湖北省部分省级示范高中2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

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湖北省部分省级示范高中2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1.（2020高一上·湖北期中）集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】交集及其运算，指数函数的图象与性质
【解析】【解答】 ，得 ，所以集合 ， ，所以 ，即 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由不等式的解法求解出不等式的解集，由此得到集合A再由指数函数的性质即可求出x的取值范围，由此得到集合B再由交集的定义即可得到答案。
2.（2017高一上·山东期中）已知 = = = ,则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由指数函数与对数函数持性质可得 ,所以， .
故答案为：C.
【分析】利用指数的性质可得0＜a＜1,c>1，利用对数的运算性质可得b<0，由此得到a，b，c的大小．
3.（2020高一上·湖北期中）函数 的零点一定位于下列哪个区间（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】函数零点的判定定理，函数的零点
【解析】【解答】因为函数 的图象连续不断，且 ，
， ，
，
根据零点存在性定理可知函数 的零点一定位于区间 内.
故答案为：C
【分析】根据题意由函数图象的性质结合零点存在定理，即可得出答案。
4.（2019高一上·济南期中）已知偶函数 在 上单调递增，则对实数 ，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】结合偶函数的性质可得 ,而当 ,所以结合 在 单调递增,得到 ,故 可以推出 .举特殊例子, ,但是 ,故由 无法得到 ,故 是 的充分不必要条件,
故答案为：A.
【分析】本道题结合偶函数满足 以及单调递增关系,前后推导,即可.
5.（2020高二下·沈阳期末）已知 ，则 的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令 ，反解得：
回代得： ，即：
，故：
.
故答案为：B.
【分析】 利用换元法求函数的解析式即可，令 ，求出f（x）的表达式，然后求f（x+1）即可．
6.（2020高三上·拉孜月考）函数 的图像的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】 D
【考点】函数的图象
【解析】【解答】根据 ，
，
，
，
是减函数， 是增函数，
在 上单调递减，在 上单调递增，
故答案为：D.
【分析】利用绝对值的定义，将函数转化为分段函数，再利用指数型函数的单调性结合已知条件，从而判断出分段函数的单调性，进而找出分段函数的大致图象。
7.（2020高一上·湖北期中）已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】一次函数的性质与图象，对数函数的图象与性质，分段函数的应用
【解析】【解答】因为 是 上的减函数，
所以 ，解得 .
故答案为：C
【分析】根据题意由对数函数和一次函数的性质即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
8.（2019高一上·西安月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设 ，用 表示不超过 的最大整数,则 称为高斯函数,例如: ， ，已知函数 ，则函数 的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【考点】函数的值域
【解析】【解答】 ，由于

