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5.2.1-5.2.2 基本初等函数的导数
导数的四则运算法则
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.
在必修第一册中我们学过初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题.
5.2.1基本初等函数的导数
新知讲解
根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数，就是求出当时， 无限趋近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数.
新知讲解
1. 函数 y=f(x)=c 的导数
因为
所以
若y=c（图5.2-1）表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.
基本初等函数的导数
新知讲解
2. 函数 y=f(x)=x 的导数
因为
所以
若y=x（图5.2-2）表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度为1的匀速直线运动.
基本初等函数的导数
新知讲解
3. 函数 的导数
因为
所以
另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：
当x<0时，随着x的增加，越来越小， 减少的越来越慢；
当x>0时，随着x的增加，越来越大， 增加的越来越快.
若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.
表示函数 的图象（图5.2-3）上点（x, y）处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.
基本初等函数的导数
新知讲解
4. 函数 的导数
因为
所以
表示函数 的图象（图5.2-4）上点（x, y）处切线的斜率为，这说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为负数.
基本初等函数的导数
新知讲解
5. 函数 的导数
因为
所以
基本初等函数的导数
新知讲解
6. 函数 的导数
因为
所以
基本初等函数的导数
合作探究
原函数 导函数
① f(x)=C(C为常数) f'(x)=0
② f(x)=xα(α∈Q,α≠0) f'(x)=
③ f(x)=sin x f'(x)=
④ f(x)=cos x f'(x)=
⑤ f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=
⑥ f(x)=ex f'(x)=
⑦ f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
⑧ f(x)=ln x f'(x)=
导数公式表
注意以下五点：
(1)对于幂函数型函数的导数，x为自变量，α为常数，可推广到α∈R也成立；
(2)对于正、余弦函数的导数，关键是符号，余弦函数的导数是正弦函数前加一负号，而正弦函数的导数是余弦函数；
(3)注意指数函数、对数函数导数公式中字母a的范围；
(4)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例；
(5)要重视公式⑤和⑦，对指数和对数的运算要准确．
合作探究
例1 求下列函数的导数：
（1）
（2）
解：
（1）
（2）
合作探究
解：
例2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系
其中为t=0时的物价. 假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）
根据基本初等函数的导数公式表，有
所以
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08/年的速度上涨.
合作探究
5.2.2 导数的四则运算法则
在例2中，当 时， .
这时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与 乘积的导数.
一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢？
合作探究
导数的四则运算法则
思考
设 ，g(x)=x，计算 ，它们与有什么关系？
设
因为
所以
而 ，
所以
同样地，对于上述函数，
合作探究
导数的四则运算法则
一般地，对于两个函数 的和（或差）的导数，
有如下法则：
合作探究
导数的四则运算法则
例3 求下列函数的导数：
（1）
（2）
解：
（1）
（2）
合作探究
导数的四则运算法则
思考
设 ，g(x)=x，计算，它们是否相等？商的导数是否等于它们导数的商呢？
因此
同样地， 也不相等.
通过计算可知，
合作探究
导数的四则运算法则
对于两个函数 的乘积（或商）的导数，有如下法则：
常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即
合作探究
导数的四则运算法则
（1）
（2）
（3）
（4）
导数运算法则注意事项：
1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为 [f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x) 以及 .
2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．
3．(1) [f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′(x)；
(2) [cf(x)]′＝cf′(x)，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．
合作探究
解：
例4 求下列函数的导数：
（1）
（2）
（1）
（2）
合作探究
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1 t 水净化到纯净度为x% 时所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）90% ； （2）98% .
解：
净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
合作探究
（1）因为，所以，净化到纯净度为90% 时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
（2）因为，所以，净化到纯净度为98% 时, 净化费用的瞬时变化率是1321元/吨.
函数f(x)在某点处的导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，.它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.
1 已知函数，且，求.
课堂练习
解：
∵
∴ ，且，
∴
∴ .
课堂练习
2 求下列函数的导数：
（1） （2）
（3） 在 处的导数
解：
（1）
（2）
（3） ∴
课堂练习
3 已知 ， 求下列函数在x=1处的导数值.
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
解：
分析：
根据导数的定义、积的导数和商的导数的求导公式进行求导即可.
（1）
（2）
（3）
（4）
课堂练习
3 已知 ， 求下列函数在x=1处的导数值.
（5） （6）
解：
（5）
∴ 在x=1处的导数为：
（6）
∴ 在x=1处的导数为：
课堂练习
4 的含义有什么不同？
的含义有什么不同？
解：
分析：
根据函数值与导函数值的定义即可说出的含义的不同，根据导函数与导函数值的定义即可说出的含义的不同.
