湖南省邵阳市邵阳县2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2020高一上·邵阳期中）已知集合 ， ，则 （ ）．
A． B．
C． D．
2．（2020高一上·邵阳期中）命题“ ， ”的否定是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2020高一上·秭归期中）已知函数 则f(f(-2))＝（ ）
A．5 B． C．4 D．
4．（2020高一上·邵阳期中）已知 ， ，则 ， 的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2020高一上·邵阳期中）下列函数中，不能化为指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高一上·邵阳期中）“ ”是“ ”的（ ）．
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2020高一上·郑州期中）函数 的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020高一上·邵阳期中）若函数 在区间 上的值域为 ，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高一上·邵阳期中）已知全集为 ，集合 和集合 的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020高一上·邵阳期中）已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
11．（2020高一上·邵阳期中）下列结论正确的是（ ）．
A．若 是无理数， 是有理数，则 是无理数
B．若 ，则
C．若“ ， ”是真命题，则
D．已知 ， 是方程 的两个实根，则
12．（2020高一上·邵阳期中）已知函数 是定义在 上的偶函数，对任意的 都有 ，且 ．当 ，且 时， 恒成立，则（ ）．
A．
B．直线 是 图象的对称轴
C． 在 上是减函数
D．方程 在 上有6个实根
三、填空题
13．（2020高一上·邵阳期中）函数 的定义域是 ．
14．（2020高一上·邵阳期中）已知 ，则 ．
15．（2020高一上·邵阳期中）若命题“ ， ”是真命题，则 的取值范围是 ．
16．（2020高一上·遵义期中）已知函数 ，若函数 恰有2个零点，则 的取值范围为 .
四、解答题
17．（2020高一上·遵义期中）已知全集 ，集合 ， .
（1）求 ， ；
（2）求 ， .
18．（2020高一上·邵阳期中）在① ，② 且 ，③ 恒成立且 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知二次函数 的图象经过点 ，_________．
（1）求 的解析式；
（2）求 在 上的值域．
19．（2020高一上·邵阳期中）已知集合 ， ．
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求 的取值范围．
20．（2020高一上·云县期末）某商场为回馈客户，开展了为期15天的促销活动，经统计，在这15天中，第x天进入该商场的人次 （单位：百人）近似满足 ． 而人均消费g（x）（单位：元）与时间x成一次函数，且第5天的人均 消费为600元，最后一天的人均消费为800元．
（1）求该商场的日收入y（单位：元）与时间x的函数关系式；
（2）求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值．
21．（2020高一上·郑州期中）已知幂函数 ，且在 上是减函数．
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求 的取值范围．
22．（2020高一上·邵阳期中）已知 是定义在 上的奇函数．
（1）求 的解析式；
（2）已知 ，且 ，若对于任意 ，存在 ，使得 成立，求 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；绝对值不等式
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ．
故答案为：D
【分析】根据题意由绝对值的解法求解出不等式的解集，从而得出集合B然后由交集的定义即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】“ ， ”的否定是“ ， ”.
故答案为：B
【分析】利用全称命题的否定是特称命题结合题意即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为 ，所以
所以 .
故答案为：D
【分析】直接根据分段函数解析式计算即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】二次函数的性质；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】由题意可得：
，
因为 ， ，
所以 ，即 ．
故答案为：C
【分析】利用“作差法”和实数的性质整理即可比较出结果。
5．【答案】B
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】对于A， 是指数函数；
对于B， 不是指数函数；
对于C， 是指数函数；
对于D， 是指数函数．
故答案为：B.
【分析】根据题意由指数函数的定义对选项逐一判断即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；绝对值不等式
【解析】【解答】由 ，得 或 ，即 或 ．
由 ，得 ，即 ，解得 或 ．
因为 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故答案为：B
【分析】由绝对值不等式的解法求解出不等式的解集，再由充分和必要条件的定义即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】当 时， ， 的大致图象可能是A，不可能是C；
当 时， ， 的大致图象可能是B或D．
故答案为：C．
【分析】结合指数函数的图象与性质，分和两种情况进行讨论即可．
8．【答案】C
【知识点】二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】因为 ，对称轴为 ，开口向上，
所以 ，
令 ，即 ，解得： 或 ，
所以 ，
因为 在区间 上的值域为 ，
所以当 ， 或 ， 时， 取得最小值3；
当 ， 时， 取得最大值6．
故 的取值范围是 ．
故答案为：C
【分析】 由已知结合二次函数性质确定二次函数在区间[n，m]上取得最值的由此即可求出答案.