的值域为:
根据 表示不超过 的最大整数
函数 的值域是 .
故答案为：D.
【分析】利用分离常数法可得 ,求得 的值域, 由 表示不超过 的最大整数,即可求得函数 的值域.
二、多选题
9.（2020高一上·湖北期中）已知U为全集，下列各项中与 等价的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B,C,D
【考点】集合的包含关系判断及应用，交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】A. 因为 ，所以 ，故错误；
B. 当 时，有 ，反之也成立，故正确；
C. 当 时，有 ，反之也成立，故正确；
D. 若 ，则 ，反之也成立，故正确.
故答案为：BCD
【分析】根据题意由集合之间的关系结合补集和交集的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
10.（2020高一上·湖北期中）设 ，且 ，则下列不等式成立的有（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 C,D
【考点】不等式的基本性质
【解析】【解答】对于 ，当 时，不等式 不成立，故A不正确；
对于 ，当 时，不等式 不成立，故B不正确；
对于 ，因为 ，且 不同为0，所以 ，即 ，故C正确；
对于 ，根据指数函数 为增函数可知， ，故D正确.
故答案为：CD
【分析】根据题意由不等式的基本性质即可判断出选项A错误；由特殊值法结合不等式的性质即可判断出选项B错误；由不等式的性质即可判断出选项C正确；结合指数函数的单调性即可判断出选项D正确，由此即可判断出答案。
11.（2020高一上·湖北期中）下列命题正确的是（ ）
A. 函数 与函数 的图象关于直线 对称
B. 已知 ，集合 ，若 ，则
C. 的否定是
D. 时，
【答案】 A,B
【考点】集合的包含关系判断及应用，命题的否定，反函数，基本不等式
【解析】【解答】A. 因为函数 的反函数是 ,所以其图象关于直线 对称，故正确;
B. 因为 ，集合 ，且 ，所以 ，所以 ，故正确；
C. 的否定是 ，故错误；
D. 当 时， ，故错误；
故答案为：AB
【分析】根据题意由反函数图象的性质即可判断出选项A正确；由集合之间的关系结合已知条件即可求出x与y的值，由此即可判断出选项B正确；利用全称命题的否定是特称命题结合题意即可判断出选项C错误；由特殊值代入法计算出结果，判断出选项D错误，由此得出答案。
12.（2020高一上·湖北期中）设 ， 且 ，那么（ ）
A. 有最小值 B. 有最大值
C. ab有最大值 D. ab有最小值
【答案】 A,D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 得： （当且仅当 时取等号），
即 且 ，解得： ，
有最小值 ，知A符合题意；
由 得： （当且仅当 时取等号），
即 且 ，解得： ，
有最小值 ，知 正确.
故答案为：AD.
【分析】根据题意由基本不等式结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13.（2020高一上·湖北期中）幂函数 在 上是减函数，则实数 的值为 .
【答案】 -1
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由幂函数 知，
得 或 .
当 时， 在 上是增函数，
当 时， 在 上是减函数，
∴ .
故答案为-1
【分析】首先由幂函数的定义得到关于m的方程求解出m的值，由此得到函数的解析式，然后结合幂函数的单调性即可得出满足题意的m的取值即可。
14.（2020高一上·湖北期中）已知函数 是 上的奇函数，当 时， ，则当 时， .
【答案】
【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数 是 上的奇函数，所以 ，
所以当 时， ，
当 时， ， ，
综上所述：当 时， .
故答案为：
【分析】根据题意由奇函数的定义即可得出当 时， ， 以及当 时函数的解析式，结合已知条件即可求出当 时，函数的解析式。
15.（2020高一上·湖北期中）给出下列结论：
① ；
② ， ， 的值域是 ；
③幂函数图像一定不过第四象限：
④函数 的图像过定点 ；
其中正确的序号是 .
【答案】 ③④
【考点】有理数指数幂的运算性质，指数函数的图象与性质，幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】对于①， ， ，故①不正确；
对于②， ， ， 的值域是 ，故②不正确；
对于③，幂函数图像一定不过第四象限是正确的，故③正确；
对于④，由 得 ， ，所以函数 的图像过定点 ，故④正确.
故答案为：③④
【分析】由指数幂的运算性质即可计算出结果由此判断出选项①不正确；结合二次函数的图象和性质即可求出函数的值域，由此判断出选项②不正确；由幂函数的图象和性质即可判断出③正确；由特殊值法代入求出x与y的值，结合正弦函数的图象即可得出答案，由此判断出④正确，从而得出答案。
16.（2020高一上·湖北期中）已知 ，则方程 的不等实根一共有 个.
【答案】 4
【考点】二次函数的性质，根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】由 得 ，
函数 的图象如图：
由图可知， 的图象与直线 一共有4个交点，
所以方程 的不等实根一共有4个.
故答案为：4
【分析】根据题意由绝对值的几何意义整理即可得出函数的解析式，再由二次函数图象的性质即可得出函数的图象，然后由数形结合法即可得出答案。
四、解答题
17.（2020高一上·湖北期中）计算下列各式的值：
（1）. ；
（2）. .
【答案】 （1）原式 ；
（2）原式
.
【考点】有理数指数幂的运算性质，对数的运算性质
【解析】【分析】(1)由指数幂的运算性质计算出结果即可。
(2)由对数的运算性质整理计算出结果即可。


18.（2020高一上·湖北期中）已和知集合 ，集合 ，命题 ，命题 .
（1）.当实数 为何值时， 是 的充要条件；
（2）.若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】 （1） ，即 ，有 ，解得 ，
故 ，因为 是 的充要条件，所以 ，故 的解集也为 ，所以 ，即 ；
（2）因为 是 的充分不必要条件，所以 是 的真子集，
当 ，即 或 时， ，由 是 的真子集可得 ，解得 ；
当 ，即 或0时， ，符合题意；
当 ，即 时， ，由 是 的真子集可得 ，解得 ，
综上所述：实数 的取值范围是 .
【考点】集合的包含关系判断及应用，必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】 (1)根据题意首先求出集合B，再根据p是q的充要条件得到A=B，即可求出a的值，
(2)由题意可得A是B的真子集，分类讨论，得到关于a的不等式组，解得即可.


