数列终极复习版本
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文档简介
数列终极复习资料 V1.0
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基本知识储备
板块一 数列基本概念
定义
1）定义：按照一定次序排列起来的一列数。
【注】数列是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的特殊函数。
2）通项公式：数列的第项与之间的关系。即，。
3）前项和：。前项和也可写成关于的函数，即，。
4）递推公式：已知数列的第项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，此公式即为递推公式。
【注】通项公式、前项和以及递推公式（包括第项或前几项）都是给出数列的方式。
表示
1）列举；2）解析（通项、前项和、递推三种形式）；3）图象（孤立的点（离散的点））；
分类
1）有穷数列、无穷数列；
2）递增数列、递减数列、摆动数列、常数列；
3）有界数列、无界数列。
板块二 等差、等比数列
等差数列
定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列。即。
【注】证明等差数列的两种方法：
①；②。
通项公式：，（累加）
前项和：，（倒序相加）
、、、、中知三求二。
等比数列
1）定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列。即
【注】证明等比数列的两种方法：
① ；②。
2）通项公式：，（累乘）
3）前项和：，当时，也可写成（错位相减）
4）、、、、中知三求二。
3、用函数观点来分析等差、等比
1）等差：（一次型函数），
（没有常数项的二次型函数）
2）等比：（指数型函数），
（分段函数，分别为一次型和指数型函数）
板块三 等差、等比数列的性质
1、等差数列性质
1） 【拓展】
2）等差中项：
【拓展】①当时，有；
【注】等差数列，若，则不一定成立。
② 【注】
3）衍生等差数列：
①为等差数列，公差；
②为等差数列，公差；
③（其中为间距，为起始项，）为等差数列，即等距项为等差数列，公差；
④，，，，…为等差数列，公差；
⑤为等差数列，公差；
⑥其它：
1） 项数为奇数的等差数列，有：，；
项数为偶数的等差数列，有：，；
2） 等差数列中，若，，则；
等差数列中，若，，则；
等差数列中，若，，则；
等差数列中，若，则，；
等差数列中，若，则，。
2、等比数列性质
1） 【拓展】
2）等比中项：
【拓展】①当时，有；
【注】等比数列，若，则不一定成立。
②
3）衍生等比数列：
①对任意非零实数，为等比数列，公比为；
②为等比数列，公比为；为等比数列，公比为；
③，，，，…依然成等比数列，公比为。
【注】若，，则，，，…就不成等比数列。
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易错点
1.由Sn求an，an={ 注意验证a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要单独列出。一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式；
2.等差数列；
3.等比数列；
4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；
5.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；
6. 在等差数列中，，；在等比数列中，;
7. 当时，对等差数列有；对等比数列有；
8.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+pbn}(k、p是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；
9. 若数列为等差（比）数列，则也是等差（比）数列；
10. 在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（即）；
11.若一阶线性递归数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
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必须记住的要点
1.等差数列中的重要性质：；若，则；成等差。
2.等比数列中的重要性质：；若，则；成等比。
3.你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（时，；时，）
4.等差数列的一个性质：设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是
（a, b为常数），其公差是2a。
5.你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若，其中是等差数列，是等比数列，求的前n项的和）
6.用求数列的通项公式时，an一般是分段形式对吗？你注意到了吗？
7.你还记得裂项求和吗？（如）
叠加法：
叠乘法：
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要点检查
1.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗
2.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗 (时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。
3.你知道存在的条件吗 (你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗 你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗 什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在
4.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题 (数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。)
5.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立
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提高知识储备
等差数列 等比数列
定义
递推公式 ； ；
通项公式 （）
中项 （） （）
前项和
重要性质
等差数列 等比数列
定义
通项公式 =+（n-1）d=+（n-k）d=+-d
求和公式
中项公式 A= 推广：2= 。推广：
性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则。
2 若成A.P（其中）则也为A.P。 若成等比数列 （其中），则成等比数列。
3 ． 成等差数列。 成等比数列。
4 ，
5
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
②2()
③(为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
②(，)①
注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.
ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
③(为非零常数).
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.
