2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修1 _1.3.1 单调性与最大（小）值（1） 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
高中数学必修一
1.3.1单调性与最大（小）值（1）
------函数的单调性
1.3.1单调性与最大（小）值（1）
------函数的单调性
一.引入课题
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1
-1
y
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
问：随x的增大，y的值有什么变化？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f(x) = 2x+1
① 从左至右图象上升还是下降______
②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．
2．f(x) = -2x+1
① 从左至右图象上升还是下降 ______
②在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
上升
增大
下降
减小
3．f(x) = x
①在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
② 在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
2
减少
增大
二.新课教学
（一）函数单调性定义
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x , x ，当x 1
2
2
1
1
2
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1 , x 2 ，当x 1 < x 2 时，都有f(x 1 )>f(x 2 )，那么就说f(x)在区间D上
是减函数。
2．减函数
注意：
1、变量属于定义域；
2、注意自变量取值的任意性；
3、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
4、必须是对于区间D内的任意两个自变量x 1 , x2 ；当x 1 < x2时，总有f(x 1)f(x 2 )】。
3．单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
注意：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；
⑵ x 1 , x 2应是该区间内任意的两个实数，忽略任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得f( )>f( )，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；
⑶几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.
讨论：一次函数 的单调性，单调区间：
（二）典型例题
例1．如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.
注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；
证明：
（作差变形）
证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1 ② 作差f(x1)－f(x2)；
③ 变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
4．判断函数单调性的方法及步骤
（一）、用图象；
（二）、利用定义；
（三）、其它（后面会学到）。
探究：P30 画出反比例函数
的图象．
①这个函数的定义域是什么？
②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
例3证明函数 在（0，+∞）上为减函数．
证明：
注意变形程度
三.归纳小结
1、函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
2、直接利用初等函数的单调区间。
四.作业布置
书面作业：课本P32 练习：2、3 （书上 完成 ）
P39习题1．3（A组） 第1- 2题．
3