2021-2022学年高中数学（人教A版2019）必修第二册8.6.3平面与平面垂直(第二课时）教案

8.6.3平面与平面垂直(第二课时）
一、教学目标 1．理解平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题
2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力
二、教学重点 平面和平面垂直的性质定理
教学难点 平面和平面垂直的性质定理的应用
三、教学过程
1、复习回顾情境引入
问题1：①平面与平面垂直的怎样定义的？
②平面与平面垂直是怎样判定的？
答：①两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直
②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
问题2：如图，长方体中，α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
答： ①不一定
②与AD垂直
问题3：设α β ，α∩β=CD，AB α，AB CD，垂足为B，那么直线AB与平面β位置关系如何？为什么？
证明：在平面β内作BE⊥CD，垂足为B
则∠ABE就是二面角的平面角
∵α β
∴AB⊥BE
又由题意知AB⊥CD，且BECD=B
∴AB⊥β
由此引出平面与平面垂直的性质定理
2、探索新知
1）平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
图形语言：
问题4：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，则直线a与平面α具有什么位置关系？
答：如下图，过点P在α内作直线b⊥c，则b⊥β.因为过一点有且只有一条直线与β垂直，所以直线
a与直线b重合，因此aα
追问：在立体几何中，我们常需过平面外一个点向平面作垂线．这个问题的难点在于确定垂足的位置，问题4
能给你什么样的启发？
答：欲确定平面α外一点P在平面α内的射影，可寻找或构造一个过点P且与α垂直的平面β．则根据平面与平面垂直的性质定理，只需过点P向平面α、β的交线作垂线即可
【例1】如图，已知平面、β，⊥β，直线a满足a⊥β，a，试判断直线a与平面的位置关系
解：在α内作垂直于α与β交线的垂线b
∵α⊥β
∴b⊥β
∵a⊥β
∴a∥b
∵aα
∴a∥α
即直线a与平面平行
【例2】在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC，求证：
证明：如图所示，在平面AB内作于点D
∵平面平面PBC，且平面平面
∴平面PBC
又平面PBC
∴
∵平面ABC，平面ABC
∴
∵
∴平面PAB
【例3】如图甲，在平面四边形中，已知，，，，现将四边形
沿折起，使平面平面（如图乙），设点、分别为棱、的中点
求证：平面
证明：由题意，图甲中，因为且
所以，，即
在图乙中，因为平面平面，且平面平面
所以底面
又由底面
所以
又
所以，且
所以平面
方法规律：利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：
(1)两个平面垂直
(2)直线必须在其中一个平面内
(3)直线必须垂直于它们的交线
四、课堂练习
P161 练习
1、如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥AB
证明：如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD平面PAB
∴AD⊥平面PBC
又BC平面PBC
∴AD⊥BC
又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC
∴PA⊥BC
又∵PA∩AD＝A
∴BC⊥平面PAB
又AB平面PAB
∴BC⊥AB
2、如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC
求证：AM⊥平面EBC
证明　∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC平面ABC，BC⊥AC
∴BC⊥平面ACDE
又AM平面ACDE
∴BC⊥AM
∵四边形ACDE是正方形
∴AM⊥CE
又BC∩CE＝C，BC，EC平面EBC
∴AM⊥平面EBC
五、课堂小结
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
2、面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化
思想，其转化关系如下：
六、课后作业
习题8.6 19、20
七、课后反思