第4章图形的相似 同步达标测评 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．已知，那么下列等式中不成立的是（　　）
A．4x＝3y B． C． D．
2．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．且AB＝3，AC＝8，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若＝，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
5．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE OP；③S△AOD＝S四边形OECF；其中正确结论的个数（　　）
A．1 B．3 C．2 D．0
6．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B．若△ABD的面积为30，则△ACD的面积为（　　）
A．10 B．12 C．15 D．30
7．平行四边形ABCD如图所示，E为AB上的一点，F、G分别为AC与DE、DB的交点．若AB：AE＝3：2，则四边形BGFE与 ABCD的面积之比为（　　）
A．7：60 B．8：70 C．5：43 D．3：26
8．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图所示，直线y＝x﹣1与x轴交于A，与y轴交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．已知＝＝≠0，则＝　 　．
12．若＝＝＝k成立，则k的值为 　 　．
13．如图：l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝4，CD＝2，CF＝3，则EG＝　 　．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则线段EF的长为 　 　．
15．如图，△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O为位似中心，若OA′＝A′A，则△A′B′C′与△ABC的面积比为 　 　．
16．如图，在菱形ABCD中，已知∠ABC＝60°，直线EF过点D，且与BA、BC的延长线分别交于点E、F，M是CE与AF的交点．若CM＝4，EM＝5，则AC＝　 　．
17．如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ABGH．则∠1+∠2＝　 　．
18．如图，AB∥CD∥EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC＝2，CE＝3，AF＝4，那么DF的长为 　 　．
19．如图，AB∥EF∥CD，点E在BC上，AC与BD交于点F，若AB＝2，CD＝3，则EF＝　 　．
20．如图，正方形ABCD中，点E为AB的中点，M、N分别为AD、BC上的点，若AM＝3，BN＝6，∠MEN＝90°，则MN的长为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．求证：AC CD＝CP BP．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求证：BD2＝BE BA．
23．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm．如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）是否存在某时刻t使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（2）如果BP＝PQ，求此时t的值．
24．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证：∠BEC＝2∠AGE；
（2）若＝，求的值．
25．如图1，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，且BC＝3CE，F为CD的中点，EF的延长线交AD于点G，连接BG．
（1）求的值；
（2）求证：BG＝EG；
（3）如图2，M为AB的中点，DM交BG于点N，连接CN，求证：CN∥GE．
26．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点G为边BC上一点，过点G作GE⊥AG，且GE＝2AG，GE交DC于点F，连接AE．
（1）求证：△ABG∽△GCF；
（2）连接CE，求证：∠DCE＝∠AEG；
（3）当点E正好在BD的延长线上时，求BG的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：A．∵，∴4x＝3y，正确，不符合题意；
B．∵，∴，错误，符合题意；
C．∵，∴，正确，不符合题意；
D．∵，∴，正确，不符合题意；
故选：B．
2．解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.，故不符合题意，
D.，故符合题意，
故选：D．
3．解：∵AB＝3，AC＝8，
∴BC＝AC﹣AB＝8﹣3＝5，
∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，
∴＝，
故选：C．
4．解：∵BN∥AM，＝，
∴＝，
∵DN∥CM，
∴＝＝，
