2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册2.2 基本不等式教案册

2.2 基本不等式
【教学目标】
1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
【核心素养】数学建模、逻辑推理、数学运算
【学习过程】
一、温故而知新：
1．重要不等式： ，当且仅当 时，等号成立．
2. 基本不等式： ，当且仅当 时，等号成立．
其中 叫做正数a，b的 平均数， 叫做正数a，b的 平均数．
【提问】　两个不等式成立的前提条件一样吗？
等号成立的条件一样吗？
3．基本不等式表明：两个正数的 平均数 它们的 平均数．
4. 基本不等式与最值：已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最 值 .
(2)若xy=P(积为定值), 则当x=y时,和x+y取得最 值 .
5.辨析：
（1）对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．( )
（2）若a≠0，则a＋≥2＝2.( )
（3）若a＞0，b＞0，则ab≤2.( )
（4）若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2.( )
6. 如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD',连接AD、BD. ①AB表示什么 ②表示哪条线段 ③对应哪个线段呢 ④OD与CD的大小关系如何 从中你能发现什么
基本不等式的几何意义是 .
二、例题
【例1】　下列命题正确的是( )
A．若x≠0，则x＋≥4 B．若a，b∈R，且ab>0，则＋≥2
C.＋的最小值为2 D．y＝2－3x－≥2－4(x>0)
反思并小结：在基本不等式应用过程中要注意“ ”．
【例2】　若0【例3】　(1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25 C．9 D．36
(2)(2021·湖北荆州模拟)已知x＞2，则y＝x＋的最小值为 .
(3)若0＜x＜，则函数y＝x(1－2x)的最大值是 .
(4)(2021·湖北荆州模拟)若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则＋的最小值为 .
反思并小结：在利用基本不等式比较大小或者求最大（小）值时，应创设应用基本不等式的条件，合理拆项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的功能，拆项与配凑的方向往往是“积”或“和”为 .
例4(1)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>.
(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1, 求证:≥8.
提升：若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是 .
反思并小结：恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．