19.（2020高一上·湖北期中）已知奇函数 在 处有定义.
（1）.求 、 的值.
（2）.判断 的单调性，并说明理由，
【答案】 （1）奇函数 在 处有定义，所以 ，所以 ，
又 ，即 ，即 ，即 在定义域内恒成立，所以 ，得 或2：
当 时， ， 此时定义域不关于原点对称，故舍去，即 ，
综上 ， ；
（2） 在定义域 上单调递减，理由如下：
，定义域为 ，任取 ，
因为 ，则有 ，故 ，
，即 ， ，故 ，即 .所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递减.
【考点】函数的定义域及其求法，函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的性质，对数的运算性质
【解析】【分析】(1)根据题意由奇函数的定义结合对数的运算性质，计算出n的值然后再由对数的运算性质整理求出m的值，由此得出函数的解析式再由已知条件即可求出myun的值即可。
(2)首先求出函数的定义域，然后由导数的运算性质整理结合函数单调性的定义即可得证出结论。


20.（2020高一上·湖北期中）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本 （元）与月处理量 （吨）之间的函数关系可以近似地表示为： ，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元.
（1）.当 时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量 为多少吨时可使亏损量最小？
（2）.该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【答案】 （1）当 时，该项目获利为 ，则
，
当 时， ，因此，该项目不会获利：
当 时， 取得最大值-5000，故当月处理量为300吨时可使亏损最小，为5000元；
（2）由题意知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
当 时， ，所以当 时， 取得最小值240，
当 时， ，
当且仅当 时等号成立，即 时， 取得最小值200，
∵
∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.
【考点】分段函数的应用
【解析】【分析】 (1)由已知条件即可确定当xE[200，300]时，该项目获利函数，再利用配方法，即可求得结论；
(2)根据题意首先确定二氧化碳的每吨的平均处理成本，由此即可求出函数的最值，由此即可求得结论.


21.（2020高一上·湖北期中）已知关于 不等式 的解集为 .
（1）. ，求实数 的取值范围.
（2）.当 不为空集，且 时，求实数 的取值范围.
【答案】 （1）因为 可知，令 ，
则 ，即 ，
解得： ；
（2）∵ 不为空集，且
⒈当 时，则 ，即 ，
解得： ；
⒉当 时， 也符合题意：
综上： .
【考点】集合的包含关系判断及应用，一元二次不等式的解法
【解析】【分析】 (1)由题意得到关于m的不等式组，求解不等式组确定实数m的取值范围即可；
(2)由题意分类讨论即可求得实数m的取值范围.


22.（2020高一上·湖北期中）已知函数 对任意的实数 ， ，都有 ，且当 时，有 .
（1）.求 的值；
（2）.求证： 在 上为增函数；
（3）.若 ，且关于 的不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】 （1）由 ，故此令 ，则 ，则 ；
（2）设x1 ， x2是R上任意两个实数，且x1＜x2 ， 则令m＝x2﹣x1 ， n＝x1 ，
则f（x2）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1，所以f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1，
由x1＜x2得x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＞1，故f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），
故此，函数 为 上增函数；
（3）由已知条件得： ，
故此 ，∵ ，∴ ，
∴ ，由（2）可知f（x）在R上为增函数，
∴ ，即 ，令 ，即 成立即可.
①当 时，即 ， 在 单调递增，∴ ，∴ ∴
②当 时，即 ， 在 先递减后递增，∴ ，
∴ ，解得 ，∴ .
综上，∴ .
【考点】函数单调性的判断与证明，函数的值，不等式
【解析】【分析】 (1)根据题意把x=3，x=4代入，再比较其大小即可；
(2)假设X10，×2＞0，再作差比较出结果即可.