⑷数列{}的前项和与通项的关系：
[注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{}前n项和 →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；
②若等差数列的项数为2，则；
③若等差数列的项数为，则，且，
.
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
②
③
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…； 5，55，555，….
4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：
=.
⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.
5. 数列常见的几种形式：
⑴（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.
⑵（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定.
①转化等差，等比：.
②选代法：
.
③用特征方程求解：.
④由选代法推导结果：.
6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。
3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4）
5）
6）
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典型例题
（熟记等差数列，等比数列的基本公式，掌握其通项公式和求和公式的推导过程）
等差数列：
等比数列：
通项公式的求法
1、
2、
3、
4、
5、
6、
求和:
1、拆项
2、叠减
（注意，这几个题型是近几年高考的常见题型，应牢牢掌握）
题目
【例1】【2010山东理18】已知等差数列满足：，。的前项和为。
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令，求数列的前项和。
【解析】（Ⅰ）∵，，∴，∴，；，。
（Ⅱ），∴，故，即数列的前项和 ，。
【例2】【2010全国新课标理17】设数列满足，。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和。
【解析】（Ⅰ）当时，
，而，所以数列的通项公式为，。
（Ⅱ）由，得——①，从而——②
由①—②得，所以，。
【例3】【自编】已知等差数列中，，前项和满足条件，。等比数列中，前三项依次为，，。
（Ⅰ）令，求数列的前项和；
（Ⅱ）令，求数列的前项和。
【解析】（Ⅰ）∵，∴，又∵，∴，则，，∴，；又有，，成等比数列，∴，则数列前三项依次为，，，∴，。
又∵，∴，。
（Ⅱ），
则——①
——②
由①—②得
，
所以，。
【例4】【2009-2010北京宣武期末考试】已知函数，为正整数。
（1）求和的值；
（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和；
（3）设数列满足：，，设，若（2）中的满足对任意不小于的正整数，恒成立，试求的最大值。
【解析】（1）；
（2）由（1）得，即。
——①
——②
由①②得，所以，。
（3）∵，∴，
则，∴。
∴
。
又∵，∴，∴数列是单调递增数列。∴当且时，。∵，∴，，，∴。∴，即，而，∴的最大值为。
【变式】设数列是公差为，且首项为的等差数列，
求和：
【解析】因为，
，
。
【注】此类问题还可变换为探索题型：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。
【解析】当时，
当时，显然也满足上式，所以，。
假设存在等差数列使得对一切自然数n都成立。
则，两式相加得
，即当数列首先和公差都为时，满足题意，此时，。
板块二
通法：
【注】只要用到此公式，必须分类讨论。
【例5】已知数列的前项和，。求。
【解析】当时，；当时，不满足前式。所以综上，
【变式】已知数列的前项和为，，则的前项和 。
【解析】
∵，∴当时，
