第二课时 圆的一般方程
在上一节，我们已经知道圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
[问题] 如果把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？
知识点 圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为_．
圆的一般方程具有的特点
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F＞0.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．( )
(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．( )
答案：(1)× (2)√
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析：选D 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3)．
3．过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为________．
解析：该圆的圆心为，半径为，
故其标准方程为＋(y－2)2＝.
化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0.
答案：x2＋y2－3x－4y＝0
圆的一般方程的辨析
[例1] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[解] (1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
[跟踪训练]
已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.
求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
证明：∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.
又m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2－4F＞0，
即曲线C是一个圆．
设圆心坐标为(x，y)，则由消去m，得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上．
求圆的一般方程
[例2] (链接教科书第54页例3)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆一般的方程．
[解] 法一(待定系数法)：
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， ③
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④
联立①②④解得，或
故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
法二(几何法)：
由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1)．
又圆C的半径长r＝|CP|＝. ①
由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|.
∴r2＝a2＋，代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝，r2＝.
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
利用待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
[跟踪训练]
1．过点M(－1，1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________________．
解析：将已知圆的方程化为标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝16，圆心C的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r＝|CM|＝＝5.所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
2．过三点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的圆的方程为________________．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由已知，点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得关于D，E，F的三元一次方程组解方程组得D＝－8，E＝6，F＝0，于是得到所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
答案：x2＋y2－8x＋6y＝0
与圆有关的轨迹方程问题
[例3] (链接教科书第54页例4)已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程，并指明动点M运动的轨迹是什么图形．
[解] 设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)．由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，所以
x＝，y＝.
于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即(x0＋1)2＋y＝4.②
把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
整理，得＋＝1.
这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆．
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简．这种求轨迹方程的方法不需要特殊的技巧；
(2)代入法：
[跟踪训练]
平面内到两定点A，B的距离之比等于常数λ(λ>0，λ≠1)的动点P的轨迹叫作阿波罗尼斯圆．已知A(0，0)，B(3，0)，|PA|＝|PB|，则点P的轨迹围成的平面图形的面积为( )
A．2π B．4π
C.π D.π
解析：选B 设P(x，y)，因为A(0，0)，B(3，0)，所以|PA|＝，|PB|＝.
因为|PA|＝|PB|，
所以＝ ，
整理得(x＋1)2＋y2＝4.
即点P的轨迹是以(－1，0)为圆心，以2为半径的圆，所以S＝4π.
1．圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为( )
A．r＝1，(－2，1) B．r＝2，(－2，1)
C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1)
解析：选D x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，
所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1)．
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是( )
A．m< B．m>
C．m<0 D．m≤
解析：选A 因为x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，
则1＋1－4m>0，所以m<.
3．求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5，2)和(3，－2)的圆的一般方程．
解：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心为.
∵圆心在直线2x－y－3＝0上，
∴2×－－3＝0.①
又∵点(5，2)和(3，－2)在圆上，
∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0. ②
32＋(－2)2＋3D－2E＋F＝0. ③
解①②③组成的方程组，得D＝－4，E＝－2，F＝－5.
∴所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.
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5圆的方程
新课程标准解读 核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程 直观想象、数学运算
第一课时 圆的标准方程
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮．有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色．万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽．”
[问题] 如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？
知识点 圆的标准方程
1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：圆心和半径，如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )
(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a.( )
答案：(1)× (2)×
2．给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为( )
A．4x－y＝0 B．4x＋y＝0
C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0
解析：选B 由圆的标准方程，知圆心为(2，－8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0.
3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．
解析：圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.
答案：(x＋2)2＋y2＝4
圆的标准方程的定义
[例1] 写出圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在这个圆上．若该点不在圆上，说明该点在圆外还是在圆内？
[解] 圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
把点M1(5，－7)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上．
把点M2(－2，－1)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上．
又因为点M2到圆心A的距离d＝|M2A|＝＝2<5.
故点M2在圆内．
判断点P与圆C位置关系的方法
方法一：利用点P到圆心C的距离d与半径r大小关系来判断：
若d>r则点P在圆外；
若d＝r则点P在圆上；
若d方法二：根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆上；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆内．
[跟踪训练]
已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段P1P2为直径的圆的标准方程，并判断点M(5，3)，N(3，4)，P(3，5)是在圆上、圆内、还是圆外．
解：设圆心为C(a，b)，半径为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝＝4，b＝＝6，即圆心为C(4，6)，
由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.
