第3章勾股定理 期中复习测评 2021-2022学年苏科版八年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学上册《第3章勾股定理》期中复习测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，直线MN∥PQ，等腰直角三角板ABC的底角顶点A落在PQ上，直角顶点C落在MN上，若∠BCM＝10°，则∠PAB的度数为（　　）
A．70° B．65° C．60° D．55°
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝20，则S2＝（　　）
A．14 B． C．26 D．
3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＝b2+c2，则（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠C＝∠A+∠B
4．若3、4、a为勾股数，则a的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣5或 D．5或
5．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（　　）
A．n2+2mn+m2＝0 B．m2+2mn﹣n2＝0
C．m2﹣2mn﹣n2＝0 D．m2﹣2mn+n2＝0
6．直角三角形两直角边长分别为3cm和5cm，则这个直角三角形的周长是（　　）
A．12cm B．（8+）cm C．12cm或（8+）cm D．11cm或13cm
7．如图，已知直线l1∥l2，将一个含45°角的三角尺按图中方式放置，如果∠1＝24°，那么∠2的度数为（　　）
A．24° B．45° C．66° D．21°
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上且AD＝BD，M是BD的中点，若AC＝16，BC＝8，则CM等于（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
9．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（　　）
A．45° B．40° C．30° D．25°
10．如图，将一块含有45°角的直角三角板的直角顶点放在矩形板的一边上，若∠1＝35°，那么∠2的度数是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的著名的“赵爽弦图”，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理，设AD＝c，AE＝a，DE＝b，取c＝10，a﹣b＝2，则（a+b）2＝　 　．
12．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，如果点P在AC边上，且点P到Rt△ABC的两个顶点的距离相等，那么AP的长为 　 　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，D为CA延长线上一点，DE⊥BC交AB于点F．点F为AB中点，且BC＝12，则DF＝　 　．
如图，在△ABC中，AB＝4，∠BAC＝135°，D为边BC的中点，若AD＝1.5，则AC的长度为 　 　．
15．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是17，小正方形的面积是2，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是 　 　．
16．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝BC，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于 　 　．
17．如图，在△ABC中，点M为BC上一个动点，过点M作MN⊥BC，垂足为点M，交AC于点N，点D为点C关于点M的对称点（点D不与点B、C重合）．连接DN，AD，若AB＝AC＝5，BC＝8，CM≤4，当△ABD为等腰三角形时，CM的长为 　 　．
18．如果一个三角形的三边分别为1、、，则其面积为 　 　．
19．在△ABC中，∠B＝90°，a＝2，b＝5，则c＝　 　．
20．等腰三角形的腰长为，底长为2，则其腰上的高为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD为BC边上的中线，且AD＝8，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求DE的长．
22．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
23．如图，每个小正方形的边长都为1．求四边形ABCD的周长及面积．
24．四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，AD＝5，CD＝．
（1）证明：AC⊥CD；
（2）求四边形ABCD的面积．
25．为迎接十四运，西安某区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．某小区将对广场一块三角形空地进行绿化，如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，点D是AC上的一点，BD＝8，CD＝6．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求线段AB的长．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底的等腰三角形？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵∠BCM＝10°，
∵∠BDM＝∠B+∠BCM，
∴∠BDM＝10°+45°＝55°，
∵MN∥PQ，
∴∠PAB＝∠BDM＝55°．
故选：D．
2．解：由勾股定理得，AC2＝AB2﹣BC2＝20﹣6＝14，
则S2＝AC2＝14，
故选：A．
3．解：∵∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a2＝b2+c2，
∴∠A＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝90°＝∠A，
故选：A．
4．解：∵3、4、a为勾股数，
∴当a最大时，此时a＝＝5，
当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数，
故选：B．
5．解：如图，
m2+m2＝（n﹣m）2，
2m2＝n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2＝0．
故选：B．
6．解：5cm是直角边时，第三边＝（cm），
所以，这个直角三角形的周长＝3+5+＝（8+）cm．
故选：B．
7．解：由题意含45°角的三角尺可知，
∠3＝45°，∠4＝90°．
∵l1∥l2，
∴∠1+∠3+∠2+∠4＝180°．
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠3﹣∠4
＝180°﹣24°﹣45°﹣90°
＝21°．
故选：D．
8．解：设BD＝x，则CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝16﹣x，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2＝BC2+CD2，