，显然当时，也满足上式。所以综上，。进而可得当时，；当时，。∴当时，；当时，
，所以综上可得：
板块三 递推关系式、
3.1递推关系式的形式
递推关系式的三种形式：①只含；②只含；③同时含有和
将第三种情况向第一种或第二种转化
转化的工具：采用，可以消，也可消。但无论采用哪种都需要分类讨论。
方法的选择取决于以下两点：①谁比较好消；②问题求什么。前者作为主导因素。
【例6】已知数列的前项和为，其中，，求。
【解析】当时，，两边同时除以，可得，所以数列是以为公差的等差数列，首项为，
所以，即，则
，显然当时，不满足上式。综上，
【变式】已知数列的前项和为，，，。求。
【解析】当时，，两式作差可得，即，。，，即，所以原数列从第二项起为等比数列，通项。综上，
3.2递推、
（1）累加法
遇到；；用累加法。
【例7】【2008江西文05理05】在数列中，，，则 。
． ． ． ．
【解析】；∵，∴，∴当时，显然也满足上式。∴。
【注】当然此题也可根据递推关系式算出、等，代入验算备选答案求解。
【变式】已知数列中，，当时，，求。
【解析】当时，
……
∴，即
显然，当时，也满足上通项。综上，。
（2）累乘法
遇到（）；；用累乘法。
【例8】已知数列中，，，求。
【解析】∵，∴当时，，则，显然，也满足上式。综上，通项，。
（3）构造熟悉数列
▲公式法
1）
当时，用累加；当时，采用待定系数法或两边同除以求解。
【例9】（1）已知数列中，，，。求数列的通项。
（2）已知数列中，，，。求数列的通项。
（3）已知数列中，，，。求数列的通项。
（4）已知数列中，，，。求数列的通项。
【解析】（1）法一：当时，。设，则，可得。即。令，则，，∴，则，显然也满足上式。∴综上，，。
法二：当时，，两边同时除以，则。令，则，。∴
，∴，显然也满足上式。∴综上，，。
（2）当时，。设，则，可得，。∴，令，则，，∴，则，显然也满足上式。∴综上，，。
【注】此题也可两边同除以求解，但相对计算量要大一些。
（3）法一：当时，。设，则，可得，，∴，令，则，，∴，则，显然也满足上式。∴综上，，。
法二：两边同除以可得，令，则，，∴
，
则，，∴，
显然也满足上式。∴综上，，。
（4）两边同除以可得，令，则，，∴，，∴，。
显然也满足上式。∴综上，，。
【变式】已知数列中，，，。求数列的通项。
【解析】两边同除以可得，，则，，∴
，∴，，∴，。
显然也满足上式。∴综上，，。
2）非线性问题
ⅰ）问题，可考虑两边取对数。
【例9】已知数列中，，。求数列的通项。
【解析】根据题意可知数列中每一项均为正数，则，即，∴，∴，。则，。显然也满足上式。综上，通项，。
ⅱ）或，可考虑取倒数或两边同除以。
【例10】已知数列中，，。求数列的通项。
【解析】法一：对递推关系式两边同时取倒数，可得，即，∴数列为等差数列。。则，。
法二：，两边同除以，可得，接下来解析同上。
【变式】已知数列中，且有，，。求数列的通项。
【解析】对递推关系式两边同时取倒数，可得，即，∴数列为等差数列。。则，，显然不满足上式。所以综上，
ⅲ*）或，可考虑采用特征方程。
，令，即——（*），若，恰好为方程的两根。
①若，则
以上两式相除可得，所以数列是以为公比的等比数列，进而可求的数列的通项公式。
②若，则，两边取倒数，进一步可求的数列为等差数列。从而可求的数列的通项公式。
如果我们引入分式线性递推数列（）的特征方程为，即，此特征方程的两根恰好是方程（*）两根的相反数，于是我们又有如下结论：
分式线性递推数列（），其特征方程为，即，
1、若方程有两相异根、，则成等比数列，其公比为；
2、若方程有两等根，则成等差数列，其公差为。
【例11】已知数列中，且有，。求数列的通项。
【解析】
，所以，两式相除可得，故数列是以为公比的等比数列。所以，显然也满足上式。所以综上，数列的通项，。
【变式】设数列满足，，。求数列的通项。.
【解析】对等式两端同加参数得，
令，解之得，，代入上式得，，两式相除得即是首项为，公比为的等比数列，∴，从而，。
3）多项递推问题
问题，可考虑采用特征方程，但在高考中试题往往有所提示。
我们来探求数列的特征：
不妨设，
则, 令 ①
（1）若方程组①有两组不同的实数解,则,
,即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,
,
∵由上两式消去可得.
