2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册3.2.1函数单调性教案

个性化教学辅导教案
课 题 函数单调性
教学目标 掌握用定义法求函数单调性 学会根据初等函数性质判断函数单调性
教学重难点 重点：定义域求单调性 难点：抽象函数单调性证明
教学过程
复习检查 1.已知函数f(2x＋1)＝4x2，则f(5)＝________. 2.若f(x)＝9x＋1，g(x)＝x2，则f(g(1))＝________. 3.若，则f(－3)的值为________． 4.设函数若f(a)＝4，则实数a＝________. 5.一个函数f(x)的图象如图：则该函数的值域是________． 6.已知,求f(x)的解析式． 7.已知是一次函数，且满足，求 知识梳理 1．定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A. 如是对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减区间． 例1 ：画出下列函数的图象，并写出单调增、减区间： y＝－x2＋2； (2)y＝； (3)f(x)＝ 2.用定义证明(判断)函数单调性的步骤： 例2：证明函数f(x)＝在区间(－3，＋∞)上是单调减函数． 3．函数单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 例3： 试讨论函数f(x)＝的单调性． 例4 ： 已知函数f(x)对任意的x、y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. 求证：f(x)在R上是减函数； 4．函数的最大值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)． 5．函数的最小值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为：ymin＝f(x0). 例5：求已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1,5]，则函数f(x)的值域是________． 6.函数最值求法 1.对于形如y＝|x＋a|＋|x＋b|型的函数最值求法，常先把函数利用“零点分段法”化成分段函数，然后画出函数图象，结合图象求其最值． 例6： 求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值． 2．图象法求最值的一般步骤： 例7： 函数y＝的最大值是________． 3．单调性求其最值 若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． 例8： 求函数f(x)＝x－在[1,3]上的最大值与最小值． 7.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性 a<0在(－∞，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减a>0在(－∞，－)上单调递减，在(－，＋∞)上单调递增
注意：当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开，如(－1，2)，(3，＋∞)等等． 例9：若f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上都是减函数，求a的取值范围． 8.定轴动区间 例10：已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋a的对称轴为x＝，且方程f(x)－(7x＋a)＝0有两个相等的实数根． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在[1,3]上的值域； (3)是否存在实数m(m＞0)？使f(x)的定义域为[m,3]，值域为[1,3m]若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 9.动轴定区间 例11： 求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值． 巩固练习 1、若函数y＝kx＋b是R上的减函数，则(　　) A．k>0　　 B．k<0 C．k≠0 D．无法确定 2、设f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则(　　) A．f(a)＞f(2a)　　　　 B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a) 3、若y＝f(x)是R上的减函数，对于x1<0，x2>0，则(　　) A．f(－x1)>f(－x2) B．f(－x1)0时，恒有f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.