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP，故结论①正确；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴＝，
∴AO2＝OD OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE OP；故结论②错误；
在△CQF与△BPE中，
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF＝S△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF；故结论③正确；
故选：C．
6．解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB＝4，AD＝2，
∴＝＝，
∴△ACD的面积＝10，
故选：A．
7．解：∵AB：AE＝3：2，
∴BE：AB＝1：3，
∴S△DBE＝S△ABD＝S ABCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AG＝GC，
∴△AEF∽△CDF，
∴，
∴设AF＝2a，CF＝3a，
∴AC＝5a，
∴AG＝CG＝a，
∴FG＝a，
∴AG＝5FG，
∴S△DFG＝S△ADG＝S ABCD，
∴S四边形BGFE＝S△DBE﹣S△DFG＝S ABCD，
∴四边形BGFE与 ABCD的面积之比为7：60，
故选：A．
8．解：∵△DAB∽△DCA，
∴＝，
∴＝，
解得：BD＝4（负值舍去），
∵△DAB∽△DCA，
∴，
∴AC＝，
∵AC2＝AB（AB+BC），
∴（AB）2＝AB（AB+BC），
∴AB＝4，
∴AB＝BD＝4，
过B作BH⊥AD于H，
∴AH＝AD＝3，
∴BH＝＝＝，
∵AD＝3AP，AD＝6，
∴AP＝2，
当PQ⊥AB时，PQ的值最小，
∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，
∴△APQ∽△ABH，
∴，
∴＝，
∴PQ＝，
故选：A．
9．解：由题意，两个矩形相似，
∴＝或＝，
解得x＝3或0（0不符合题意舍弃），
故选：A．
10．解：∵点C在第一象限，
∴当点C为直角顶点时，有两种情形，
当点A为直角顶点时，也有两种情形，共有4种情形．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：设＝＝＝k（k≠0），
则，
解得：a＝﹣k．b＝k，c＝k，
所以
＝
＝，
故答案为：．
12．解：当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，得k＝＝1：
当a+b+c＝0时，即a+b＝﹣c，则k＝＝﹣2．
故答案为：1或﹣2．
13．解：∵l1∥l2∥l3，
∴即，
∴CG＝1.5，FG＝3+1.5＝4.5，
∵，即，
解得x＝9．
∴EG＝9．
故答案为：9．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，
∴BD＝＝10，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，
∴△BOF∽△BCD，
∴＝，
∴＝，
解得，OF＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BO＝DO，EF⊥BD，
在△DEO和△BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴OE＝OF，
∴EF＝2OF＝．
故答案为：．
15．解：∵OA′＝A′A，
∴＝，
∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴△A′B′C′与△ABC的面积比＝（）2＝，
故答案为：1：4．
16．解：在菱形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，
∴△EAD∽△EBF．△FDC∽△EBF，
∴△EAD∽△FDC，
∴＝，
∵∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∴AD＝AC＝DC，
∴＝，
∵∠EAC＝∠ACF＝120°，
∴△EAC∽△ACF，
∴∠AEC＝∠CAF，
∵∠ACM＝∠ECA，
∴△ACM∽△ECA，
∴＝，
∴AC2＝CE CM＝9×4＝36，
∴AC＝6（负值舍去）．
故答案为：6．
17．解：设边长为a的三个正方形拼成一个矩形ABGH，
∴BD＝＝a，
∵DE＝a，DH＝2a，
∴＝，
∵∠BDH＝∠HDB，
∴△BDE∽△HDB，
∴∠2＝∠DBE，
∵∠ADB＝∠1+∠DBE＝45°，
∴∠1+∠2＝45°．
故答案为：45°．
18．解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝，
故答案为：．
19．解：∵AB∥EF，
∴△CEF∽△CBA，
∴＝，
同理可得：＝，
∴+＝+＝1，
∴+＝1，
解得：EF＝，
故答案为：．
20．解：∵点E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠MEN＝90°，
∴∠AEM+∠BEN＝90°＝∠AEM+∠AME，
∴∠AME＝∠BEN，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AEM∽△BNE，
∴，
∴AE BE＝AM BN＝18，
∴AE＝BE＝3，
∴ME2＝AM2+AE2＝27，EN2＝BE2+BN2＝54，
∴MN＝＝＝9，