（2）若方程组①有两组相等的解，易证此时，则
…，
所以,即是等差数列，由等差数列性质可知，所以。
（限于学生知识水平，若方程组①有一对共轭虚根的情况略）
这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组①消去即得，显然、就是方程的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列的特征方程，于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：
设递推公式为其特征方程为即，
若方程有两相异根、，则；
若方程有两等根，则。
其中、可由初始条件确定。
【例12】已知数列，，且，求通项公式。
【解析】设，∴
令 可得
于是…，
∴，即是以为首项、为公差的等差数列，
∴，从而，。
【变式】已知斐波那契数列，，求数列通项公式。
【解析】此数列对应的特征方程为，即，解得，
设此数列的通项公式为，由可知，，，所以，。
【例13】（1）数列中，，对所有，都有，则 。
【解析】；∵，∴，两式相除可得，。显然，不满足上式。∴
（2）数列满足，求数列的通项公式和前项和。
【解析】∵，∴，两式作差可得，；当时，显然不满足上式。∴。当时，；当时，，显然也满足上式，∴综上，，。
4）特殊的奇偶项问题
或问题，这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。
【例14】（1）在数列中，，，求数列的通项公式和前项和。
【解析】法一：设，则，可得。∴，又∵，∴ ，。，。
法二：当为奇数时，
；
当为偶数时，
，综上可得，。
当时，，显然也满足上式。综上可得，。
（2）在数列中，，，求数列的通项公式和前项和。
【解析】当时，，，两式相除可得，又有，则，∴数列的奇数项是以为首项为公比的等比数列，数列的偶数项是以为首项为公比的等比数列。即
当，时，；
当，时，。
综上，，。
当，时，
；
当，时，
综上，，。
【变式】【2008安徽合肥】已知数列中，，，。
（1）求证：数列与，都是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若数列的前项和，不等式对恒成立，求的最大值。
【解析】（1）∵，∴，则，∴数列是以为首项，为公比的等比数列；数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）∵，，∴，∴
；
（3）∵，，∴
，∵，当且仅当时取等号，∴，即的最大值为。
5）双数列问题
根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
【例15】已知数列中，；数列中，。当时，，，求、。
【解析】法一：两式相加可得，
∴——①；
两式作差可得，
∴——②。
根据①②两式可得，，，。
显然，分别满足对应的通项，综上，，，，。
法二：，，又有则，则，又有，，∴，∴，∴
，
。
显然，分别满足对应的通项，综上，，，，。
【变式】设各项均为正数的无穷数列和满足：对任意，都有且。
（1）求证：是等差数列；
（2）设，，求和的通项公式。
【解析】（1）∵，∴，，又∵，∴，∴，即，∴数列是等差数列。
（2）∵，，∴，，∴数列的公差，则，进而有，。∴，∴，。显然，也满足上式。∴综上，，，，。
如果你能看到这句话，说明数列对你来说已经是浮云了
Made By 东东
血汗之作
*May.20*
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基本知识储备
板块一 数列基本概念
定义
1）定义：按照一定次序排列起来的一列数。
【注】数列是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的特殊函数。
2）通项公式：数列的第项与之间的关系。即，。
3）前项和：。前项和也可写成关于的函数，即，。
4）递推公式：已知数列的第项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，此公式即为递推公式。
【注】通项公式、前项和以及递推公式（包括第项或前几项）都是给出数列的方式。
表示
1）列举；2）解析（通项、前项和、递推三种形式）；3）图象（孤立的点（离散的点））；
分类
1）有穷数列、无穷数列；
2）递增数列、递减数列、摆动数列、常数列；
3）有界数列、无界数列。
板块二 等差、等比数列
等差数列
定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列。即。
【注】证明等差数列的两种方法：
①；②。
通项公式：，（累加）
前项和：，（倒序相加）
、、、、中知三求二。
等比数列
1）定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列。即
【注】证明等比数列的两种方法：
① ；②。
2）通项公式：，（累乘）
3）前项和：，当时，也可写成（错位相减）
4）、、、、中知三求二。
3、用函数观点来分析等差、等比
1）等差：（一次型函数），
（没有常数项的二次型函数）
2）等比：（指数型函数），
（分段函数，分别为一次型和指数型函数）
板块三 等差、等比数列的性质
1、等差数列性质
1） 【拓展】
2）等差中项：
【拓展】①当时，有；
【注】等差数列，若，则不一定成立。
② 【注】
3）衍生等差数列：
①为等差数列，公差；
②为等差数列，公差；
③（其中为间距，为起始项，）为等差数列，即等距项为等差数列，公差；
④，，，，…为等差数列，公差；
⑤为等差数列，公差；
⑥其它：
1） 项数为奇数的等差数列，有：，；
项数为偶数的等差数列，有：，；
2） 等差数列中，若，，则；
等差数列中，若，，则；
等差数列中，若，，则；
等差数列中，若，则，；
等差数列中，若，则，。
2、等比数列性质
1） 【拓展】
2）等比中项：
【拓展】①当时，有；
【注】等比数列，若，则不一定成立。
②
3）衍生等比数列：
①对任意非零实数，为等比数列，公比为；
②为等比数列，公比为；为等比数列，公比为；
③，，，，…依然成等比数列，公比为。
【注】若，，则，，，…就不成等比数列。
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易错点