即：x2＝82+（16﹣x）2，
解得：x＝10，
∴BD＝10，
∵M是BD的中点，
∴CM＝5，
故选：A．
9．解：如图，连接CG、AG，
由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10，
∴AC2+AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°，
故选：A．
10．解：∵将一块含有45°角的直角三角板的直角顶点放在矩形板的一边上，
∴∠3＝45°，
∵a∥b，
∴∠4+∠3+∠1＝180°，
∴∠4＝180°﹣35°﹣45°＝100°，
∴∠2＝∠4＝100°，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵HE＝a﹣b＝2，
∴S正方形EFGH＝HE2＝4，
∵AD＝c＝10，
∴S正方形ABCD＝AD2＝100，
∴四个直角三角形的面积和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝100﹣4＝96，
∴4×ab＝96，解得2ab＝96，
∵a2+b2＝c2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
故答案为：196．
12．解：在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，
∴AC＝＝＝8，
若PB＝PC，连接PB，
设PA＝x，则PB＝PC＝8﹣x，
在Rt△PAB中，
∵PB2＝AP2+AB2，
∴（8﹣x）2＝x2+62，
∴x＝，即PA＝，
若PA＝PC，则PA＝4，
若PA＝PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能，
故PA的长为：4或．
13．解：过A点作AG⊥BC于G，
∵DE⊥BC交AB于点F．点F为AB中点，
∴EF∥AG，
∴EF是△ABG的中线，
∵AB＝AC＝10，AG⊥BC，
∴BG＝GC＝BC＝6，
由勾股定理得：AG＝，
∴EF＝AG＝4，BF＝AB＝5，
由勾股定理得：BE＝，
∴EC＝BC﹣BE＝12﹣3＝9，
∵AG∥EF，
∴DE＝12，
∴DF＝DE﹣EF＝12﹣4＝8，
故答案为：8．
14．解：取AC的中点E，过点D作DF⊥AE于点F，连接DE，
∵D为BC的中点，E为AC的中点，
∴DE＝AB＝2，DE∥AB，
∵∠BAC＝135°，
∴∠AED＝180°﹣∠BAE＝45°，
∴DF＝EF＝＝，
∵AD＝，
∴AF＝＝＝，
∴AE＝AF+EF＝+，
∴AC＝2AE＝2×＝1+2，
故答案为1+2．
15．解：根据勾股定理可得a2+b2＝17，
四个直角三角形的面积是：ab×4＝17﹣2＝15，即：2ab＝15，
则（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝17﹣15＝2．
故答案为：2．
16．解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝90°．
∵E是AC的中点，DE＝5，
∴AC＝2DE＝10．
∵AD＝6，
∴CD＝＝＝8．
故答案为：8．
17．①当AB＝BD时，则BD＝5，
∴CD＝BC﹣BD
＝8﹣5
＝3，
∵CM＝MD
∴
②当AD＝BD时，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠DAB，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DAB＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴，
∴，
∴，
综上所述CM的长为或，
故答案为：或．
18．解：∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴三角形的面积＝，
故答案为：．
19．解：在△ABC中，∠B＝90°，a＝2，b＝5，
∴a2+c2＝b2，
即22+c2＝52，
解得c＝，
故答案为．
20．解：如图，△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，
过点A作AD⊥BC，交BC于点D，
则BD＝BC＝1cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝，
设一腰上的高为h，
∵△ABC的面积＝BC AD＝AB h，
即2×＝ h，
解得h＝．
故答案为．
三．解答题（共10小题，满分60分）
21．（1）证明：∵BC＝12，AD为BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC＝6，
∵AD＝8，AB＝10，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC；
（2）解：∵AD⊥BC，AD为BC边上的中线，
∴AB＝AC，
∵AB＝10，
∴AC＝10，
∵△ADC的面积S＝＝，
∴＝，
解得：DE＝4.8．
22．解：（1）若点A在线段PQ的垂直平分线上，则AP＝AQ，
∵AP＝t，AQ＝12﹣3t，
∴t＝12﹣3t，
解得：t＝3，
答：当t＝3时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）①若∠APQ＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠AQP＝30°，
∴AQ＝2AP，
∴12﹣3t＝2t，
∴t＝，
②若∠AQP＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
∴t＝2（12﹣3t），
∴t＝．
∴当t＝或时，△APQ是直角三角形．
23．解：根据勾股定理得AB＝＝5，AD＝＝5，CD＝＝，BC＝＝2，
故四边形ABCD的周长为5+5++2＝5+5+3；
面积为5×7﹣×1×7﹣×1×2﹣1﹣×3×4﹣×2×4＝17.5．
24．（1）证明：在△ABC中，∵AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，
∴AC＝＝＝2，
在△ACD中，∵AD＝5，CD＝，
∴AC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴AC⊥CD；
（2）解：∵△ABC的面积为，△ACD的面积为，
∴四边形ABCD的面积为4+5＝9．
25．（1）证明：∵BC＝10，BD＝8，CD＝6，
∴BD2+CD2＝82+62＝102＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）解：设AB＝x，则AB＝AC＝x，
∵CD＝6，
∴AD＝x﹣6，
∵AB2＝BD2+AD2，
∴x2＝82+（x﹣6）2，
解得：x＝，
∴AB＝．
26．解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°．
又∵AB＝12cm，
∴AC＝6cm，
∵点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，
∴BP＝2t（cm），AP＝AB﹣BP＝（12﹣2t）cm，AQ＝tcm；
（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，
∴当t＝4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形．