2020-2021学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何章末检测（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何章末检测（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-02 20:17:32 | ||
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文档简介
绝密★启用前
选择性必修第一册人教A版（2019）
第一章空间向量与立体几何章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知，，，，，，，，，则向量与的夹角为
A． B． C． D．
2．若、、、为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则
A．，，共线 B．，共线
C．，共线 D．，，，四点共面
3．正方体中，，，分别是，，的中点，以，，为基底，，则，，的值是
A． B． C． D．
4．若点，3，关于平面的对称点为，点，1，关于轴对称点为，点为线段的中点，则
A． B． C．5 D．
5．已知点在基底，，下的坐标为，6，，其中，，，则点在基底，，下的坐标为
A．，14， B．，12， C．，10， D．，2，
6．已知直线的方向向量为，0，，点，2，在上，则点，，到的距离为
A． B．4 C． D．
7．已知，，，，，，则的最小值为
A． B． C． D．
8．如图，在正三棱柱中，，，点是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全选对得5分，选对但不全得2分，有错误答案得0分）
9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，3，，，，，则
B．直线的方向向量，，，平面的法向量是，4，，则
C．两个不同的平面，的法向量分别是，2，，，4，，则
D．直线的方向向量，3，，平面的法向量是，，，则
10．在菱形中，若是平面的法向量，则以下等式中一定成立的是
A． B． C． D．
11．如图，正方体中，为中点，在线段上．给出下列判断，其中正确的为
A．存在点使得平面
B．在平面内总存在与平面平行的直线
C．平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置无关
D．三棱锥的体积与点的位置无关
12．正方体中，为底面的中点，为棱的中点，则下列结论中正确的是
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成的角等于
D．二面角的大小为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上）
13．已知，，若，则 ．
14．已知点，，的坐标分别为，1，，，0，，，1，，点的坐标为，0，，若，，则点的坐标为 ．
15．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于 ．
16．如图，在一个的二面角的棱上，有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，，，则的长为 ．
四、解答题（本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上）
17．如图所示，在三棱柱中，是中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
18．已知向量，4，，，0，，，2，．
（1）若，求；
（2）若，求的值．
19．已知长方体中，，，为侧面的中心，为的中点．求下列向量的数量积：
（1）；
（2）．
20．已知空间三点，0，，，1，，，0，，设，，
（1）求和夹角的余弦值；
（2）设，，求的坐标．
21．如图，在正方体中，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
22．如图，，分别是圆台上、下底面的圆心，是下底面圆的直径，，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点（点不在上）．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
试卷第2页，总5页
选择性必修第一册人教A版（2019）
第一章空间向量与立体几何章末检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．解：因为，，，，，，，，，
所以，
所以，并且，，
所以，，
的夹角为
故选：．
2．解：向量，，不能构成空间的一个基底，
向量，，共面，
因此，，，四点共面，
故选：．
3．解：如图所示，
，
又，
．
故选：．
4．解：点，3，关于平面的对称点为，
，，，
点，1，关于轴对称点为，
，1，，
点为线段的中点，
，，，
．
故选：．
5．解：
，
点在，，下的坐标为，14，．
故选：．
6．解：根据题意，得；
，3，，
，0，，
，，
，；
又，
点，，到直线的距离为
，．
故选：．
7．解：，，，，，，，
．
故当时，有最小值等于，
故选：．
8．解：平面，与平面所成角为，
，，，
而平面平面，
设直线与平面所成角为，
则与平面所成角的正弦值为：
．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．解：对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，3，，，，，
且，所以，选项正确；
对于，直线的方向向量，，，平面的法向量是，4，，
且，所以或，判断选项错误；
对于，两个不同的平面，的法向量分别是，2，，，4，，
且，所以，选项正确；
对于，直线的方向向量，3，，平面的法向量是，，，
且，所以，选项错误．
故选：．
10．解：在菱形中，是平面的法向量，
平面，
对于，平面，，，故正确；
对于，由菱形对角垂线垂直，即，
由三垂线定理得与定垂直，，故正确；
对于，与不一定垂直，不一定成立，故错误；
对于，平面，，，故正确．
故选：．
11．解：对于，假设存在使得平面，则，
又，，
平面，则，这与矛盾，故选项错误；
对于，平面与平面相交，设交线为，
在平面内与平行的直线平行于平面，故选项正确；
对于，设平面与平面所成的二面角（锐角）的大小为，△在平面内的射影面积不变，但随着点的移动，△在发生变化，