1.由Sn求an，an={ 注意验证a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要单独列出。一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式；
2.等差数列；
3.等比数列；
4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；
5.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；
6. 在等差数列中，，；在等比数列中，;
7. 当时，对等差数列有；对等比数列有；
8.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+pbn}(k、p是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；
9. 若数列为等差（比）数列，则也是等差（比）数列；
10. 在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（即）；
11.若一阶线性递归数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
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必须记住的要点
1.等差数列中的重要性质：；若，则；成等差。
2.等比数列中的重要性质：；若，则；成等比。
3.你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（时，；时，）
4.等差数列的一个性质：设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是
（a, b为常数），其公差是2a。
5.你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若，其中是等差数列，是等比数列，求的前n项的和）
6.用求数列的通项公式时，an一般是分段形式对吗？你注意到了吗？
7.你还记得裂项求和吗？（如）
叠加法：
叠乘法：
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要点检查
1.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗
2.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗 (时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。
3.你知道存在的条件吗 (你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗 你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗 什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在
4.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题 (数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。)
5.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立
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提高知识储备
等差数列 等比数列
定义
递推公式 ； ；
通项公式 （）
中项 （） （）
前项和
重要性质
等差数列 等比数列
定义
通项公式 =+（n-1）d=+（n-k）d=+-d
求和公式
中项公式 A= 推广：2= 。推广：
性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则。
2 若成A.P（其中）则也为A.P。 若成等比数列 （其中），则成等比数列。
3 ． 成等差数列。 成等比数列。
4 ，
5
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
②2()
③(为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
②(，)①
注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.
ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
③(为非零常数).
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.
⑷数列{}的前项和与通项的关系：
[注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{}前n项和 →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；
②若等差数列的项数为2，则；
③若等差数列的项数为，则，且，
.
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
②
③
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…； 5，55，555，….
4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：
=.
⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.
5. 数列常见的几种形式：
⑴（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.
⑵（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定.
①转化等差，等比：.
②选代法：
.
③用特征方程求解：.
④由选代法推导结果：.
6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。
3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4）