表示在x=1处的导数
表示在x=1处的函数值；
表示在x=1处的函数值
表示导函数.
课堂练习
选做练习
1 若函数 , 求它与x轴交点处的切线方程．
解：
得 ，
即与 x 轴的交点坐标为(1,0)，(－1,0)．
∵
∴ 切线的斜率 k＝1＋＝2.
∴ 切线的方程为 y＝2(x－1) 或 y＝2(x＋1)，
即2x－y－2＝0 或 2x－y＋2＝0.
课堂练习
求曲线在点处的切线方程的步骤
(1) 求出函数y=f(x)在处的导数得到切线的斜率.
(2) 根据直线的点斜式方程，得到切线方程：
课堂练习
选做练习
2 已知曲线 ，求曲线过点P(3,9)的切线方程．
解：
由于2×32－7＝11≠9，
故点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为 ,
则切线的斜率为 ,
故所求的切线方程为 .
将P(3,9)及 代入上式，
得
解得 ，
所以切点为 (2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为：
8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.
课堂练习
注：
1．解答本题误认为切线斜率 k＝f′(3)．因点P(3,9)不在曲线上，从而点P不是切点，故切线斜率不是在 x＝3 处的导数．
2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上．
3．如果已知点不在曲线上，求曲线的切线方程，要先设出切点的坐标，再根据导数的定义求出切点处的导数，最后求出切线的直线方程．
原函数 导函数
① f(x)=C(C为常数) f'(x)=0
② f(x)=xα(α∈Q,α≠0) f'(x)=
③ f(x)=sin x f'(x)=
④ f(x)=cos x f'(x)=
⑤ f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=
⑥ f(x)=ex f'(x)=
⑦ f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
⑧ f(x)=ln x f'(x)=
导数公式表
课堂总结
导数的四则运算法则
（1）
（2）
（3）
（4）
课堂总结
板书设计
基本初等函数的导数公式
例题讲解
导数的四则运算法则
作业布置
课本81页习题5.2
（1、2、3）
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
5.2.1-5.2.2 基本初等函数的导数&导数的四则运算法则
教学设计
课题 基本初等函数的导数@导数的四则运算法则 单元 第二单元 学科 数学 年级 高二
教材分析 《基本初等函数的导数@导数的四则运算法则》是2019人教A版数学选择性必修第二册第五章的内容。本节课的主要内容是基本初等函数的导数、导数的四则运算法则。 本节通过对“基本初等函数的导数、导数的四则运算法则”的学习，进一步帮助学生理解导数的含义，同时提升学生函数导数的运算能力，为运用导数解决函数问题打下基础。在学习过程中，注意特殊到一般，数形结合，极限等数学思想方法是渗透。
教学 目标与 核心素养 1数学抽象：基本初等函数的导数公式；导数的四则运算法则 2逻辑推理：基本初等函数的导数公式的推导过程；导数的四则运算法则 3数学运算：导数的四则运算法则的运用 4数学建模：基本初等函数的导数；导数的四则运算法则 5直观想象：导数的其几何意义 6数据分析：通过经历 “基本初等函数的导数公式及其推导过程—导数的四则运算法则的识记及运用—例题讲解—练习巩固”的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。 提升学生数学运算的能力，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。
重点 掌握基本初等函数的导数公式及其推导过程；导数的四则运算法则的识记及运用
难点 掌握基本初等函数的导数公式及其推导过程；导数的除法法则的识记及运用
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.在必修第一册中我们学过初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题. 复习引入 以新、旧概念之间的关系引入新概念
讲授新课 5.2.1基本初等函数的导数 根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数，就是求出当时， 无限趋近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数. 1. 函数y=f(x)=c的导数 因为
所以 若y=c（图5.2-1）表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 2. 函数y=f(x)=x的导数 因为
所以
若y=x（图5.2-2）表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度为1的匀速直线运动. 3. 函数的导数 因为 所以 表示函数 的图象（图5.2-3）上点（x, y）处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化. 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着x的增加，越来越小， 减少的越来越慢；当x>0时，随着x的增加，越来越大， 增加的越来越快. 若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x. 4. 函数的导数 因为
所以 表示函数 的图象（图5.2-4）上点（x, y）处切线的斜率为，这说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为负数. 5. 函数 的导数 因为
所以 探究 画出函数 的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程. 6. 函数 的导数 因为
所以 前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数.一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表，这些公式可以直接使用. 原函数导函数f(x)=C(C为常数)f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,α≠0)f'(x)= f(x)=sin xf'(x)= f(x)=cos xf'(x)= f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)= f(x)=exf'(x)= f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)= f(x)=ln xf'(x)=
例1 求下列函数的导数： （1） （2） 解： （1） （2） 例2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系 其中为t=0时的物价. 假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年） 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 所以