由可知，平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，故选项错误；
对于，三棱锥的体积即为三棱锥的体积，
平面，
点在线段上移动时，到平面平面的距离不变，故三棱锥的体积与点的位置无关，故选项正确．
故选：．
12．解：连接，交于点，则，
由平面，平面，
所以平面，
故选项正确；
由三垂线定理的逆定理可得，
设正方体的棱长为2，则，
所以，
故，
由线面垂直的判定定理可得，平面，
故选项正确；
由正方体的面对角线相等，可得△为正三角形，即，
所以异面直线与所成的角为，
故选项错误；
为二面角的平面角，
在中，不可能为，
故选项错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．解：，
，解得，显然，．
故答案为：．
14．解：，，．
，，．
，解得．
．
故答案为．
15．解：，，，，，三向量共面，
，，
，，，，，，，，，
，
解得，，
实数．
故答案为：4．
16．解：在一个的二面角的棱上，
有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，
且，，，
．
的长．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．解：（1）；
（2）；
（3）．
18．解：（1），存在实数使得，可得：，解得．
；
（2），，解得．
，2，．
，2，，2，．
19．解：建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，0，，，0，，，4，，，0，
，0，，，4，，，2，，
（1）可得，4，，，4，，
故；
（2）可得，2，，，0，，
故
20．解：（1），1，，，0，，
，，．
．
（2），，．
设，，，
，，
，存在实数使得，即，
联立解得或．
，，．
21．解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，中，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面．
（Ⅱ）解法一：以为原点，、、分别为、和轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，0，，，0，，，0，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，，，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
解法二：设正方体的棱长为，则，，，，
由余弦定理知，，
，
，
设点到平面的距离为，
，
，，
设直线与平面所成角为，则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
22．（Ⅰ）证明：由题意可得平面，，
为直径，，
，
平面，
又平面，平面平面；
（Ⅱ）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
，，，
可得，，，，2，，，0，，，，，
，，，．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
由，取，得；
由，取，得．
．
由图可知二面角为钝角，
二面角的余弦值为．
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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选择性必修第一册人教A版（2019）
第一章空间向量与立体几何章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知，，，，，，，，，则向量与的夹角为
A． B． C． D．
2．若、、、为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则
A．，，共线 B．，共线
C．，共线 D．，，，四点共面
3．正方体中，，，分别是，，的中点，以，，为基底，，则，，的值是
A． B． C． D．
4．若点，3，关于平面的对称点为，点，1，关于轴对称点为，点为线段的中点，则
A． B． C．5 D．
5．已知点在基底，，下的坐标为，6，，其中，，，则点在基底，，下的坐标为
A．，14， B．，12， C．，10， D．，2，
6．已知直线的方向向量为，0，，点，2，在上，则点，，到的距离为
A． B．4 C． D．
7．已知，，，，，，则的最小值为
A． B． C． D．
8．如图，在正三棱柱中，，，点是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全选对得5分，选对但不全得2分，有错误答案得0分）
9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，3，，，，，则
B．直线的方向向量，，，平面的法向量是，4，，则
C．两个不同的平面，的法向量分别是，2，，，4，，则
D．直线的方向向量，3，，平面的法向量是，，，则
10．在菱形中，若是平面的法向量，则以下等式中一定成立的是
A． B． C． D．
11．如图，正方体中，为中点，在线段上．给出下列判断，其中正确的为
A．存在点使得平面
B．在平面内总存在与平面平行的直线
C．平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置无关
D．三棱锥的体积与点的位置无关
12．正方体中，为底面的中点，为棱的中点，则下列结论中正确的是
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成的角等于
D．二面角的大小为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上）
13．已知，，若，则 ．
14．已知点，，的坐标分别为，1，，，0，，，1，，点的坐标为，0，，若，，则点的坐标为 ．
15．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于 ．
16．如图，在一个的二面角的棱上，有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，，，则的长为 ．
四、解答题（本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上）
17．如图所示，在三棱柱中，是中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