5）
6）
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典型例题
（熟记等差数列，等比数列的基本公式，掌握其通项公式和求和公式的推导过程）
等差数列：
等比数列：
通项公式的求法
1、
2、
3、
4、
5、
6、
求和:
1、拆项
2、叠减
（注意，这几个题型是近几年高考的常见题型，应牢牢掌握）
题目
【例1】【2010山东理18】已知等差数列满足：，。的前项和为。
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令，求数列的前项和。
【解析】（Ⅰ）∵，，∴，∴，；，。
（Ⅱ），∴，故，即数列的前项和 ，。
【例2】【2010全国新课标理17】设数列满足，。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和。
【解析】（Ⅰ）当时，
，而，所以数列的通项公式为，。
（Ⅱ）由，得——①，从而——②
由①—②得，所以，。
【例3】【自编】已知等差数列中，，前项和满足条件，。等比数列中，前三项依次为，，。
（Ⅰ）令，求数列的前项和；
（Ⅱ）令，求数列的前项和。
【解析】（Ⅰ）∵，∴，又∵，∴，则，，∴，；又有，，成等比数列，∴，则数列前三项依次为，，，∴，。
又∵，∴，。
（Ⅱ），
则——①
——②
由①—②得
，
所以，。
【例4】【2009-2010北京宣武期末考试】已知函数，为正整数。
（1）求和的值；
（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和；
（3）设数列满足：，，设，若（2）中的满足对任意不小于的正整数，恒成立，试求的最大值。
【解析】（1）；
（2）由（1）得，即。
——①
——②
由①②得，所以，。
（3）∵，∴，
则，∴。
∴
。
又∵，∴，∴数列是单调递增数列。∴当且时，。∵，∴，，，∴。∴，即，而，∴的最大值为。
【变式】设数列是公差为，且首项为的等差数列，
求和：
【解析】因为，
，
。
【注】此类问题还可变换为探索题型：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。
【解析】当时，
当时，显然也满足上式，所以，。
假设存在等差数列使得对一切自然数n都成立。
则，两式相加得
，即当数列首先和公差都为时，满足题意，此时，。
板块二
通法：
【注】只要用到此公式，必须分类讨论。
【例5】已知数列的前项和，。求。
【解析】当时，；当时，不满足前式。所以综上，
【变式】已知数列的前项和为，，则的前项和 。
【解析】
∵，∴当时，
，显然当时，也满足上式。所以综上，。进而可得当时，；当时，。∴当时，；当时，
，所以综上可得：
板块三 递推关系式、
3.1递推关系式的形式
递推关系式的三种形式：①只含；②只含；③同时含有和
将第三种情况向第一种或第二种转化
转化的工具：采用，可以消，也可消。但无论采用哪种都需要分类讨论。
方法的选择取决于以下两点：①谁比较好消；②问题求什么。前者作为主导因素。
【例6】已知数列的前项和为，其中，，求。
【解析】当时，，两边同时除以，可得，所以数列是以为公差的等差数列，首项为，
所以，即，则
，显然当时，不满足上式。综上，
【变式】已知数列的前项和为，，，。求。
【解析】当时，，两式作差可得，即，。，，即，所以原数列从第二项起为等比数列，通项。综上，
3.2递推、
（1）累加法
遇到；；用累加法。
【例7】【2008江西文05理05】在数列中，，，则 。
． ． ． ．
【解析】；∵，∴，∴当时，显然也满足上式。∴。
【注】当然此题也可根据递推关系式算出、等，代入验算备选答案求解。
【变式】已知数列中，，当时，，求。
【解析】当时，
……
∴，即
显然，当时，也满足上通项。综上，。
（2）累乘法
遇到（）；；用累乘法。
【例8】已知数列中，，，求。
【解析】∵，∴当时，，则，显然，也满足上式。综上，通项，。
（3）构造熟悉数列
▲公式法
1）
当时，用累加；当时，采用待定系数法或两边同除以求解。
【例9】（1）已知数列中，，，。求数列的通项。
（2）已知数列中，，，。求数列的通项。
（3）已知数列中，，，。求数列的通项。
（4）已知数列中，，，。求数列的通项。
【解析】（1）法一：当时，。设，则，可得。即。令，则，，∴，则，显然也满足上式。∴综上，，。
法二：当时，，两边同时除以，则。令，则，。∴
，∴，显然也满足上式。∴综上，，。
（2）当时，。设，则，可得，。∴，令，则，，∴，则，显然也满足上式。∴综上，，。
【注】此题也可两边同除以求解，但相对计算量要大一些。
（3）法一：当时，。设，则，可得，，∴，令，则，，∴，则，显然也满足上式。∴综上，，。
法二：两边同除以可得，令，则，，∴
，
则，，∴，
显然也满足上式。∴综上，，。
（4）两边同除以可得，令，则，，∴，，∴，。
显然也满足上式。∴综上，，。
【变式】已知数列中，，，。求数列的通项。
【解析】两边同除以可得，，则，，∴
，∴，，∴，。
显然也满足上式。∴综上，，。
2）非线性问题
ⅰ）问题，可考虑两边取对数。
【例9】已知数列中，，。求数列的通项。
【解析】根据题意可知数列中每一项均为正数，则，即，∴，∴，。则，。显然也满足上式。综上，通项，。
ⅱ）或，可考虑取倒数或两边同除以。
【例10】已知数列中，，。求数列的通项。
【解析】法一：对递推关系式两边同时取倒数，可得，即，∴数列为等差数列。。则，。
法二：，两边同除以，可得，接下来解析同上。
【变式】已知数列中，且有，，。求数列的通项。
【解析】对递推关系式两边同时取倒数，可得，即，∴数列为等差数列。。则，，显然不满足上式。所以综上，
ⅲ*）或，可考虑采用特征方程。
，令，即——（*），若，恰好为方程的两根。
①若，则
以上两式相除可得，所以数列是以为公比的等比数列，进而可求的数列的通项公式。
②若，则，两边取倒数，进一步可求的数列为等差数列。从而可求的数列的通项公式。
如果我们引入分式线性递推数列（）的特征方程为，即，此特征方程的两根恰好是方程（*）两根的相反数，于是我们又有如下结论：
分式线性递推数列（），其特征方程为，即，
1、若方程有两相异根、，则成等比数列，其公比为；
2、若方程有两等根，则成等差数列，其公差为。
【例11】已知数列中，且有，。求数列的通项。
【解析】
，所以，两式相除可得，故数列是以为公比的等比数列。所以，显然也满足上式。所以综上，数列的通项，。
【变式】设数列满足，，。求数列的通项。.