9．【答案】A,C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】在阴影部分区域中任取一个元素 ，则 ，即 且 ，或 ，即 且 ，
所以，图中阴影部分可表示为 或 .
故答案为：AC.
【分析】根据题意集合的韦恩图结合补集和交集的定义对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】当 ， 时， ，A不符合题意；
因为 ，所以 ，B符合题意；
当 ， 时， ，C不符合题意；
因为 ， ，所以 ，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】根据题意由不等式的基本性质结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】B,C,D
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于A：当 ， 时， 是有理数，A不符合题意；
对于B：因为 ，所以 ，
则
（当且仅当 时，等号成立），B符合题意；
对于C：由题意可得 ，解得： ，C符合题意；
对于D：由题意可得 ， ，
则 ，D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】 由特殊值法即可判断出选项A；由基本不等式判断出选项B；全称命题的真假，求解出a的范围判断出选项C；再利用韦达定理转化求解判断出选项D，由此得出答案。
12．【答案】A,B
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】令 ，则 ，解得 ．
因为 是定义在 上的偶函数，
所以 ，所以 ，
则 是周期为6的函数，则 ，A符合题意；
因为 ，所以 的图象关于直线 对称，
因为 的周期为6，所以直线 是 图象的对称轴，B符合题意；
因为当 ，且 时， 恒成立，
所以 在 上单调递增，因为 的图象关于直线 对称，
所以 在 上单调递减，因为 的周期为6，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 上递增，在 上递减，C不符合题意；
因为 ，且 的周期为6，所以 ，
因为 是定义在 上的偶函数，所以 ， ，
所以在 内， 的实根为 ， ，D不符合题意．
故答案为：AB
【分析】 根据题意令x=-2可得f(3)=0，从而可得f(x)为周期为6的函数，计算可得f(29)，从而判断选项A；由f(x+5)=f(1-x)，可得f(x)的图象关于直线x=3对称，再由函数的周期可判断选项B；根据已知和周期即可判断选项C；由f(5)=-2，函数的周期性和奇偶性即可判断选项D.
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意得 ，解得 或 ．
所以定义域为： ，
故答案为： .
【分析】结合函数定义域的求法：分母不为零，被开方数大于等于零即可得到关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。
14．【答案】4
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
故答案为：4
【分析】根据题意由指数幂的运算性质整理即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由题意可得： ，使得 ，
所以得 对于 有解，
只需 ，
因为 ，所以 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立），
所以 时， 最大值为-6，
所以 ，
故答案为：
【分析】 根据题意直接利用真值表和不等式的应用和特称命题的应用求出结果.
16．【答案】
【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】若函数 恰有2个零点，
则关于 的方程 恰有2个实数根，
即函数 的图象与 的图象有2个不同的交点，
函数 的图象如图所示:
结合图象可得 .
故答案为：
【分析】把函数零点的问题转化为函数图象的交点问题结合数形结合的思想即可得到结果。
17．【答案】（1）解：由题意可得 ， ；
（2）解：因为全集 ， ， ，
所以 ， ，
故 ， .
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】(1)由交集和并集的定义即可求出结果。
(2)利用补集、交集和并集的定义即可得出结果。
18．【答案】（1）解：若选①，
设 ，
则 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ， ．
因为 的图象经过点 ，
所以 ，所以 ．
故 ．
若选②，
设 ，
则 图象的对称轴方程为 ．
由题意可得 ，解得 ．
故 ．
若选③，
．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
解得 ， ．故 ．
（2）由（1）可知 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
即 在 上的值域为 ．
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【分析】 (1)利用待定系数法，根据选择的条件即可求解；
(2)根据二次函数的单调性即可求值域；
19．【答案】（1）由题意可得 ， ．
当 时， ，
则 ．
（2）因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 ，
则 ，解得 ．
故 的取值范围为 ．
【知识点】集合间关系的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】 (1)根据题意由一元二次不等式的解法首先求出集合B，再求出AUB即可；
(2)根据题意即可得到关于a的不等式组，解出a的取值范围即可.