故答案为：9．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠APD＝∠B，
∴∠APD＝∠B＝∠C．
∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC，
∴∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴＝，
∴AB CD＝CP BP．
∵AB＝AC，
∴AC CD＝CP BP．
22．解：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝36°，
∴∠C＝54°，
又∵AD是中线，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠C＝∠CAD＝54°，
∴∠ADC＝72°，
由折叠性质可得，
∠ADC＝∠ADF＝72°，
∴∠BDE＝36°；
（2）∵∠CAD＝54°，∠CAB＝90°，
∴∠DAB＝36°＝∠BDE，
又∵∠B＝∠B，
∴△ADB∽△DEB，
∴，
∴BD2＝BE BA．
23．解：（1）不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，理由如下：
如图，过点P作PD⊥AC于点D，
∴PD∥BC，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵AB＝10cm，AC＝8cm．
∴BC＝6cm，
假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△APQ＝S△ABC，
∵S△ABC＝AC BC＝8×6＝24（cm2），
∴S△APQ＝12（cm2），
∵PD∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝，
∴S△APQ＝2t×＝﹣t2+6t，
∴﹣t2+6t＝12，
化简得t2﹣5t+10＝0，
∵△＝（﹣5）2﹣4×1×10＝﹣15＜0，
∴此方程无实数根，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；
（2）∵PD∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝，
∵PD＝，PQ＝BP＝2t，
∴QD＝AD﹣AQ＝﹣2t＝，
在Rt△PQD中，根据勾股定理，得
QD2+PD2＝PQ2，
∴（）2+（）2＝（2t）2，
化简，得13t2﹣90t+125＝0，
解得t1＝5，t2＝，
∵t＝5＞4，不符合题意，舍去，
∴t＝s．
24．（1）证明：∵∠AGE＝∠CGD，AD⊥BC，即∠GDC＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠CGD＝90°﹣∠AGE，
∵BE＝CE，
∴∠B＝∠ECB＝90°﹣∠CGD＝90°﹣∠AGE，
∴∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠ECB＝180°﹣2（90°﹣∠AGE）＝2∠AGE，
∴∠BEC＝2∠AGE；
（2）如图，过点E作EF⊥BC交于点F，
由（1）知∠BEC＝2∠AGE，则∠BEC＝∠AGE+∠EAG，
∴∠AGE＝∠EAG，则AE＝EG，
∵∠EFC＝∠GDC，∠FCE＝∠DCG，
∴△EFC∽△GDC，
∵，BE＝BC，
∴，，
∵，
∴，
∵∠ABC＝∠EBC，∠EFB＝∠ADB＝90°，
∴△BEF∽△BAD，
∴，
∵，
∴，
∵AD＝，GD＝EF，
∴AG＝EF，
∴＝4．
25．解：（1）∵F为CD的中点，
∴DF＝CF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠GDF＝∠ECF＝90°．
又∵∠DFG＝∠CFE．
∴△GDF≌△ECF（ASA），
∴DG＝CE．
∵BC＝3CE，
∴CE＝BC＝DG，
∴AG＝AD﹣DG＝BC﹣CE＝BC﹣BC＝BC，
∴＝＝2；
（2）过点G作GH⊥BC于H，
∴CH＝DG＝CE＝BC，
∴EH＝CH+CE＝BC，
在△ABG和△HGE中，
，
∴△ABG≌△HGE（SAS），
∴BG＝EG；
（3）过点M作MT∥AD交BG于T，
∵M为AB的中点，
∴MT＝AG＝DG，
∵AD∥MT，
∴∠NMT＝∠NDG，
在△MNT和△DNG中，
，
∴△MNT≌△DNG（AAS），
∴NT＝NG，
∴BG＝4NG，
∴＝，
∵BC＝3CE，
∴＝，
∴＝，
∵∠CBN＝∠EBG，
∴△CBN∽△EBG，
∴∠BCN＝∠BEG，
∴CN∥EG．
26．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵GE⊥AG，
∴∠AGB+∠CGF＝90°，
∴∠BAG+∠AGB＝90°，
∴∠BAG＝∠CGF，
∴△ABG∽△GCF；
（2）如图所示，连接AC，交GE于M点，
∵GE＝2AG，BC＝2AB，
∴＝，
又∵∠AGE＝∠B＝90°，
∴△AGE∽△ABC，
∴∠AEG＝∠ACB，
∵∠AME＝∠GMC，
∴△AME∽△GMC，
∴＝，
又∵∠AMG＝∠EMC，
∴△AMG∽△EMC，
∴∠AGM＝∠ECM＝90°，
即：∠BCD＝∠ECM＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠AEG＝∠DCE；
（3）如图，作EH⊥BC的延长线于H点，设BG＝x，
∵△ABG∽△GHE，GE＝2AG，
∴EH＝2BG＝2x，GH＝2AB＝4，
则BH＝BG+GH＝4+x，
∵△DCB∽△EHB，
∴＝＝，
∴＝，
解得：x＝，
经检验，x＝是原分式方程的解，
∴BG的长为．