第1章 勾股定理的应用 期中复习精选专题训练 2021-2022学年北师大版八年级数学上册（Word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理的应用》
期中复习精选专题训练（附答案）
1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
2．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
3．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（　　）
A．12m B．13m C．16m D．17m
4．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
5．如图一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
6．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣6＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2+62＝（10﹣x）2
7．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
8．如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　）
A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm
9．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
10．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为　 　．
11．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了　 　cm．
12．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行　 　米．
13．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 　 　米．
14．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有　 　cm．
15．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍　 　放入（填“能”或“不能”）．
16．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为　 　cm．
17．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是　 　．
18．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为　 　．
19．如图，一架长25m的云梯，斜靠在墙上，云梯底端在点A处离墙7米，如果云梯的底部在水平方向左滑动8米到点B处，那么云梯的顶端向下滑了　 　m．
20．如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行8海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行15海里，这时两轮船相距　 　海里．
21．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度＝　 　米．
22．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要　 　米．
23．如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是　 　m．
24．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
25．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
26．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．
27．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．
（1）这个云梯的底端离墙多远？
（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
28．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
29．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
参考答案
1．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+22＝6.25，
∴BD2＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝1.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．
故选：C．
2．解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
3．解：设旗杆高度为x，则AC＝AD＝x，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17，
即旗杆的高度为17米．
故选：D．
4．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
故选：D．
5．解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：＝13．
即a的取值范围是12≤a≤13．
故选：A．
6．解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．
故选：D．
7．解：如图，设大树高为AB＝10m，
小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，
在Rt△AEC中，AC＝10m，
故选：B．
8．解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，
运用勾股定理得：
BC2＝（15﹣3）2+（20﹣4）2＝122+162＝400，
所以BC＝20．
则剪去的直角三角形的斜边长为20cm．
故选：D．
9．解：∵AB＝2.5米，AC＝0.7米，
∴BC＝2.4（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴BE＝0.4米，
∴EC＝BC﹣0.4＝2米，
∴DC＝1.5米．
∴梯子的底部向外滑出AD＝1.5﹣0.7＝0.8（米）．
故选：D．
10．解：设AC＝x，
∵AC+AB＝10，
∴AB＝10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．
故答案为：x2+32＝（10﹣x）2．
11．解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
12．解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．
在Rt△BDE中，DE＝8米，BE＝8﹣2＝6米．
根据勾股定理得BD＝10米．
13．解：因为AB＝9米，AC＝12米，
根据勾股定理得BC＝15米，
于是折断前树的高度是15+9＝24米．
故答案为：24．
14．解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：＝15，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．
故答案为：5．
15．解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，
根据题意，得x2＝502+402+302＝5000，
702＝4900，
因为4900＜5000，所以能放进去．
故答案是：能．
16．解：设在杯里部分长为xcm，
则有：x2＝32+42，
解得：x＝5，
所以露在外面最短的长度为7cm﹣5cm＝2cm，
故吸管露出杯口外的最短长度是2cm，
故答案为：2．
17．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，
如图所示：此时，AB＝13cm，
故a＝24﹣13＝11cm．
所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm．
故答案是：11cm≤a≤12cm．
18．解：如图，连接BD，
∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，
根据勾股定理得，BD＝5，
在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，
∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AB AD+BC BD
＝×3×4+×12×5
＝36．
故答案为：36．
19．解：（1）由题意可得：AC＝25m，AO＝7m，
则OC＝＝24（m），
当云梯的底部在水平方向左滑动8米到点B处，则OB＝7+8＝15（m），
故OD＝＝20（m），
则CD＝（24﹣20）m＝4m．
答：云梯的顶端向下滑了4米，
故答案为：4．
20．解：由题意可得：AO＝8海里，BO＝15海里，∠AOB＝180°﹣25°﹣65°＝90°，
故AB＝17（海里），
答：两轮船相距17海里．
故答案为：17．
21．解：由题意，易知∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，AD＝3，CE⊥BE，DE＝AB＝1.7米，
∴CD＝3，
∴CE＝3+1.7＝4.7（米）．
即这棵树的高度为4.7米．
故答案为：4.7．
22．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝4，
∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是3+4＝7米．
故答案为7．
23．解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝10（米）．
所以大树的高度是10+6＝16（米）．
故答案为：16．
24．解：（1）由题意得：AC＝25米，BC＝7米，
AB＝24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：BA′＝20米，
BC′＝15（米），
则：CC′＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
25．解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，
＝＝36．
所以需费用36×200＝7200（元）．
26．解：设AB＝AB′＝x，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），
则AE＝AB﹣0.8，
在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，
∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2
解得：x＝4，
答：秋千AB的长为4m．
27．解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，
由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2
解得：OB＝20，
答：这个云梯的底端离墙20米远；
（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，
根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，
由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：OD=24，
∴BD＝24﹣20＝4米，
答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．
28．解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
29．解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：＝24米；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，
根据勾股定理得：252＝202+（7+CC）2
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米