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湖北省部分省级示范高中2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1.（2020高一上·湖北期中）集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.（2017高一上·山东期中）已知 = = = ,则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
3.（2020高一上·湖北期中）函数 的零点一定位于下列哪个区间（ ）.
A. B. C. D.
4.（2019高一上·济南期中）已知偶函数 在 上单调递增，则对实数 ，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.（2020高二下·沈阳期末）已知 ，则 的解析式为（ ）
A. B. C. D.
6.（2020高三上·拉孜月考）函数 的图像的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
7.（2020高一上·湖北期中）已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
8.（2019高一上·西安月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设 ，用 表示不超过 的最大整数,则 称为高斯函数,例如: ， ，已知函数 ，则函数 的值域是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9.（2020高一上·湖北期中）已知U为全集，下列各项中与 等价的有（ ）
A. B. C. D.
10.（2020高一上·湖北期中）设 ，且 ，则下列不等式成立的有（ ）.
A. B. C. D.
11.（2020高一上·湖北期中）下列命题正确的是（ ）
A. 函数 与函数 的图象关于直线 对称
B. 已知 ，集合 ，若 ，则
C. 的否定是
D. 时，
12.（2020高一上·湖北期中）设 ， 且 ，那么（ ）
A. 有最小值 B. 有最大值
C. ab有最大值 D. ab有最小值
三、填空题
13.（2020高一上·湖北期中）幂函数 在 上是减函数，则实数 的值为 .
14.（2020高一上·湖北期中）已知函数 是 上的奇函数，当 时， ，则当 时， .
15.（2020高一上·湖北期中）给出下列结论：
① ；
② ， ， 的值域是 ；
③幂函数图像一定不过第四象限：
④函数 的图像过定点 ；
其中正确的序号是 .
16.（2020高一上·湖北期中）已知 ，则方程 的不等实根一共有 个.
四、解答题
17.（2020高一上·湖北期中）计算下列各式的值：
（1）. ；
（2）. .
18.（2020高一上·湖北期中）已和知集合 ，集合 ，命题 ，命题 .
（1）.当实数 为何值时， 是 的充要条件；
（2）.若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
19.（2020高一上·湖北期中）已知奇函数 在 处有定义.
（1）.求 、 的值.
（2）.判断 的单调性，并说明理由，
20.（2020高一上·湖北期中）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本 （元）与月处理量 （吨）之间的函数关系可以近似地表示为： ，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元.
（1）.当 时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量 为多少吨时可使亏损量最小？
（2）.该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
21.（2020高一上·湖北期中）已知关于 不等式 的解集为 .
（1）. ，求实数 的取值范围.
（2）.当 不为空集，且 时，求实数 的取值范围.
22.（2020高一上·湖北期中）已知函数 对任意的实数 ， ，都有 ，且当 时，有 .
（1）.求 的值；
（2）.求证： 在 上为增函数；
（3）.若 ，且关于 的不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】交集及其运算，指数函数的图象与性质
【解析】【解答】 ，得 ，所以集合 ， ，所以 ，即 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由不等式的解法求解出不等式的解集，由此得到集合A再由指数函数的性质即可求出x的取值范围，由此得到集合B再由交集的定义即可得到答案。
2.【答案】 C
【考点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由指数函数与对数函数持性质可得 ,所以， .
故答案为：C.
【分析】利用指数的性质可得0＜a＜1,c>1，利用对数的运算性质可得b<0，由此得到a，b，c的大小．
3.【答案】 C
【考点】函数零点的判定定理，函数的零点
【解析】【解答】因为函数 的图象连续不断，且 ，
， ，
，
根据零点存在性定理可知函数 的零点一定位于区间 内.
故答案为：C
【分析】根据题意由函数图象的性质结合零点存在定理，即可得出答案。
4.【答案】 A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】结合偶函数的性质可得 ,而当 ,所以结合 在 单调递增,得到 ,故 可以推出 .举特殊例子, ,但是 ,故由 无法得到 ,故 是 的充分不必要条件,
故答案为：A.
【分析】本道题结合偶函数满足 以及单调递增关系,前后推导,即可.
5.【答案】 B
【考点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令 ，反解得：
回代得： ，即：
，故：
.
故答案为：B.
【分析】 利用换元法求函数的解析式即可，令 ，求出f（x）的表达式，然后求f（x+1）即可．
6.【答案】 D
【考点】函数的图象
【解析】【解答】根据 ，
，
，
，
是减函数， 是增函数，
在 上单调递减，在 上单调递增，
故答案为：D.
【分析】利用绝对值的定义，将函数转化为分段函数，再利用指数型函数的单调性结合已知条件，从而判断出分段函数的单调性，进而找出分段函数的大致图象。
7.【答案】 C
【考点】一次函数的性质与图象，对数函数的图象与性质，分段函数的应用
【解析】【解答】因为 是 上的减函数，
所以 ，解得 .
故答案为：C
【分析】根据题意由对数函数和一次函数的性质即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
8.【答案】 D
【考点】函数的值域
【解析】【解答】 ，由于

