2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式同步测试卷（Word含答案解析）

第二章 一元二次函数、方程和不等式同步测试卷
一、单选题
1．不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
2．函数取得最小值时的自变量x等于（ ）
A． B． C．1 D．3
3．已知不等式解集为，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q
5．当0A．0 B．9 C．10 D．12
6．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．已知a<0且关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0解集为{x|x1A．－ B．－ C． D．
二、多选题
9．已知关于的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ）
A．不等式的解集可以是
B．不等式的解集可以是
C．不等式的解集可以是
D．不等式的解集可以是
10．已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．若a>b，则 B．存在实数a，使得不等式成立
C．若a>b>0，m>0，则 D．若a12．关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
三、填空题
13．已知，则___________.（用“>”或“<”填空）
14．若关于x的不等式（）的解集为，且，则a的值为___________.
15．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为___________．
16．已知正实数x，y满足，则的最小值为___________.
四、解答题
17．解下列不等式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
18．（1）已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
（2）已知a，b，c是两两不等的实数，p＝a2＋b2＋c2，q＝ab＋bc＋ca，试比较p与q的大小．
19．（1）已知，，且，求的最大值；
（2）若，，且，求的最小值.
20．（1）求函数的最小值；
（2）已知且，求x＋y的最小值．
21．（1）k是什么实数时，方程有两个不相等的实数根？
（2）已知不等式对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围.
22．（1）若关于x的不等式x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的不等式x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上有解，求实数m的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
第二章 一元二次函数、方程和不等式同步测试卷答案
1．B
【分析】
将分式不等式化为一元二次不等式求解即可.
【详解】
解：∵，∴
∴，即，∴，解得
故选：B
2．A
【分析】
根据基本不等式确定函数取得最小值时的自变量x的值.
【详解】
函数，且，可得，当且仅当，即时，取得最小值．
故选：A．
3．C
【分析】
根据不等式解集为，得方程的解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.
【详解】
解：因为不等式解集为，
所以方程的解为或，且，
所以，所以，
所以，故ABD错误；
，故C正确.
故选：C.
4．C
【分析】
由基本不等式可得，通过配方结合可得即可选得答案.
【详解】
，当且仅当时等号成立，
，当时等号成立，
所以.
故选：C
5．B
【分析】
利用基本不等式求解.
【详解】
因为0所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，
故选：B.
6．B
【分析】
由得，再根据充分必要条件的概念即可得答案.
【详解】
由得，
因为，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
7．C
【分析】
根据题意可得，由，展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
由，可得，
，
当且仅当且，即时等号成立．
故选：C．
8．A
【分析】
根据关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0解集为{x|x1【详解】
因为关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0解集为{x|x1所以，
又因为a<0，
所以x1＋x2＋，
当且仅当，即，等号成立，
故选：A
9．BD
【分析】
选项A先假设结论成立，再得到不等式为并求解，最后与解集产生矛盾判断选项A错误；选项B当，时，不等式恒成立，判断选项B正确；选项C当时不等式成立，判断选项C错误；选项D先假设结论成立，再求解得，符合题意，判断选项D正确；
【详解】
解：选项A：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故选项A错误；
选项B：当，时，不等式恒成立，则解集是，故选项B正确；
选项C：当时，不等式，则解集不可能为，故选项C错误；
选项D：假设结论成立，则，解得，符合题意，故选项D正确；
故选：BD
10．BC
【分析】
AD选项结合均值不等式即可判断；BC选项结合二次函数的最值问题即可分析.
【详解】
A．因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A错误，
B．，当且仅当时，等号成立，故B正确，
C．
，当且仅当时，等号成立，因此，故C正确，
D． ，当且仅当，即时，等号成立，故D错误；
故选：BC.
11．BCD
【分析】
利用特例可判断AB，利用作差法可判断C，利用不等式的性质可判断D，即得.
【详解】
若，可知，故A错误；
当时，，故存在实数a，使得不等式成立，故B正确；
∵a>b>0，m>0，∴,即，故C正确；
∵a故选：BCD
12．ABC
【分析】
利用二次函数的对称性确定原不等式的三个整数解即可计算作答.