法一：分别计算点M，N，P到圆心C的距离：
|CM|＝＝>，
|CN|＝＝，
|CP|＝＝<，
所以点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内．
法二：由于(5－4)2＋(3－6)2＝10>5，故点M在圆外；
由于(3－4)2＋(4－6)2＝5，故点N在圆上；
由于(3－4)2＋(5－6)2＝2<5，故点P在圆内．
求圆的标准方程
[例2] (链接教科书第52页例1)求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．
[解] 法一(待定系数法)：
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
法二(几何法)：
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
[母题探究]
(变设问)本例条件不变，试判断点M(2，1)在圆上还是在圆内或圆外？
解：因为(2－4)2＋(1＋3)2＝20<25，
所以点M在圆内．
求圆的标准方程的两种方法
（1）待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．
[跟踪训练]
1．圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________．
解析：设圆心为C(0，b)，
则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆心为(0，0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
答案：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25
2．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．
解：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有
解得
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
法二：因为A(0，5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.
由得圆心的坐标为(－3，1)，
又圆的半径长r＝＝5，
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
圆的标准方程的实际应用
[例3] (链接教科书第52页例2)赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥．如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径．
[解] 作出示意图如图所示，其中AB表示跨度，O为AB中点，OC为圆拱高．以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据已知条件有B，C(0，b)．
可以看出，圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上，因此可设圆心的坐标为(0，t)，半径为r，则因为B，C都在圆上，
所以
由此可解得r＝.
求与圆的方程有关的实际应用问题的解题步骤
[跟踪训练]
某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
解：建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上. 依题意，有A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(－5，0)，E(5，0)．设这座圆拱桥的拱圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于是有
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3 m，3<3.1，所以该船可以从桥下通过．
1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )
A．(－1，5)， B．(1，－5)，
C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3
答案：B
2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
解析：选D 由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
3．点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
答案：B
4．求圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程．
解：法一(直接法)：
设圆的圆心为C(0，b)，则＝1，
∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
法二(数形结合法)：
作图(如图)，根据点(1，2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0，2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
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6第二课时 直线与圆的位置关系的应用
新课程标准解读 核心素养
1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 数学建模
2.会用“数形结合”的数学思想解决问题 直观想象
有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m.
[问题] 当水面下降1 m后，水面宽多少米？
知识点 用坐标法解决几何问题
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
利用坐标法求解几何问题要注意什么？
提示：(1)利用“坐标法”解决问题首要任务是先建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素；
(2)建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单．
如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为( )
A．15米 B．13米
C．3米 D．6.5米
解析：选B 如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13米．
直线与圆的方程的实际应用
[例1] 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
[解] 以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0，3)，轮船所在位置的坐标为(4，0)．
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2＋y2＝4；
轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即3x＋4y－12＝0.
联立直线l与圆O的方程，得
消去y，得25x2－72x＋80＝0.
由Δ＝(－72)2－4×25×80<0，可知方程组无解．
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．
应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
[跟踪训练]
街头有一片绿地，绿地的四条边界(单位：m)如图所示，其中ABC为圆弧，求此绿地的面积(精确到0.1 m2)．
解：设圆弧ABC所对的圆心为点E，如图所示建立坐标系，各点坐标分别为A(0，7)，B(3，8)，C(7，6)，所以过A，B，C三点的圆弧的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝25(0≤x≤7，y>0)，连接EA，EC，AC，则|EA|＝|EC|＝5.因为|AC|＝＝5，所以∠AEC＝90°.
故所求的面积为S梯形AODC＋S弓形ABC＝S梯形AODC＋(S扇形EAC－S△ACE)＝＋π×52－×52＝33＋≈52.6(m2)．
所以绿地的面积约为52.6 m2.
直线与圆的方程在几何问题中的应用
[例2] 在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．
[解] 以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)．
设△AOB的内切圆的半径为r，点P的坐标为(x，y)，
则2r＋|AB|＝|OA|＋|OB|，∴r＝1.
∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
即x2＋y2－2y＝2x－1. ①
又|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25， ②
∴将①代入②，得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋22.
∵P(x，y)是内切圆上的点，∴0≤x≤2，
∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18.
又三个圆的面积之和为π＋π＋π2＝(|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)，
∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为π，最小值为π.
坐标法建立直角坐标系应坚持的原则
(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴；
(2)充分利用图形的对称性；
(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称；
(4)关键点的坐标易于求得．
[跟踪训练]
如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．
证明：如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m，0)，
C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0)．
设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上，
故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2
＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).
与圆有关的最值问题
[例3] 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值．
[解] 原方程表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆，设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
此时＝，解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
[母题探究]
(变设问)若本例中的条件不变，求y－x的最大值和最小值．
解：设y－x＝b，即y＝x＋b.
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
此时＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.
