2021-2022学年高中数学（人教A版2019）必修第二册8.6.2直线与平面垂直（第二课时）教案

8.6.2直线与平面垂直（第二课时）
一、教学目标 1. 掌握直线与平面垂直性质定理并能运用其解决相关问题
2. 理解直线到平面的距离以及两平行平面的距离定义
3. 通过对直线与平面垂直性质定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养
二、教学重点 1. 直线与平面平行的性质定理
2. 直线到平面的距离以及两平行平面的距离
教学难点 能运用直线与平面垂直性质定理解决相关问题
三、教学过程
1、复习回顾情境引入
问题1：①直线与平面垂直的定义是什么？
答：如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面α互相垂直
②如何判断直线与平面垂直？
答：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
问题2：直线与平面垂直的判定定理解决了判定直线与平面垂直的问题，反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论呢？由此引出本节学习内容
2、探索新知
观察：(1)如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'、BB'、 CC'、DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系
(2)如图，已知直线a、b和平面α.如果a⊥α，b⊥α，那么直线a、 b一定平行吗
答：（1）平行 （2）平行
引导学生利用反证法对（2）进行证明
假设b与a不平行，且b∩α=O.显然点O不在直线a上
所以点O与直线a可确定一个平面α
一方面在该平面内过点O作直线b'//a，则直线b与b'是相交于
点O的两条不同直线，所以直线b与b'可确定平面β
另一方面设α∩β=c，则O∈c，因为a⊥α, b⊥α，所以a⊥c，b⊥c
又因为b'//a，所以b'⊥c
这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b、b'与c垂直
显然不可能，因此b//a
1）直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言： a∥b
图形语言：
简记：线面垂直 线线平行
问题3：过一点有几条直线与已知平面垂直？
答：有且仅有一条．假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两
条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线
问题4：在a⊥α的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论
答：
问题5：如果平面β与平面α平行，你又能得到什么结论
答：
【例1】如图，直线l平行于α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等
证明：过直线l上任意两点A、B分别作平面α的垂线AA1、BB1，垂足分别是A1、B1
∵AA1⊥α，BB1⊥α
∴AA1//BB1
设直线AA1,BB1确定的平面为β，α∩β=A1B1
∵l//α
∴l//A1B1
所以四边形AA1BB1是矩形
∴AA1=BB1
由A、B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α距离相等
2）直线到平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离
两平行平面间的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离
例如：在棱柱、棱台的体积公式中，它们的高就是它们的上、下底面间的距离
【例2】推导棱台的体积公式其中、分别是棱台的上、下底面积，是高
解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥。过点P作棱台的下底面的垂线，分别于棱台的上、下底面交于点、，则垂直于棱台的上底面，从而
设截得棱台的棱锥的体积为，去掉的棱锥的体积为、高为
则
于是
所以棱台的体积
由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且
所以
代入① ，得
【例3】如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC
求证：MN∥AD1
证明：因为四边形ADD1A1为正方形
所以AD1⊥A1D
又因为CD⊥平面ADD1A1
所以CD⊥AD1
因为A1D∩CD＝D
所以AD1⊥平面A1DC
又因为MN⊥平面A1DC
所以MN∥AD1
【例4】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C
(1)证明：B1C⊥AB
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°,BC=1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高
(1)证明: 连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,∵侧面BB1C1C为菱形
∴B1C⊥BO
∵AO⊥平面BB1C1C,∴B1C⊥AO
∵AO∩BO=O
∴B1C⊥平面BAO
又AB 平面ABO
∴B1C⊥AB
(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H
∵AO⊥平面BB1C1C
∴BC⊥AO
又BC⊥OD，AO∩OD=O
∴BC⊥平面AOD
∴OH⊥BC
又OH⊥AD，AD∩BC=D
∴OH⊥平面ABC
∵∠CBB1=60°,BB1=BC,∴△CBB1为等边三角形 得OD=
∵AC⊥AB1
∴OA=B1C=
由OH·AD=OD·OA，且AD==,得OH=
又O为B1C的中点
∴点B1到平面ABC的距离为
∵平面ABC∥平面A1B1C1
∴三棱柱的高即为平面ABC与平面A1B1C1的距离,也就是点B1到平面ABC的距离
∴三棱柱ABC-A1B1C1的高为
四、课堂练习
P155 练习
1、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC，证明：AE∥MN.
证明　∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD
∴AE⊥AB
又AB∥CD，∴AE⊥CD
∵AD＝AP，E是PD的中点
∴AE⊥PD
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD
∴AE⊥平面PCD
∵MN⊥AB，AB∥CD
∴MN⊥CD
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD
∴MN⊥平面PCD
∴AE∥MN
五、课堂小结
1、直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行
2、直线到平面的距离
两平行平面间的距离
六、课后作业
习题8.6 12、13
七、课后反思