【详解】
函数f(x)= x2-6x+a的图象对称轴为x=3，即在x=3时函数f(x)取得最小值，
依题意，不等式f(x)≤0的解集中有且仅有3个整数，则这三个整数必为2，3，4，
即2，4在不等式的解集中，1，5不在解集中，于是得，解得，
而a∈Z，则a=6或a=7或a=8，
所以a的取值可以是6或7或8.
故选：ABC
13．>
【分析】
利用作差法即得.
【详解】
∵，
∴>.
故答案为：>
14．
【分析】
根据一元二次不等式的解集与对应方程解的关系，利用根与系数的关系，结合题意即可求出a的值.
【详解】
解：关于x的不等式（）的解集为，
所以，是一元二次方程的实数根，
所以，且，.
又因为，
所以，
又，解得.
故答案为：.
15．
【分析】
利用“乘1法”即求.
【详解】
，且，
∴，
当且仅当时取等号，
故答案为：
16．##
【分析】
由条件可得且，利用基本不等式求解即可
【详解】
由得，
又，为正实数，所以，得，
则，
，
当且仅当,即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
17．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】
利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
（1），
所以不等式的解集为.
（2）或，
所以不等式的解集为.
（3），
解得，
所以不等式的解集为.
（4），
解得或，
所以不等式的解集为.
（5）
，
解得，所以不等式的解集为.
（6），
方程，，
二次函数开口向上，
所以不等式的解集为.
18．（1）3x3≤3x2－x＋1；（2）p>q.
【分析】
（1）作差法可得3x3－(3x2－x＋1)＝(3x2＋1)(x－1)，结合x≤1，即得解；
（2）由题意可证明a2＋b2>2ab，b2＋c2>2ac， a2＋c2>2ac，三个不等式叠加，即得解
【详解】
（1） 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0，
所以(3x2＋1)(x－1)≤0，
即3x3≤3x2－x＋1.
（2） 因为a， b， c互不相等，所以a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，
即a2＋b2>2ab.
同理b2＋c2>2ac， a2＋c2>2ac.
所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q.
19．（1）；（2）4.
【分析】
（1）由基本不等式即可求解；（2）由已知得，根据基本不等式即可求解.
【详解】
（1）因为，，且，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以，
故的最大值为.
（2）因为，，且，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4.
20．（1）5；（2）16．
【分析】
（1）构造，利用均值不等式，即得解
（2）构造，利用均值不等式，即得解
【详解】
（1），
又，
．
当且仅当，即x＝4时，y有最小值5.
（2），
，
当且仅当，又，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，．
21．（1）；（2） 或.
【分析】
结合二次不等式和二次函数之间的关系得出关于 的不等式，从而求出 的范围.
【详解】
（1）方程有两个不相等的实数根，即 ，
则有 ，
即 ，
，即，解得 ；
（2）不等式对一切实数x恒成立，
即，那么 ，那么 ，即 或 .
22．（1）{m|m＜－1}；（2）{m|m＜5}．
【分析】
先参变分离，转化为m＜x2－3x＋1，（1）恒成立问题，只需m小于函数y＝x2－3x＋1的最小值；（2）有解问题，只需m小于函数y＝ x2－3x＋1的最大值.
【详解】
解　（1） x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上恒成立，
即m＜x2－3x＋1在[－1, 1]上恒成立．
令y＝x2－3x＋1＝，
则当－1≤x≤1时，y随x的增大而减小，
所以ymin＝12－3×1＋1＝－1，
所以实数m的取值范围是{m|m＜－1}．
（2） x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上有解，
即m＜x2－3x＋1在[－1, 1]上有解．
令y＝x2－3x＋1＝，
则当－1≤x≤1时，y随x的增大而减小，
所以ymax＝(－1)2－3×(－1)＋1＝5，
所以实数m的取值范围是{m|m＜5}．答案第1页，共2页
答案第1页，共2页