20．【答案】（1）设 ，
由题意可得
解得
则 ，
故
．
（2）因为 x > 0 ，
所以 ，当且仅当 x = 5 时，等号成立，
则 ，
故该商场第 5 天的日收入最少，且日收入的最小值为 360000 元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】 (1) 设 ，利用待定系数法求出函数g(x)的解析式，再利用y=f (x)g (x)即可求出该商场的日收入y(单位：元)与时间x的函数关系式；
(2)利用基本不等式即可求出y的最小值.
21．【答案】（1）解： 函数是幂函数，
，
即 ，
解得 或 ，
幂函数 在 上是减函数，
，
即 ，
，
（2）解：令 ，因为 的定义域为 ， ， ，且在 和 上均为减函数，
，
或 或 ，
解得 或 ，
故 的取值范围为： 或 ．
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性建立条件关系即可得到结论；
（2） 令 ，根据幂函数的单调性即可得到结论。
22．【答案】（1）解：因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ，
解得 ，则
经检验： 时，
满足 是 上的奇函数，
所以 .
（2）令 ，
由（1）可知 ．
易证函数 与 均是 上的减函数，
则 是 上的减函数，且 ．
令 ，
对于任意 ，存在 ，
使得 成立等价于 成立，
即 成立．
若 ，则 在 上单调递减，
，
故 ，解得 ；
若 ，则 在 上单调递增，
，故 ，解得： ．
综上所述， 的取值范围为 ．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数与偶函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；不等式
【解析】【分析】 （1）利用函数的奇偶性，代入特殊值求解即可。
（2）构造函数，利用函数的性质，判断出g(x)的单调性，使得成立等价于成立，结合二次函数的性质即可求出a的取值范围。
1 / 1湖南省邵阳市邵阳县2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2020高一上·邵阳期中）已知集合 ， ，则 （ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；绝对值不等式
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ．
故答案为：D
【分析】根据题意由绝对值的解法求解出不等式的解集，从而得出集合B然后由交集的定义即可得出答案。
2．（2020高一上·邵阳期中）命题“ ， ”的否定是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】“ ， ”的否定是“ ， ”.
故答案为：B
【分析】利用全称命题的否定是特称命题结合题意即可得出答案。
3．（2020高一上·秭归期中）已知函数 则f(f(-2))＝（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为 ，所以
所以 .
故答案为：D
【分析】直接根据分段函数解析式计算即可得出答案。
4．（2020高一上·邵阳期中）已知 ， ，则 ， 的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的性质；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】由题意可得：
，
因为 ， ，
所以 ，即 ．
故答案为：C
【分析】利用“作差法”和实数的性质整理即可比较出结果。
5．（2020高一上·邵阳期中）下列函数中，不能化为指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】对于A， 是指数函数；
对于B， 不是指数函数；
对于C， 是指数函数；
对于D， 是指数函数．
故答案为：B.
【分析】根据题意由指数函数的定义对选项逐一判断即可得出答案。
6．（2020高一上·邵阳期中）“ ”是“ ”的（ ）．
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；绝对值不等式
【解析】【解答】由 ，得 或 ，即 或 ．
由 ，得 ，即 ，解得 或 ．
因为 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故答案为：B
【分析】由绝对值不等式的解法求解出不等式的解集，再由充分和必要条件的定义即可得出答案。
7．（2020高一上·郑州期中）函数 的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】当 时， ， 的大致图象可能是A，不可能是C；
当 时， ， 的大致图象可能是B或D．
故答案为：C．
【分析】结合指数函数的图象与性质，分和两种情况进行讨论即可．
8．（2020高一上·邵阳期中）若函数 在区间 上的值域为 ，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】因为 ，对称轴为 ，开口向上，
所以 ，
令 ，即 ，解得： 或 ，
所以 ，
因为 在区间 上的值域为 ，
所以当 ， 或 ， 时， 取得最小值3；
当 ， 时， 取得最大值6．
故 的取值范围是 ．
故答案为：C
【分析】 由已知结合二次函数性质确定二次函数在区间[n，m]上取得最值的由此即可求出答案.
