2021-2022学年高中数学（人教A版2019）必修第二册8.6.2直线与平面垂直（第一课时）教案

8.6.2直线与平面垂直（第一课时）
一、教学目标 1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题
2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角
二、教学重点 1. 直线和平面垂直的判定定理及其应用
2. 求直线与平面所成角
教学难点 直线与平面垂直的判定定理的应用
三、教学过程
1、复习回顾情境引入
问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如旗杆与地面的
位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象，那什么叫做直线与平面垂直呢？
怎样用数学语言刻画直线与平面垂直呢？由此引出本节研究内容
2、探索新知
观察：如右图,在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着
时间的变化,影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子
BC所在直线是否保持垂直
答：旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直
问题2：思考：对于地面上不过点B的任意一条直线B'C'，旗杆AB会与之垂直吗？
答：旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直，引出直线与平面垂直的定义
1）直线与平面垂直的定义： 如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足
画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
问题3：定义中的“任意”一词能修改为“无数”吗？
答：不能，如图
问题4：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 . 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已
知平面的直线有几条 为什么
答：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2）直线与平面垂直的相关定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
探究问题：如图,一块三角形纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片.得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)
(1)折痕AD与桌面垂直吗
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直
答：
容易发现，AD所在直线与桌面所在平面α垂直(如下图)的充要条件是折痕AD是BC边上的
高。这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD、DC都垂直
3）直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
图形语言：如图
简记：线线垂直 线面垂直
问题5：两条相交直线可以确定一个平面,两条平行直线也可以确定一个平面,那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”或是“无数条直线”呢
答：不能，如图
【例1】求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面
已知：，求证：
证明：如图，在平面内取两条相交直线m、n
∵直线
∴ ,
∵
∴ ,
又 , ，m、n是两条相交直线
∴
【例2】如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC
(1)求证：SD⊥平面ABC
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC
证明：(1) 因为SA＝SC，D是AC的中点
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD
由已知SA＝SB
所以△ADS≌△BDS
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC
所以SD⊥平面ABC
(2) 因为AB＝BC，D为AC的中点
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD
又因为SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，所以BD⊥平面SAC
方法规律：利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线
(3)根据判定定理得出结论
4）直线和平面所成的角
如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角
l 为斜线
l 与的交点A为斜足
直线OA为在平面上的射影
直线l 与射影OA所成角∠PAO(角θ)为直线l 与平面上所成角
直线与平面所成角θ取值范围：0° ≤ θ ≤ 90°
【例3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角
解：连接，交于点O，再连接
因为是在正方体中，所以平面
所以是直线与平面所成的角
设正方体的边长为1
所以在△A1BO中，，
所以，所以直线与平面所成的角的大小等于30°
【例4】在正方体ABCD A1B1C1D1中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值
解：连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1
易证AC⊥平面BB1D1D
∴EO1⊥平面BB1D1D
∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影
∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角
设正方体的棱长为a
∵E是AB的中点，EO1∥AC
∴O1是BO的中点
∴EO1＝AO＝×＝
B1O1＝＝＝
∴tan∠EB1O1＝＝＝
方法规律：求斜线与平面所成角的步骤：
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算
四、课堂练习
P152 练习
1、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N
求证：AN⊥平面PBM
证明：设圆O所在的平面为α
∵PA⊥α，且BM α
∴PA⊥BM
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点
∴AM⊥BM. 由于直线PA∩AM＝A
∴BM⊥平面PAM，而AN 平面PAM
∴BM⊥AN
∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直
故AN⊥平面PBM
2、在正方体ABCD A1B1C1D1中
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角
证明：(1)∵直线A1A⊥平面ABCD
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角
设A1A＝1，则AC＝，∴tan∠A1CA＝
(2)连接A1C1交B1D1于O
在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1
∴BB1⊥A1C1
又BB1∩B1D1＝B1
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B
∴∠A1BO＝30°
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°
五、课堂小结
1、直线与平面垂直的定义
2、线面垂直的判定定理
3、直线和平面所成的角
4、直线与平面垂直的证明与求直线和平面所成的角的方法
六、课后作业
习题8.6 4、5
七、课后反思