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08/年的速度上涨. 5.2.2 导数的四则运算法则 在例2中，当 时， . 这时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与 乘积的导数.一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢？ 探究 设 ，g(x)=x，计算，它们与有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？ 设 ，因为 所以 而 ， 所以 同样地，对于上述函数， 一般地，对于两个函数 的和（或差）的导数，有如下法则： 例3 求下列函数的导数： （1） （2） 解：（1） （2） 思考 设 ，g(x)=x，计算，它们是否相等？商的导数是否等于它们导数的商呢？ 通过计算可知， 因此 同样地， 也不相等. 对于两个函数 的乘积（或商）的导数，有如下法则： 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即
例4 求下列函数的导数： （1） （2） 解： （1） （2） 例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1 t 水净化到纯净度为x% 时所需费用（单位：元）为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90% ； （2）98% . 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数. （1）因为，所以，净化到纯净度为90% 时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨. （2）因为，所以，净化到纯净度为98% 时, 净化费用的瞬时变化率是1321元/吨. 函数f(x)在某点处的导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，.它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快. 课堂练习： 1 已知函数，且，求. 解： ∵ ∴ ，且， ∴ ∴ . 2 求下列函数的导数： （1） （2） （3） 在 处的导数 解： （1） （2） （3） ∴ 3 已知 求下列函数在x=1处的导数值. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 分析：根据导数的定义、积的导数和商的导数的求导公式进行求导即可. 解： （1） （2） （3） （4） （5） ∴ 在x=1处的导数为： （6） ∴ 在x=1处的导数为： 4 的含义有什么不同？ 的含义有什么不同？ 分析：根据函数值与导函数值的定义即可说出的含义的不同，根据导函数与导函数值的定义即可说出的含义的不同. 解： 表示在x=1处的导数 表示在x=1处的函数值； 表示在x=1处的函数值 表示导函数. 选做练习 1若函数 , 求它与x轴交点处的切线方程． 解： 得 ， 即与x轴的交点坐标为(1,0)，(－1,0)． ∵ ∴切线的斜率k＝1＋＝2. ∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)， 即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0. 注： 求曲线在点处的切线方程的步骤 (1)求出函数y=f(x)在处的导数得到切线的斜率. (2)根据直线的点斜式方程，得到切线方程： 2已知曲线 ，求曲线过点P(3,9)的切线方程． 解： 由于2×32－7＝11≠9， 故点P(3,9)不在曲线上． 设所求切线的切点为 , 则切线的斜率为 , 故所求的切线方程为 . 将P(3,9)及 代入上式， 得 解得 ， 所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为： 8x－y－15＝0或16x－y－39＝0. 注： 1．解答本题误认为切线斜率k＝f′(3)．因点P(3,9)不在曲线上，从而点P不是切点，故切线斜率不是在x＝3处的导数． 2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上． 3．如果已知点不在曲线上，求曲线的切线方程，要先设出切点的坐标，再根据导数的定义求出切点处的导数，最后求出切线的直线方程． 如果某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？ 通过对上节导数定义及求导步骤的回顾，引导学生对6个基本初等函数运用定义求导。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。 通过对前面例题的提问，引导学生对探究导数的四则运算法则。。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。
课堂小结 1基本初等函数的导数公式 原函数导函数① f(x)=C(C为常数)f'(x)=0② f(x)=xα(α∈Q,α≠0)f'(x)= ③ f(x)=sin xf'(x)= ④ f(x)=cos xf'(x)= ⑤ f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)= ⑥ f(x)=exf'(x)= ⑦ f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)= ⑧ f(x)=ln xf'(x)=
注意以下五点： (1)对于幂函数型函数的导数，x为自变量，α为常数，可推广到α∈R也成立； (2)对于正、余弦函数的导数，关键是符号，余弦函数的导数是正弦函数前加一负号，而正弦函数的导数是余弦函数； (3)注意指数函数、对数函数导数公式中字母a的范围； (4)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例； (5)要重视公式⑤和⑦，对指数和对数的运算要准确． 2导数的四则运算法则 （1） （2） （3） 导数运算法则注意事项： 1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及′＝. 2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”． 3．(1)[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′(x)； (2)[cf(x)]′＝cf′(x)，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．
板书 基本初等函数的导数公式 1. 函数y=f(x)=c的导数 2. 函数y=f(x)=x的导数 3. 函数的导数 4. 函数的导数 5. 函数 的导数 6. 函数 的导数 例题讲解 导数的四则运算法则 1、 2、 3、 例题讲解
教学反思
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