二、多选题
9．（2020高一上·邵阳期中）已知全集为 ，集合 和集合 的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】在阴影部分区域中任取一个元素 ，则 ，即 且 ，或 ，即 且 ，
所以，图中阴影部分可表示为 或 .
故答案为：AC.
【分析】根据题意集合的韦恩图结合补集和交集的定义对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2020高一上·邵阳期中）已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】当 ， 时， ，A不符合题意；
因为 ，所以 ，B符合题意；
当 ， 时， ，C不符合题意；
因为 ， ，所以 ，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】根据题意由不等式的基本性质结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2020高一上·邵阳期中）下列结论正确的是（ ）．
A．若 是无理数， 是有理数，则 是无理数
B．若 ，则
C．若“ ， ”是真命题，则
D．已知 ， 是方程 的两个实根，则
【答案】B,C,D
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于A：当 ， 时， 是有理数，A不符合题意；
对于B：因为 ，所以 ，
则
（当且仅当 时，等号成立），B符合题意；
对于C：由题意可得 ，解得： ，C符合题意；
对于D：由题意可得 ， ，
则 ，D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】 由特殊值法即可判断出选项A；由基本不等式判断出选项B；全称命题的真假，求解出a的范围判断出选项C；再利用韦达定理转化求解判断出选项D，由此得出答案。
12．（2020高一上·邵阳期中）已知函数 是定义在 上的偶函数，对任意的 都有 ，且 ．当 ，且 时， 恒成立，则（ ）．
A．
B．直线 是 图象的对称轴
C． 在 上是减函数
D．方程 在 上有6个实根
【答案】A,B
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】令 ，则 ，解得 ．
因为 是定义在 上的偶函数，
所以 ，所以 ，
则 是周期为6的函数，则 ，A符合题意；
因为 ，所以 的图象关于直线 对称，
因为 的周期为6，所以直线 是 图象的对称轴，B符合题意；
因为当 ，且 时， 恒成立，
所以 在 上单调递增，因为 的图象关于直线 对称，
所以 在 上单调递减，因为 的周期为6，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 上递增，在 上递减，C不符合题意；
因为 ，且 的周期为6，所以 ，
因为 是定义在 上的偶函数，所以 ， ，
所以在 内， 的实根为 ， ，D不符合题意．
故答案为：AB
【分析】 根据题意令x=-2可得f(3)=0，从而可得f(x)为周期为6的函数，计算可得f(29)，从而判断选项A；由f(x+5)=f(1-x)，可得f(x)的图象关于直线x=3对称，再由函数的周期可判断选项B；根据已知和周期即可判断选项C；由f(5)=-2，函数的周期性和奇偶性即可判断选项D.
三、填空题
13．（2020高一上·邵阳期中）函数 的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意得 ，解得 或 ．
所以定义域为： ，
故答案为： .
【分析】结合函数定义域的求法：分母不为零，被开方数大于等于零即可得到关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。
14．（2020高一上·邵阳期中）已知 ，则 ．
【答案】4
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
故答案为：4
【分析】根据题意由指数幂的运算性质整理即可得出答案。
15．（2020高一上·邵阳期中）若命题“ ， ”是真命题，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由题意可得： ，使得 ，
所以得 对于 有解，
只需 ，
因为 ，所以 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立），
所以 时， 最大值为-6，
所以 ，
故答案为：
【分析】 根据题意直接利用真值表和不等式的应用和特称命题的应用求出结果.
16．（2020高一上·遵义期中）已知函数 ，若函数 恰有2个零点，则 的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】若函数 恰有2个零点，
则关于 的方程 恰有2个实数根，
即函数 的图象与 的图象有2个不同的交点，
函数 的图象如图所示:
结合图象可得 .
