2020-2021学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章 空间向量与例题几何章末检测（Word含答案解析）

选择性必修第一册人教A版（2019）
第一章空间向量与立体几何章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在空间四点，，，中，若，，是空间的一个基底，则下列命题不正确的是　　
A．，，，四点不共线
B．，，，四点共面，但不共线
C．，，，四点不共面
D．，，，四点中任意三点不共线
2．若平面，的法向量分别为，2，，，，，且，则的值为
A．10 B． C． D．
3．若向量，，则　　
A． B． C． D．
4．已知，，，，4，，，2，，若、、三向量共面，则实数等于　　
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知动点在正方体的对角线（不含端点）上．设，若为钝角，则实数的取值范围为　　
A． B． C．， D．，
6．已知空间中三点，1，，，2，，，3，，则　　
A．与是共线向量
B．与向量方向相同的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是，，
7．设，，向量，，，且，，则　　
A． B．3 C．4 D．
8．所有棱长都为的正四面体的一个面与某四棱体的一个面重合后，得到一个三棱柱，则该四棱体侧面与底面所成二面角的余弦值是　　
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全选对得5分，选对但不全得2分，有错误答案得0分）
9．已知，分别为直线，的方向向量，不重合），，分别为平面，的法向量，不重合），则下列说法中，正确的是　　
A． B．
C． D．
10．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，，2，，，2，．对于结论：
①；
②；
③是平面的法向量；
④．
其中正确的是　　
A．① B．② C．③ D．④
11．已知空间中三点，1，，，2，，，3，，则下列结论正确的有　　
A．与是共线向量
B．与共线的单位向量是，1，
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是，，
12．关于空间向量，以下说法正确的是　　
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D．若，则是钝角
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上）
13．若，，，，0，，，4，，则　　．
14．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则　　．
15．在的二面角内有一点，已知，，，为垂足，且，，则到棱的距离为 　　．
16．已知，5，，，1，，若，，，，且平面，则　　．
四、解答题（本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上）
17．如图，在空间四边形中，，为其对角线，为的重心．
（1）求证：；
（2）化简：．
18．对于任意空间四边形，，分别是，的中点．
（1）试证：与，共面；
（2），，，试用基底，，表示向量．
19．已知空间中三点，0，，，，，，0，，设，．
（Ⅰ）若，且，求向量；
（Ⅱ）已知向量与互相垂直，求的值；
（Ⅲ）求的面积．
20．已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点．
（1）用向量法证明，，，四点共面；
（2）用向量法证明：平面；
（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有．
21．如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离．
22．如图在四棱锥，棱底面，底面四边形为梯形，其中，，点在线段，且满足．
（1）求证：平面；
（2）若，点为线段上靠近的三等分点，求二面角的余弦值．
选择性必修第一册人教A版（2019）
第一章空间向量与立体几何章末检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．解：因为为基底，
所以非零向量不在同一平面内，
即，，，四点不共面，
所以、、选项说法正确，错误．
故选：．
2．解：，
平面，的法向量互相垂直
，2，，，即
解得
故选：．
3．解：因为，，，所以说法错误，说法正确．
所以．所以，说法错误．
故选：．
4．解：与不共线，
可取作此平面的一个基向量．
、、三向量共面，存在实数，使得．
，
解得
故选：．
5．解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则有，0，，，1，，，1，，，0，
，1，，设，，，
，，，0，，，，
，，，1，，，，
由图知不是平角，为钝角等价于，
，
，
解得
的取值范围是，
故选：．
6．解：空间中三点，1，，，2，，，3，，
对于，，1，，，2，，与不是共线向量，故错误；
对于，，1，，，，，故错误；
对于，，1，，，1，，
和夹角的余弦值是：，，故错误；
对于，，1，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，故正确．
故选：．
7．解：设，，向量，1，，，，，，，，
且，，
，解得，，
，1，，，，，，
．
故选：．
8．解：由题意可知，一个三棱柱可被一个平面切成一个三棱锥与一个四棱锥，
由题意可得，该四棱锥为所有棱长均为的正四棱锥，如图所示，
连接，交于点，连接，
则平面，
取的中点，连接，，
由三垂线定理可知，是侧面与底面所成的二面角的平面角，
则，，
所以，
则该四棱体侧面与底面所成二面角的余弦值是．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．解：因为，分别为直线，的方向向量，不重合），
则，故选项错误；
则，故选项正确；
因为，分别为平面，的法向量，不重合），
则，故选项错误；
则，故选项正确．
故选：．
10．解：因为，，，，2，，，2，，
对于①，，则，所以，故选项①正确；
对于②，，则，所以，故选项②正确；
对于③，因为，，且，，平面，
则平面，所以是平面的法向量，故选项③正确；
对于④，，
假设存在实数，使得，则，无解，
所以与不平行，故选项④错误．
故选：．
11．解：空间中三点，1，，，2，，，3，，
对于，，1，，，2，，与不平行，
与不是共线向量，故错误；
对于，与共线的单位向量是，，，故错误；
对于，，1，，
与夹角的余弦值是：
，故正确；
对于，设平面的法向量，，，
则，取，得，，，故正确．
故选：．
12．解：．空间中的三个向量，若有两个向量共线，
由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，正确；
．对空间中任意一点，有，
由，则，，，四点共面，正确；
．向量组是空间的一个基底，
若，则也是空间的一个基底，由空间基底定义可知正确；
，则是钝角或平角，因此不正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．解：因为，，，，0，，，4，，
所以，
所以．
故答案为：3．
14．解：连接（图略），
由题意可得，
则．
因为，
所以，，
所以．
故答案为：0
15．解：如图所示，
与确定平面，与交于点，则，，
即为二面角的平面角，，
从而，，，
设，，则，
所以，，解得，
则到棱的距离为：，
故答案为：．
16．解：，5，，，1，，，，，
，且平面，
，
解得，，
，，．
故答案为：，，．
四．解答题（共6小题）
17．（1）证明：因为为的重心，所以，①
同理，②
，③
所以①②③得．
（2）解：因为，
所以
．
18．（1）证明：如图，连接，取的中点，连接，．
，分别为，的中点，．
又平面，平面．
平面．
同理可证，平面．
向量与，共面；
（2）解：
．
19．解：空间中三点，0，，，，，，0，，设，，
，
，且，，
，
，，1，或，，．
，，，0，，，，
，0，，
向量与互相垂直，
，解得．
的值是5．
，，，，0，，，1，，
，
，
．
20．证明：如图：（1）连接，则
由共面向量定理的推论知：、、、四点共面，（其中
（2）因为．
所以，又面，不在 面
所以平面．
（3）连接，，，，，，
由（2）知，同理，所以，
，，所以、交于一点且被平分，
所以
21．解：（1）分别以、、为、、轴，建立如图的坐标系，则，0，，，0，，，0，，，0，
所以，设，，，
所以，，
；
（2）当为的中点时，，1，，，
设平面的法向量是，
求出，，
由，得
，1，
由点到平面的距离公式，得，
点到面的距离是．
22．解：（1）证明：如图，连接与，且其交点为，连接，
在梯形中，且，
，
又点满足，
，
，
，
又平面，平面，
平面；
（2）平面且，
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，0，，，2，，，0，，
又点为线段上靠近的三等分点，则，
，
设平面及平面的一个法向量分别为，
则，则可取，
则，则可取，
设锐二面角的平面角为，则，
二面角的余弦值为．