的值域为:
根据 表示不超过 的最大整数
函数 的值域是 .
故答案为：D.
【分析】利用分离常数法可得 ,求得 的值域, 由 表示不超过 的最大整数,即可求得函数 的值域.
二、多选题
9.【答案】 B,C,D
【考点】集合的包含关系判断及应用，交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】A. 因为 ，所以 ，故错误；
B. 当 时，有 ，反之也成立，故正确；
C. 当 时，有 ，反之也成立，故正确；
D. 若 ，则 ，反之也成立，故正确.
故答案为：BCD
【分析】根据题意由集合之间的关系结合补集和交集的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
10.【答案】 C,D
【考点】不等式的基本性质
【解析】【解答】对于 ，当 时，不等式 不成立，故A不正确；
对于 ，当 时，不等式 不成立，故B不正确；
对于 ，因为 ，且 不同为0，所以 ，即 ，故C正确；
对于 ，根据指数函数 为增函数可知， ，故D正确.
故答案为：CD
【分析】根据题意由不等式的基本性质即可判断出选项A错误；由特殊值法结合不等式的性质即可判断出选项B错误；由不等式的性质即可判断出选项C正确；结合指数函数的单调性即可判断出选项D正确，由此即可判断出答案。
11.【答案】 A,B
【考点】集合的包含关系判断及应用，命题的否定，反函数，基本不等式
【解析】【解答】A. 因为函数 的反函数是 ,所以其图象关于直线 对称，故正确;
B. 因为 ，集合 ，且 ，所以 ，所以 ，故正确；
C. 的否定是 ，故错误；
D. 当 时， ，故错误；
故答案为：AB
【分析】根据题意由反函数图象的性质即可判断出选项A正确；由集合之间的关系结合已知条件即可求出x与y的值，由此即可判断出选项B正确；利用全称命题的否定是特称命题结合题意即可判断出选项C错误；由特殊值代入法计算出结果，判断出选项D错误，由此得出答案。
12.【答案】 A,D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 得： （当且仅当 时取等号），
即 且 ，解得： ，
有最小值 ，知A符合题意；
由 得： （当且仅当 时取等号），
即 且 ，解得： ，
有最小值 ，知 正确.
故答案为：AD.
【分析】根据题意由基本不等式结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13.【答案】 -1
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由幂函数 知，
得 或 .
当 时， 在 上是增函数，
当 时， 在 上是减函数，
∴ .
故答案为-1
【分析】首先由幂函数的定义得到关于m的方程求解出m的值，由此得到函数的解析式，然后结合幂函数的单调性即可得出满足题意的m的取值即可。
14.【答案】
【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数 是 上的奇函数，所以 ，
所以当 时， ，
当 时， ， ，
综上所述：当 时， .
故答案为：
【分析】根据题意由奇函数的定义即可得出当 时， ， 以及当 时函数的解析式，结合已知条件即可求出当 时，函数的解析式。
15.【答案】 ③④
【考点】有理数指数幂的运算性质，指数函数的图象与性质，幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】对于①， ， ，故①不正确；
对于②， ， ， 的值域是 ，故②不正确；
对于③，幂函数图像一定不过第四象限是正确的，故③正确；
对于④，由 得 ， ，所以函数 的图像过定点 ，故④正确.
故答案为：③④
【分析】由指数幂的运算性质即可计算出结果由此判断出选项①不正确；结合二次函数的图象和性质即可求出函数的值域，由此判断出选项②不正确；由幂函数的图象和性质即可判断出③正确；由特殊值法代入求出x与y的值，结合正弦函数的图象即可得出答案，由此判断出④正确，从而得出答案。
16.【答案】 4
【考点】二次函数的性质，根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】由 得 ，
函数 的图象如图：
由图可知， 的图象与直线 一共有4个交点，
所以方程 的不等实根一共有4个.
故答案为：4
【分析】根据题意由绝对值的几何意义整理即可得出函数的解析式，再由二次函数图象的性质即可得出函数的图象，然后由数形结合法即可得出答案。
四、解答题
17.【答案】 （1）原式 ；
（2）原式
.
【考点】有理数指数幂的运算性质，对数的运算性质
【解析】【分析】(1)由指数幂的运算性质计算出结果即可。
(2)由对数的运算性质整理计算出结果即可。


