1.3集合及其运算 周练（Word含答案解析）

每周一练（集合及其运算）
一、基础达标
1.集合A＝{－1，1，2，3}，B＝{－1，2，4}，则集合A∩B＝(　　)
A.{－1，1，2，3，4} B.{－1，2}
C.{－1，1，2} D.
2.已知集合M＝{x|－33}，则M∪N＝(　　)
A.{x|x>－3} B.{x|－3C.{x|33.设x＝，y＝3－，若集合M＝{m|m＝a＋b，a∈Q，b∈Q}，则x，y与集合M的关系是(　　)
A.x∈M，y∈M B.x∈M，y M
C.x M，y∈M D.x M，y M
4.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2}，N＝{2，5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是(　　)
A.{3，4，5} B.{1，3，4}
C.{1，2，5} D.{3，4}
5.设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2，5)}，则(　　)
A.a＝3，b＝2 B.a＝2，b＝3
C.a＝－3，b＝－2 D.a＝－2，b＝－3
6.设集合A＝{5，a＋1}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＝________，A∪B＝________.
7.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则 UA＝________.
8.已知集合A＝{x|00}，若A∪B C，则实数m的取值范围是________.
9.设集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|m－1(1)当x∈Z时，求集合A的非空真子集个数；
(2)当B A时，求m的取值范围.
10.设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|2a≤x<3－a}.
(1)若a＝－2，求B∩A，B∩( UA)；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
二、能力提升
11.(多选题)对任意A，B R，记A B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，并称A B为集合A，B的对称差，例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A B＝{1，4}. 下列命题中，正确的是(　　)
A.若A，B R，且A B＝B，则A＝
B.若A，B R，且A B＝ ，则A＝B
C.若A，B R，且A B A，则A B
D.存在A，B R，且A B＝ RA RB
12.已知集合A＝{x|x<－1或x>5}，B＝{x|a≤x13.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座.求听讲座的人数.
三、创新拓展
14.对于正整数集合A＝{a1，a2，…，an}(n∈N*，n≥3)，如果去掉其中任意一个元素ai(i＝1，2，…，n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”.
(1)判断集合{1，2，3，4，5}是不是“和谐集”(不必写过程)；
(2)请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”；
(3)当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，求证：集合A不是“和谐集”.
每周一练（集合及其运算）-参考答案
1答案　B
解析　A∩B＝{－1，1，2，3}∩{－1，2，4}＝{－1，2}.
2答案　A
解析　在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}.
3答案　A
解析　x＝＝3－2，y＝3－，对比集合M中元素的系数可得选项A正确.
4答案　D
解析　由图可知，阴影部分表示的集合是 U(M∪N).
∵M∪N＝{1，2，5}，又U＝{1，2，3，4，5}，
∴ U(M∪N)＝{3，4}.
5答案　B
解析　∵A∩B＝{(2，5)}，
∴解得故选B.
6答案　1　{1，2，5}
解析　因为A∩B＝{2}，所以a＋1＝2，即a＝1，同时b＝2.因此A＝{5，2}，
B＝{1，2}，故A∪B＝{1，2，5}.
7答案　{x|0解析　由题意得A＝{x|x≥1或x≤0}，
则由补集定义即得 UA＝{x|08答案　
解析　由题意，A∪B＝{x|－1∵集合C＝{x|mx＋1>0}，A∪B C，
①当m<0时，x<－，－≥2，
∴m≥－，∴－≤m<0；
②当m＝0时，不等式恒成立；
③当m>0时，x>－，∴－≤－1，
∴m≤1，∴0综上所述，－≤m≤1.故答案为.
9解　(1)∵x∈Z，∴A＝{x|－2≤x≤3}＝{－2，－1，0，1，2，3}，∴集合A的非空真子集的个数为26－2＝62.
(2)∵B A，∴当B＝ 时，m－1≥2m＋1，即m≤－2.
当B≠ 时，
解得－1≤m≤1.
综上 ，m的取值范围为(－∞，－2)∪[－1，1].
10解　(1)因为A＝{x|1≤x<4}，
所以 UA＝{x|x<1或x≥4}.
当a＝－2时，B＝{x|－4≤x＜5}，
所以B∩A＝{x|1≤x<4}，B∩( UA)＝{x|－4≤x<1或4≤x<5}.
(2)若A∪B＝A，则B A.
①当B＝ 时，2a≥3－a，解得a≥1；
②当B≠ 时，解得≤a＜1.
综上所述，a的取值范围为.
11答案　ABD
解析　由题意可得，若A，B R，且A B＝B，则A∩B＝ ，A B，所以A＝ ，故A正确；若A，B R，且A B＝ ，则A∪B＝ ，则A＝B，所以B正确；若A，B R，且A B A，则B A，故C不正确；存在A，B R，使得A B＝ RA
RB，则A＝B，故D正确.故选ABD.
12答案　{a|a≤－5或a>5}
解析　∵A＝{x|x<－1或x>5}，B＝{x|a≤x5，解得a≤－5或a>5.
13解　法一　设听了数学讲座、历史讲座、音乐讲座的同学构成的集合分别为A，B，C，因为听了数学讲座的人数为75，所以A中元素的个数为75.同理，B中元素的个数为68，C中元素的个数为61，A∩B中元素的个数为17，A∩C中元素的个数为12，B∩C中元素的个数为9，A∩B∩C中元素的个数为6，那么A∪B∪C中元素的个数为75＋68＋61－17－12－9＋6＝172，即听讲座的人数为172.
法二　作出Venn图.由图知听讲座的人数为52＋48＋46＋11＋6＋3＋6＝172.
14(1)解　集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”.
(2)解　集合{1，3，5，7，9，11，13}.
证明如下：
∵3＋5＋7＋9＝11＋13，
1＋9＋13＝5＋7＋11，
9＋13＝1＋3＋7＋11，
1＋9＋11＝3＋5＋13，
1＋3＋5＋11＝7＋13，
3＋7＋9＝1＋5＋13，
1＋3＋5＋9＝7＋11，
∴集合{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”.
(3)证明　假设集合A是“和谐集”.
不妨设0也必能将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有a2＋a5＝a3＋a4③，或a5＝a2＋a3＋a4④，
由①③，得a1＝a2，矛盾，
由①④，得a1＝－a2，矛盾，
由②③，得a1＝－a2，矛盾，
由②④，得a1＝a2，矛盾，所以假设不成立.
故当n＝5时，集合A一定不是“和谐集”.