【解析】对等式两端同加参数得，
令，解之得，，代入上式得，，两式相除得即是首项为，公比为的等比数列，∴，从而，。
3）多项递推问题
问题，可考虑采用特征方程，但在高考中试题往往有所提示。
我们来探求数列的特征：
不妨设，
则, 令 ①
（1）若方程组①有两组不同的实数解,则,
,即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,
,
∵由上两式消去可得.
（2）若方程组①有两组相等的解，易证此时，则
…，
所以,即是等差数列，由等差数列性质可知，所以。
（限于学生知识水平，若方程组①有一对共轭虚根的情况略）
这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组①消去即得，显然、就是方程的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列的特征方程，于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：
设递推公式为其特征方程为即，
若方程有两相异根、，则；
若方程有两等根，则。
其中、可由初始条件确定。
【例12】已知数列，，且，求通项公式。
【解析】设，∴
令 可得
于是…，
∴，即是以为首项、为公差的等差数列，
∴，从而，。
【变式】已知斐波那契数列，，求数列通项公式。
【解析】此数列对应的特征方程为，即，解得，
设此数列的通项公式为，由可知，，，所以，。
【例13】（1）数列中，，对所有，都有，则 。
【解析】；∵，∴，两式相除可得，。显然，不满足上式。∴
（2）数列满足，求数列的通项公式和前项和。
【解析】∵，∴，两式作差可得，；当时，显然不满足上式。∴。当时，；当时，，显然也满足上式，∴综上，，。
4）特殊的奇偶项问题
或问题，这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。
【例14】（1）在数列中，，，求数列的通项公式和前项和。
【解析】法一：设，则，可得。∴，又∵，∴ ，。，。
法二：当为奇数时，
；
当为偶数时，
，综上可得，。
当时，，显然也满足上式。综上可得，。
（2）在数列中，，，求数列的通项公式和前项和。
【解析】当时，，，两式相除可得，又有，则，∴数列的奇数项是以为首项为公比的等比数列，数列的偶数项是以为首项为公比的等比数列。即
当，时，；
当，时，。
综上，，。
当，时，
；
当，时，
综上，，。
【变式】【2008安徽合肥】已知数列中，，，。
（1）求证：数列与，都是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若数列的前项和，不等式对恒成立，求的最大值。
【解析】（1）∵，∴，则，∴数列是以为首项，为公比的等比数列；数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）∵，，∴，∴
；
（3）∵，，∴
，∵，当且仅当时取等号，∴，即的最大值为。
5）双数列问题
根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
【例15】已知数列中，；数列中，。当时，，，求、。
【解析】法一：两式相加可得，
∴——①；
两式作差可得，
∴——②。
根据①②两式可得，，，。
显然，分别满足对应的通项，综上，，，，。
法二：，，又有则，则，又有，，∴，∴，∴
，
。
显然，分别满足对应的通项，综上，，，，。
【变式】设各项均为正数的无穷数列和满足：对任意，都有且。
（1）求证：是等差数列；
（2）设，，求和的通项公式。
【解析】（1）∵，∴，，又∵，∴，∴，即，∴数列是等差数列。
（2）∵，，∴，，∴数列的公差，则，进而有，。∴，∴，。显然，也满足上式。∴综上，，，，。
如果你能看到这句话，说明数列对你来说已经是浮云了
Made By 东东
血汗之作
*May.20*
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