故答案为：
【分析】把函数零点的问题转化为函数图象的交点问题结合数形结合的思想即可得到结果。
四、解答题
17．（2020高一上·遵义期中）已知全集 ，集合 ， .
（1）求 ， ；
（2）求 ， .
【答案】（1）解：由题意可得 ， ；
（2）解：因为全集 ， ， ，
所以 ， ，
故 ， .
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】(1)由交集和并集的定义即可求出结果。
(2)利用补集、交集和并集的定义即可得出结果。
18．（2020高一上·邵阳期中）在① ，② 且 ，③ 恒成立且 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知二次函数 的图象经过点 ，_________．
（1）求 的解析式；
（2）求 在 上的值域．
【答案】（1）解：若选①，
设 ，
则 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ， ．
因为 的图象经过点 ，
所以 ，所以 ．
故 ．
若选②，
设 ，
则 图象的对称轴方程为 ．
由题意可得 ，解得 ．
故 ．
若选③，
．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
解得 ， ．故 ．
（2）由（1）可知 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
即 在 上的值域为 ．
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【分析】 (1)利用待定系数法，根据选择的条件即可求解；
(2)根据二次函数的单调性即可求值域；
19．（2020高一上·邵阳期中）已知集合 ， ．
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求 的取值范围．
【答案】（1）由题意可得 ， ．
当 时， ，
则 ．
（2）因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 ，
则 ，解得 ．
故 的取值范围为 ．
【知识点】集合间关系的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】 (1)根据题意由一元二次不等式的解法首先求出集合B，再求出AUB即可；
(2)根据题意即可得到关于a的不等式组，解出a的取值范围即可.
20．（2020高一上·云县期末）某商场为回馈客户，开展了为期15天的促销活动，经统计，在这15天中，第x天进入该商场的人次 （单位：百人）近似满足 ． 而人均消费g（x）（单位：元）与时间x成一次函数，且第5天的人均 消费为600元，最后一天的人均消费为800元．
（1）求该商场的日收入y（单位：元）与时间x的函数关系式；
（2）求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值．
【答案】（1）设 ，
由题意可得
解得
则 ，
故
．
（2）因为 x > 0 ，
所以 ，当且仅当 x = 5 时，等号成立，
则 ，
故该商场第 5 天的日收入最少，且日收入的最小值为 360000 元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】 (1) 设 ，利用待定系数法求出函数g(x)的解析式，再利用y=f (x)g (x)即可求出该商场的日收入y(单位：元)与时间x的函数关系式；
(2)利用基本不等式即可求出y的最小值.
21．（2020高一上·郑州期中）已知幂函数 ，且在 上是减函数．
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）解： 函数是幂函数，
，
即 ，
解得 或 ，
幂函数 在 上是减函数，
，
即 ，
，
（2）解：令 ，因为 的定义域为 ， ， ，且在 和 上均为减函数，
，
或 或 ，
解得 或 ，
故 的取值范围为： 或 ．
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性建立条件关系即可得到结论；
（2） 令 ，根据幂函数的单调性即可得到结论。
22．（2020高一上·邵阳期中）已知 是定义在 上的奇函数．
（1）求 的解析式；
（2）已知 ，且 ，若对于任意 ，存在 ，使得 成立，求 的取值范围．
【答案】（1）解：因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ，
解得 ，则
经检验： 时，
满足 是 上的奇函数，
所以 .
（2）令 ，
由（1）可知 ．
易证函数 与 均是 上的减函数，
则 是 上的减函数，且 ．
令 ，
对于任意 ，存在 ，
使得 成立等价于 成立，
即 成立．
若 ，则 在 上单调递减，
，
故 ，解得 ；
若 ，则 在 上单调递增，
，故 ，解得： ．
综上所述， 的取值范围为 ．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数与偶函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；不等式
【解析】【分析】 （1）利用函数的奇偶性，代入特殊值求解即可。
（2）构造函数，利用函数的性质，判断出g(x)的单调性，使得成立等价于成立，结合二次函数的性质即可求出a的取值范围。
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