18.【答案】 （1） ，即 ，有 ，解得 ，
故 ，因为 是 的充要条件，所以 ，故 的解集也为 ，所以 ，即 ；
（2）因为 是 的充分不必要条件，所以 是 的真子集，
当 ，即 或 时， ，由 是 的真子集可得 ，解得 ；
当 ，即 或0时， ，符合题意；
当 ，即 时， ，由 是 的真子集可得 ，解得 ，
综上所述：实数 的取值范围是 .
【考点】集合的包含关系判断及应用，必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】 (1)根据题意首先求出集合B，再根据p是q的充要条件得到A=B，即可求出a的值，
(2)由题意可得A是B的真子集，分类讨论，得到关于a的不等式组，解得即可.


19.【答案】 （1）奇函数 在 处有定义，所以 ，所以 ，
又 ，即 ，即 ，即 在定义域内恒成立，所以 ，得 或2：
当 时， ， 此时定义域不关于原点对称，故舍去，即 ，
综上 ， ；
（2） 在定义域 上单调递减，理由如下：
，定义域为 ，任取 ，
因为 ，则有 ，故 ，
，即 ， ，故 ，即 .所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递减.
【考点】函数的定义域及其求法，函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的性质，对数的运算性质
【解析】【分析】(1)根据题意由奇函数的定义结合对数的运算性质，计算出n的值然后再由对数的运算性质整理求出m的值，由此得出函数的解析式再由已知条件即可求出myun的值即可。
(2)首先求出函数的定义域，然后由导数的运算性质整理结合函数单调性的定义即可得证出结论。


20.【答案】 （1）当 时，该项目获利为 ，则
，
当 时， ，因此，该项目不会获利：
当 时， 取得最大值-5000，故当月处理量为300吨时可使亏损最小，为5000元；
（2）由题意知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
当 时， ，所以当 时， 取得最小值240，
当 时， ，
当且仅当 时等号成立，即 时， 取得最小值200，
∵
∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.
【考点】分段函数的应用
【解析】【分析】 (1)由已知条件即可确定当xE[200，300]时，该项目获利函数，再利用配方法，即可求得结论；
(2)根据题意首先确定二氧化碳的每吨的平均处理成本，由此即可求出函数的最值，由此即可求得结论.


21.【答案】 （1）因为 可知，令 ，
则 ，即 ，
解得： ；
（2）∵ 不为空集，且
⒈当 时，则 ，即 ，
解得： ；
⒉当 时， 也符合题意：
综上： .
【考点】集合的包含关系判断及应用，一元二次不等式的解法
【解析】【分析】 (1)由题意得到关于m的不等式组，求解不等式组确定实数m的取值范围即可；
(2)由题意分类讨论即可求得实数m的取值范围.


22.【答案】 （1）由 ，故此令 ，则 ，则 ；
（2）设x1 ， x2是R上任意两个实数，且x1＜x2 ， 则令m＝x2﹣x1 ， n＝x1 ，
则f（x2）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1，所以f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1，
由x1＜x2得x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＞1，故f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），
故此，函数 为 上增函数；
（3）由已知条件得： ，
故此 ，∵ ，∴ ，
∴ ，由（2）可知f（x）在R上为增函数，
∴ ，即 ，令 ，即 成立即可.
①当 时，即 ， 在 单调递增，∴ ，∴ ∴
②当 时，即 ， 在 先递减后递增，∴ ，
∴ ，解得 ，∴ .
综上，∴ .
【考点】函数单调性的判断与证明，函数的值，不等式
【解析】【分析】 (1)根据题意把x=3，x=4代入，再比较其大小即可；
(2)假设X10，×2＞0，再作差比较出结果即可.


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