与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法
(1)形如t＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．
1．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )
A．1.4 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
解析：选B 如图，圆半径|OA|＝3.6，卡车宽1.6，所以|AB|＝0.8，所以弦心距|OB|＝≈3.5(m)，即为所求．
2．据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响．从现在起经过约______ h，台风将影响A城，持续时间约为______h(结果精确到0.1 h)．
解析：以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系(图略)，则台风中心的移动轨迹方程是y＝－x，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502，A(－300，0)．
依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，
解得－150－25≤a≤－150＋25，
∴t1＝＝≈2.0，
Δt＝＝≈6.6，
∴从现在起经过约2.0 h，台风将影响A城，持续时间约为6.6 h.
答案：2.0 6.6
3．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________．
解析：圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0距离为＝，则从村庄外围到小路的最短距离为－2.
答案：－2
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5第一课时 直线与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系 直观想象
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想 数学运算
早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种位置关系．
[问题] 日出升起的过程体现的是直线与圆的哪三种位置关系？
知识点 直线与圆的三种位置关系
设直线l和圆C的方程分别为Ax＋By＋C＝0，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心到直线l的距离为d，半径为r，则直线l与圆C的方程联立方程组
我们有如下结论：
方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同的解
直线与圆没有公共点 直线与圆有且只有一个公共点 直线与圆有两个公共点
相离 相切 相交
dr d＝r dr
1．若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？
提示：相切．
2．若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？
提示：d≤r.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(2)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．( )
答案：(1)√ (2)√
2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：选B 圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝.因为0＜＜1，故直线与圆相交但直线不过圆心，选B.
3．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( )
A．0或2 B．2
C. D．无解
解析：选B 由于直线与圆相切，故＝，解得m＝0(舍去)或m＝2.
4．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．
解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故圆心为(3，4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝，所以弦长为2＝2×＝2＝4.
答案：4
直线与圆位置关系的判断
[例1] (链接教科书第58页例1)求直线x－y－1＝0和圆x2＋y2＝13的公共点的坐标，并判断它们的位置关系．
[解] 直线x－y－1＝0和圆x2＋y2＝13的公共点的坐标就是方程组的解．
解这个方程组，得或
所以公共点的坐标为(3，2)或(－2，－3)．
因为直线x－y－1＝0和圆x2＋y2＝13有两个公共点，所以直线和圆相交．
判断直线与圆位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
[跟踪训练]
已知直线l：x－y＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，试判断直线l与圆C的位置关系，若相交求出交点坐标．
解：解方程组
得或
所以公共点坐标为(7，7)或(1，1)．
因为直线与圆有两个公共点，所以直线与圆相交.
切线问题
[例2] (链接教科书第59页例2)(1)设直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝1相切，则m＝________；
(2)过点A(－1，4)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程为________．
[解析] (1)已知圆的圆心为O(0，0)，半径r＝1，则O到已知直线的距离d＝＝.由已知得d＝r，即＝1，解得m＝±.
(2)∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．
设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.
圆心(2，3)到切线l的距离为＝1，
解得k＝0或k＝－，
因此，所求直线l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0.
[答案] (1)± (2)y＝4或3x＋4y－13＝0
[母题探究]
(变条件)若本例(2)中的圆C：“(x－2)2＋(y－3)2＝1”换为圆C：“x2＋y2＝17”其它条件不变，试求切线l的方程．
解：因为点A(－1，4)在圆x2＋y2＝17上．所以过点A的切线l与AC垂直，
又因为kAC＝＝－4，
故切线l的斜率k＝，
所以切线l的方程为y－4＝(x＋1)，
即x－4y＋17＝0.
1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
3．求切线长(最值)的两种方法
(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
[跟踪训练]
1．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
解析：选D 圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
2．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________．
解析：如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA.又OA⊥AP，
所以S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA|
＝2＝2.
为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离：|OP|min＝＝2.
故所求最小值为2＝8.
答案：8
弦长问题
[例3] (链接教科书第60页例3)如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．
[解] 圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝ ＝＝3.
因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．当直线的斜率存在时，设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，于是＝3，解得k＝－.
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3或3x＋4y＋15＝0.
求弦长的两种方法
(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋＝r2求解，这是常用解法；
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．
[跟踪训练]
求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
解：法一：由直线l与圆C的方程，
得消去y，得x2－3x＋2＝0.
设两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，
|AB|＝
＝
＝
＝.
∴弦AB的长为.
法二：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.
其圆心坐标为C(0，1)，半径r＝，点C(0，1)到直线l的距离为d＝＝，
∴|AB|＝2
＝，
∴弦长为.
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )
A．相交并且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心
C．相切 D．相离
解析：选D 圆心C(1，1)到直线的距离d＝＝，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．
2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于( )
A. B.
C．1 D．5
解析：选A 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝，所以直线被圆截得的弦长为2＝2 ＝.
