2021-2022学年高中数学（人教A版2019）必修第二册8.6.3平面与平面垂直(第一课时）教案

8.6.3平面与平面垂直(第一课时）
一、教学目标 1．理解二面角的概念，并会求简单的二面角
2．理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题
3. 通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力
二、教学重点 掌握面面垂直的判定定理
教学难点 会求简单二面角平面角的大小，会运用定理证明垂直关系
三、教学过程
1、情境引入
问题1：在平面几何中，我们通过引入“角”的概念来刻画两条相交直线的位置关系，你能在空间中引入类似的概念来刻画两个相交平面的位置关系吗？
　　 答：从生活中的实例出发，先让学生感性认识二面角．再类比平面角的概念，从学生的最近思维发展区，引入二面角的概念
2、探索新知
1）半平面：平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面
二面角：从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平
面叫做二面角的面
记法：①棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α-AB-β
②也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点P、
Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q
③棱记作l,这个二面角记作二面角α-l-β或P-l-Q
问题2：虽然都是平面与平面相交，但在直观感觉上，两平面的“开合程度”并不一样．比如日常生活中，常说“把门开大一些”，这说明门与墙面所形成的角度有不同的状态．那么该如何定量地刻画两平面的位置关系呢？根据前面研究异面直线所成的角和直线与平面所成的角的经验，我们可以用一个平面角来度量二面角的大小．这样的平面角该如何建构呢？
2）二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角
二面角的大小范围：
二面角的平面角必须满足：①角的顶点在棱上
②角的两边分别在两个面内
③角的边都要垂直于二面角的棱
问题3：在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么∠AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？
答：由等角定理可知∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关
观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角 分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数，
引出平面与平面垂直的定义
3）平面与平面垂直：一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β
观察：如果系有铅锤的细线紧贴墙面,工人师傅就认为墙面垂直于地面,否则他就认为墙面不垂直于地面.这种方法说明了什么道理
4）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号语言：l⊥α，l β α⊥β
图形语言：
简记：线面垂直面面垂直
【例1】已知：如右图,正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'
证明：∵ABCD-A'B'C'D'是正方体
∴AA'⊥平面ABCD
又BD平面ABCD
∴BD⊥AA'
又BD⊥AC，AC∩AA'=A，AC、AA'平面ACC'A'
∴BD⊥平面ACC'A'
又BD平面A'BD
∴平面A'BD⊥平面ACC'A'
【例2】已知：如右图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在 的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点
求证：平面PAC⊥平面PBC
证明：设⊙O所在的平面为 α，由已知条件PA⊥α，BC在α内
所以PA ⊥BC
因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径
所以∠BCA是直角，即BC ⊥AC
又因为PA与AC是ΔPAC所在平面内的两条相交直线
所以BC ⊥平面PAC
因为BC在平面PBC内
所以平面PAC ⊥平面PBC
方法规律：证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
【例3】如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中
(1)求二面角D′-AB-D的大小
(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小
解：(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′
所以AB⊥ AD′，AB⊥AD
因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角
在Rt△D′DA中∠D′AD=45°
所以二面角D′-AB-D的大小为45°
(2)因为M是C′D′的中点
所以MA=MB
取AB的中点N，连接MN，则MN⊥AB
取CD的中点H，连接HN，则HN⊥AB
从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°
所以二面角M-AB-D的大小为45°
方法规律：作二面角的三种常用方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，如图①则∠AOB为二面角α-l-β的平面角
(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角，如图②∠AOB为二面角α-l-β的平面角
(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图③∠AOB为二面角α-l-β的平面角
【例4】如图在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面PBC，PA=PB=2，PC=4，BC=2
(1) 求证：平面PAB⊥平面ABC
(2) E为BA的延长线上一点，若二面角P-EC-B的大小为30°
求BE的长
证明：（1） 因为PA⊥平面PBC
所以PA⊥PC,PA⊥PB
经计算得AC=2 AB=2
所以AB2+BC2=AC2
故BC⊥AB
又PA⊥平面PBC
所以PA⊥BC
因为PA∩AB=A
所以BC⊥平面PAB
又BC 平面ABC
故平面PAB⊥平面ABC
(2) 如图,取AB的中点F，连接PF
因为PA=PB
所以PF⊥AB
由(1)知平面PAB⊥平面ABC
又平面PAB∩平面ABC=AB PF 平面PAB
所以PF⊥平面ABC
所以PF⊥EC
过F作FG⊥EC于G，连接PG
因为PF⊥EC PF∩FG=F
所以EC⊥平面FPG
因为PG 平面FPG
所以EC⊥PG
于是∠PGF是二面角P-EC-B的平面角
因此∠PGF=30°
又PF====
所以FG=
设BE=x(x>2) 由(1)知BC⊥AB
所以△EFG∽△ECB,得=
因此= 即x2-4x-8=0,解得x=2+4 (x=2-4舍去)
所以BE=2+4
四、课堂练习
P158 练习
1、如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°
求证：平面ABC⊥平面ASC.
证明：作SH⊥AC交AC于点H，连接BH
∵SA＝SC，∴AH＝HC
在Rt△ABC中，H是AC的中点
∴BH＝AC＝AH
又SH＝SH，SA＝SB
∴△SAH≌△SBH(SSS)
∴SH⊥BH
又AC∩BH＝H，AC，BH 平面ABC
∴SH⊥平面ABC
又SH 平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC
五、课堂小结
1、二面角的定义、画法与记法
2、二面角的平面角的定义和范围
3、直二面角的定义
4、平面与平面垂直的定义
5、平面与平面垂直的判定定理
6、二面角的求解
六、课后作业
习题8.6 18、21
七、课后反思