(共18张PPT)
5.2.3简单复合函数的导数
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
思考
如何求函数 的导数呢 ？
新知讲解
函数 不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数.
下面，先分析这个函数的结构特点.
若设 ，则
从而 可以看成是由 和 经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数.
新知讲解
对于两个函数 y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作
例，函数 由 和 复合而成
函数 由 和 复合而成
复合函数
新知讲解
如何求复合函数的导数呢？
先来研究 的导数.
以 表示 y 对 x 的导数，以 表示 y 对 u 的导数，
以 表示 u 对 x 的导数.
一方面，
另一方面，
，
可以发现，
合作探究
一般地，对于由函数 y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数
它的导数与函数 y=f(u) ，u=g(x)的导数间的关系为
即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
复合函数的求导法则
合作探究
例6 求下列函数的导数：
（1） （2） （3）
解：
（1）函数 可以看作函数 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
（2）函数 可以看作函数 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
（3）函数 可以看作函数 和 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式 .
求函数y在t=3 s 时的导数，并解释它的实际意义.
解：
合作探究
函数可以看作函数 和 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
当 t=3 时，
它表示当t=3 s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 mm/s .
课堂练习
1 写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则求出函数的导数：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
解：
（1）函数 的中间变量为 . 则函数的导数为，
（2）函数 的中间变量为 . 则函数的导数为，
课堂练习
（3）函数 的中间变量为 . 则函数的导数为，
1 （3） （4）
（5） （6）
解：
（4）函数 的中间变量为 . 则函数的导数为，
（5）函数 的中间变量为 . 则函数的导数为，
（6）函数 的中间变量为 . 则函数的导数为，
课堂练习
2 已知函数 ，若，则___
解：
则 ，则 .
课堂练习
3 设函数 f(x) 的导函数是 ，若 ，则 __
解：
则
∴
∴
∴
∴ .
课堂练习
4 已知函数 为可导的偶函数，（c为常数），
若，则__
解：
∵ ，
为可导的偶函数，
∴ ，
∴
∵
∴
∴
课堂总结
3 例题讲解
4 课堂练习
1 复合函数
2 复合函数的求导法则
对于两个函数 y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作
板书设计
1 复合函数
2 复合函数的求导法则
3 例题讲解
4 课堂练习
作业布置
课本81页习题5.2
（4、5、6）
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简单复合函数的导数教学设计
课题 简单复合函数的导数 单元 第二单元 学科 数学 年级 高二
教材分析 《简单复合函数的导数》是2019人教A版数学选择性必修第二册第五章的内容。本节课的主要内容是简单复合函数的导数。 本节通过对复合函数的概念及求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生运用导数解决函数问题的能力。在学习过程中，注意特殊到一般，数形结合，极限等数学思想方法是渗透。
教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 复合函数 2逻辑推理： 复合函数的求导法则 3数学运算： 复合函数的求导 4数学建模：复合函数 5直观想象：复合函数的求导法则 6数据分析：通过 “简单复合函数的概念及求导法则的学习—简单复合函数导数的识记及运用—例题讲解—练习巩固”的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点
难点
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 思考 如何求函数 的导数呢？ 问题引入 开门见山， 提出问题
讲授新课 函数 不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点. 若设，则 . 从而 可以看成是由 和 经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u 表示为自变量x的函数. 如果把y与u的关系记作y=f(u)，u和x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为 一般地，对于两个函数 y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作 . 我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的. 例如，函数由 和 复合而成. 又如，函数 由 和 复合而成. 如何求复合函数的导数呢？我们先来研究 的导数. 一个合理的猜想是，函数 的导数一定与函数 ，的导数有关. 下面我们就来研究这种关系. 以表示y对x的导数，以表示y对u的导数，以表示u对x的导数.一方面， 另一方面， ， 可以发现， . 一般地，对于由函数 y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 ，它的导数与函数 y=f(u) ，u=g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 例6 求下列函数的导数： （1） （2） （3） 解： （1）函数 可以看作函数 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有 （2）函数 可以看作函数 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有 （3）函数 可以看作函数 和 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有 例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式 . 求函数y在t=3 s 时的导数，并解释它的实际意义. 解：函数 可以看作函数 和 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有 当t=3 时， 它表示当t=3 s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 mm/s . 课堂练习： 1写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则求出函数的导数： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解： （1）函数 的中间变量为 . 则函数的导数为， （2）函数 的中间变量为 . 则函数的导数为， （3） 函数的中间变量为 . 则函数的导数为， （4） 函数的中间变量为 . 则函数的导数为， （5） 函数的中间变量为 . 则函数的导数为， （6） 函数 的中间变量为 ，所以 则函数的导数为， 2 已知函数 ，若，则___1 解： 则 ，则 . 3 设函数f(x)的导函数是，若 ，则 __. 解： 则 ∴ ∴ ∴ ∴ . 4 已知函数 为可导的偶函数， （c为常数），若，则__.-2 解： ∵ ， 为可导的偶函数， ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴ 开门见山，提出问题，引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。 通过对复合函数的概念及求导法则的学习，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。 例题巩固 练习巩固
课堂小结 1复合函数 一般地，对于两个函数 y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作 . 2复合函数的求导法则 一般地，对于由函数 y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 ，它的导数与函数 y=f(u) ，u=g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 3 例题讲解 4 课堂练习
板书 1复合函数 2复合函数的求导法则 3 例题讲解 4 课堂练习
教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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