3．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
解：圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝，
圆的半径r＝2.
(1)若相交，则d所以m∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
(2)若相切，则d＝r，即＝2，
所以m＝±2.
(3)若相离，则d>r，即>2，
所以m∈(－2，2)．
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6圆与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 直观想象
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想 数学运算
观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间的位置关系．
[问题] 圆与圆之间有几种位置关系？
知识点 圆与圆的位置关系
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同的解
两个圆没有公共点 两个圆有且只有一个公共点 两个圆有两个公共点
外离 内含 外切 内切 相交
1．当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定外离？
提示：不一定，还可能内含．
2．在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下，两圆的公切线条数分别为多少？
提示：外离有四条公切线、外切有三条公切线、相交有两条公切线、内切有一条公切线、内含无公切线．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B 两圆的圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距离为＝，则R－r<3．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，
两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.
答案：x＋3y＝0
圆与圆位置关系的判断
[例1] (链接教科书第63页例1)已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系．
[解] 法一(几何法)：
把圆C1的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圆C1的圆心坐标为(－2，－2)，半径长r1＝.
把圆C2的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圆C2的圆心坐标为(1，4)，半径长r2＝5.
圆C1和圆C2的圆心距d＝ ＝3，
又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋，两半径长之差是r2－r1＝5－.
而5－<3<5＋，即r2－r1所以两圆的位置关系是相交．
法二(代数法)：
将两圆的方程联立得到方程组
由①－②得x＋2y＋1＝0， ③
由③得x＝－2y－1，把此式代入①，
并整理得y2－1＝0， ④
所以y1＝1，y2＝－1，代入x＋2y＋1＝0得x1＝－3，x2＝1.
所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(－3，1)，(1，－1)，即两圆的位置关系是相交．
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法；
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．
[跟踪训练]
当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
解：将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)，
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．
当|－1|＜5＜1＋，
即k∈(14，34)时，两圆相交．
当1＋＜5或|－1|＞5，
即k∈(34，50)∪(－∞，14)时，两圆相离.
与两圆相交有关的问题
[例2] (链接教科书第64页例2)求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
[解] 法一：解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则有＝ ，
解得a＝，故圆心为，
半径为 ＝.
故圆的方程为＋＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二： ∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
1．圆系方程
一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
3．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长；
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
[跟踪训练]
求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
解：联立两圆的方程得方程组两式相减得x－2y＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．
法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或
所以|AB|＝＝2，
即公共弦长为2.
法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2.
与圆有关的探究性问题
如图，圆x2＋y2＝8内有一点P0(－1，2)，AB为过点P0且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)是否存在弦AB被点P0平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
[问题探究]
此题目为探究性问题，属探究题存在类型范畴，解决这类问题一般思路：
解题思路：首先假设所探究的问题存在，在这个假设条件下进行推理论证，如果能得到一个合情合理的推理结果，就肯定假设正确．如果得到一个矛盾结论，就应否定假设，对问题作出反面回答．
[迁移应用]
1．请解答上述问题．
解：(1)∵直线AB的斜率为k＝tan 135°＝－1，
∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
∵圆心O(0，0)到直线AB的距离d＝＝，
∴弦长|AB|＝2＝2＝.
(2)假设存在弦AB被点P0平分，
∴P0为弦AB的中点，又OA＝OB＝r，∴OP0⊥AB.
又∵k＝＝－2，∴kAB＝.
∴直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
由以上求解可知，存在被P0点平分的弦AB，此弦所在直线方程为x－2y＋5＝0.
2．已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，圆C与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
解：(1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，由题意知
解得或
又因为S＝πr2＜13，所以a＝1，r＝2，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.
(2)不存在这样的直线l.
理由如下：当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，
因为l与圆C相交于不同的两点，
所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20＞0，
解得k＜1－或k＞1＋.
x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝，
＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(1，－3)．
假设∥，则－3(x1＋x2)＝y1＋y2，
所以3×＝，
解得k＝， ∪，
所以假设不成立．
不存在这样的直线l.
1．圆O1：x2＋y2－4y＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．内含
解析：选D 因为r1＝1，r2＝8，|O1O2|＝＝6，则|O1O2|＜r2－r1.所以两圆内含．
2．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为( )
A．(1，0)和(0，1) B．(1，0)和(0，－1)
C．(－1，0)和(0，－1) D．(－1，0)和(0，1)
解析：选C 由
解得或
所以两圆的交点坐标为(－1，0)和(0，－1)．
3．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4内切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．
解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则＝1. ①
若两圆内切，则有＝|2－1|＝1，②
联立①②，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
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