18．已知向量，4，，，0，，，2，．
（1）若，求；
（2）若，求的值．
19．已知长方体中，，，为侧面的中心，为的中点．求下列向量的数量积：
（1）；
（2）．
20．已知空间三点，0，，，1，，，0，，设，，
（1）求和夹角的余弦值；
（2）设，，求的坐标．
21．如图，在正方体中，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
22．如图，，分别是圆台上、下底面的圆心，是下底面圆的直径，，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点（点不在上）．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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选择性必修第一册人教A版（2019）
第一章空间向量与立体几何章末检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．解：因为，，，，，，，，，
所以，
所以，并且，，
所以，，
的夹角为
故选：．
2．解：向量，，不能构成空间的一个基底，
向量，，共面，
因此，，，四点共面，
故选：．
3．解：如图所示，
，
又，
．
故选：．
4．解：点，3，关于平面的对称点为，
，，，
点，1，关于轴对称点为，
，1，，
点为线段的中点，
，，，
．
故选：．
5．解：
，
点在，，下的坐标为，14，．
故选：．
6．解：根据题意，得；
，3，，
，0，，
，，
，；
又，
点，，到直线的距离为
，．
故选：．
7．解：，，，，，，，
．
故当时，有最小值等于，
故选：．
8．解：平面，与平面所成角为，
，，，
而平面平面，
设直线与平面所成角为，
则与平面所成角的正弦值为：
．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．解：对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，3，，，，，
且，所以，选项正确；
对于，直线的方向向量，，，平面的法向量是，4，，
且，所以或，判断选项错误；
对于，两个不同的平面，的法向量分别是，2，，，4，，
且，所以，选项正确；
对于，直线的方向向量，3，，平面的法向量是，，，
且，所以，选项错误．
故选：．
10．解：在菱形中，是平面的法向量，
平面，
对于，平面，，，故正确；
对于，由菱形对角垂线垂直，即，
由三垂线定理得与定垂直，，故正确；
对于，与不一定垂直，不一定成立，故错误；
对于，平面，，，故正确．
故选：．
11．解：对于，假设存在使得平面，则，
又，，
平面，则，这与矛盾，故选项错误；
对于，平面与平面相交，设交线为，
在平面内与平行的直线平行于平面，故选项正确；
对于，设平面与平面所成的二面角（锐角）的大小为，△在平面内的射影面积不变，但随着点的移动，△在发生变化，
由可知，平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，故选项错误；
对于，三棱锥的体积即为三棱锥的体积，
平面，
点在线段上移动时，到平面平面的距离不变，故三棱锥的体积与点的位置无关，故选项正确．
故选：．
12．解：连接，交于点，则，
由平面，平面，
所以平面，
故选项正确；
由三垂线定理的逆定理可得，
设正方体的棱长为2，则，
所以，
故，
由线面垂直的判定定理可得，平面，
故选项正确；
由正方体的面对角线相等，可得△为正三角形，即，
所以异面直线与所成的角为，
故选项错误；
为二面角的平面角，
在中，不可能为，
故选项错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．解：，
，解得，显然，．
故答案为：．
14．解：，，．
，，．
，解得．
．
故答案为．
15．解：，，，，，三向量共面，
，，
，，，，，，，，，
，
解得，，
实数．
故答案为：4．
16．解：在一个的二面角的棱上，
有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，
且，，，
．
的长．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．解：（1）；
（2）；
（3）．
18．解：（1），存在实数使得，可得：，解得．
；
（2），，解得．
，2，．
，2，，2，．
19．解：建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，0，，，0，，，4，，，0，
，0，，，4，，，2，，
（1）可得，4，，，4，，
故；
（2）可得，2，，，0，，
故
20．解：（1），1，，，0，，
，，．
．
（2），，．
设，，，
，，
，存在实数使得，即，
联立解得或．
，，．
21．解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，中，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面．
（Ⅱ）解法一：以为原点，、、分别为、和轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，0，，，0，，，0，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，，，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
解法二：设正方体的棱长为，则，，，，
由余弦定理知，，
，
，
设点到平面的距离为，
，
，，
设直线与平面所成角为，则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
22．（Ⅰ）证明：由题意可得平面，，
为直径，，
，
平面，
又平面，平面平面；
（Ⅱ）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
，，，
可得，，，，2，，，0，，，，，
，，，．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
由，取，得；
由，取，得．
．
由图可知二面角为钝角，
二面角的余弦值为．
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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