的取值范围．
22．过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于、两点，其中是的中点．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若纵坐标为2时，求直线的方程；
（3）求证：是一个定值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，则炮弹爆炸点的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
解：设炮弹爆炸点为点，
则，
点的轨迹是双曲线的一支，
故选：．
2．平面内有两个定点和，动点满足条件，则动点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
解：由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，
得，，
，
，
故动点的轨迹方程是．
故选：．
3．“”是“方程表示双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当为双曲线时，
，
，，
故选：．
4．已知是双曲线右支上的一点，的左、右焦点分别为，，且，的实轴长为12，则
A．4 B．6 C．8 D．10
解：因为在双曲线的右支上，
所以，
又因为，
所以．
故选：．
5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为
A． B． C．3 D．或
解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：，
因为一条渐近线与直线垂直，所以，
可得，所以，
解得，
故选：．
6．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行．现测得下底直径米，上底直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，则最细部分处的直径为
A．10米 B．20米 C．米 D．米
解：建立如图的坐标系，
由题意可知，，，，
设双曲线方程为：，
，解得，，
，
故选：．
7．如果双曲线的离心率为，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线．现有一黄金双曲线，则该黄金双曲线的虚轴长为
A．2 B．4 C． D．
解：由题意可得，，解得，即，
故黄金双曲线的虚轴长为．
故选：．
8．已知左、右焦点分别为，的双曲线上一点到左焦点的距离为6，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
解：若在双曲线左支上，
点为的中点，
是三角形的中位线，
则，
，
，则双曲线的渐近线方程为，
若在双曲线右支上，
点为的中点，
是三角形的中位线，
则，
不成立，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．已知双曲线，则下列说法正确的是
A．渐近线方程为 B．焦点坐标为
C．顶点坐标为 D．实轴长为
解：对于双曲线，
所以，，，
所以双曲线的渐近线方程为，
焦点坐标为，，顶点坐标为，，实轴长为，
因此选项错误，选项正确，
故选：．
10．已知双曲线，它的焦点为，，则下列结论正确的是
A．的虚轴长为4
B．的渐近线方程为
C．上的任意点都满足
D．的一个顶点与抛物线的焦点重合
解：由题意知，，，
，
虚轴长为，即选项错误；
渐近线方程为，即，故选项正确；
由双曲线的定义知，，故不可能成立，即选项错误；
双曲线的顶点坐标为，而抛物线的焦点坐标为，即选项正确．
故选：．
11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，双曲线左支上存在一点，使为实半轴长）成立，则此双曲线的离心率的取值可能是
A． B．2 C． D．5
解：为双曲线左支上一点，
，
，①
又，②
由①②可得，，．
，即，
，③
又，
，
．④
由③④可得．
故选：．
12．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则
A．实轴长为2
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
解：由双曲线 的方程可得，，，，所以，，，所以不正确，
所以实轴长，离心率，渐近线方程为，所以，正确，
因为准线方程为，设渐近线与渐近线的交点为，两个方程联立可得，另一条渐近线的方程为：，所以到它的距离为，所以不正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．若焦点在轴上的双曲线的焦距为，则的值为 ．
解：由题意可得：，．
故答案为：12．
14．双曲线的离心率为2，则 ．
解：双曲线的离心率为2，则，，
所以可得，
所以可得：，解得：，
故答案为：3．
15．已知，是不相等的两个实数，且，，1，5，．在方程所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在轴上的双曲线的概率为 ．
解：由题意，任取，的方法有，
双曲线的焦点在轴上的取法有：，
所以线是焦点在轴上的双曲线的概率为：；
故答案为：．
16．设直线与双曲线相交于，两点，为上不同于，的一点，直线，的斜率分别为，，若的离心率为2，则 ．
解：的离心率为，且，
，，
联立，解得或，
不妨取，，，，
设，则，即，
．
故答案为：3．
四．解答题（共6小题）
17．已知双曲线的焦点，，双曲线上一点到的最短距离为．
（1）求双曲线的标准方程和渐近线方程；
（2）已知点，设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．设，求的取值范围．
解：（1）双曲线的焦点，，双曲线上一点到的最短距离为．
可设双曲线的方程为，
，，
，
，
则双曲线的方程为：，
令，
则，
即渐近线方程为；
（2）设的坐标为，，则的坐标为，，
，，
的取值范围是，．
18．已知点在双曲线上．
（1）求正数的值；
（2）求双曲线上的动点到定点的距离的最小值．
解：（1）把点代入双曲线中，有，
解得，
，．
（2）设点的坐标为，则，且或，
，
当时，取得最小值为24，
的最小值为．
19．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且的渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与椭圆及双曲线都有两个不同的交点，且与的两个交点和满足（其中为原点），求的取值范围．
解：（1）根据题意，的渐近线方程为，则设双曲线的方程为，则，，
又双曲线的焦距为4，则，即，
于是由，
故的方程为；
（2）根据题意，将代入得，
由直线与椭圆有两个不同的交点得，即，①
将代入得，
由直线与双曲线有两个不同的交点，，
则有，即且，②
设，，，，则，，
则得，
而，
于是，解此不等式得，或，③
由①，②，③得，或，
故的取值范围为．
20．已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点，．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上的点满足，求△的面积．
解：（1），
，又，，
双曲线的标准方程为；
（2）时，，，
．
21．若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点且与轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点，，的垂直平分线为，求直线与轴上的截距的取值范围．
解：（1）直线过轴上一点，
由题意可得，即，
双曲线的渐近线方程为，
由两直线平行的条件可得，
解得，，
即有双曲线的方程为；
（2）设直线，
代入可得，，
设，，，，
，，
中点为，，
可得的垂直平分线方程为，
令，可得，
由△，解得，
又，解得，
综上可得，，
即有的范围是，
可得直线与轴上的截距的取值范围为．
22．过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于、两点，其中是的中点．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若纵坐标为2时，求直线的方程；
（3）求证：是一个定值．
解：（1）双曲线的，，
可得双曲线的渐近线方程为，
即为；
（2）令可得，解得，（负的舍去），
设，，
由为的中点，可得，，
解得，，
即有，，
可得的斜率为，
则直线的方程为，
即为为所求；
（3）证明：设，，即有，
设，，
由为的中点，可得，，
解得，，
则
为定值．