椭圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解椭圆的实际背景 数学抽象
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程 直观想象
“神舟”十一号飞船于北京时间2016年10月19日凌晨与“天宫二号”成功实施自动交会对接．这是一个非常复杂的过程，包含一系列的步骤，要让两个8吨多的“大家伙”在每秒7.9公里左右的飞行速度下完美对接在一起，这个过程仿佛就是在太空中穿针引线．“合体”后，航天员将进驻“天宫二号”，开展空间科学实验．请观察这两个“大家伙”的运行轨道是一个什么图形．
[问题] (1)两个“大家伙”的运行轨迹是什么？
(2)椭圆上的任意一点有什么特征？
知识点一 椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
定义中，将“大于F1F2”改为“等于F1F2”或“小于F1F2”的常数，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？
提示：不是．
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图 形
焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
椭圆标准方程的特征
(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上；
(2)代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值．
1．若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(1，0)，则实数m的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．6
答案：C
2．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
答案：D
3．若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为________________．
答案：＋＝1或＋＝1
椭圆的定义及其应用
[例1] (1)椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________；
(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为________．
[解析] (1)A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.
又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|，
所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.
故△ABF2的周长为4×5＝20.
(2)由＋＝1，知a＝4，b＝3，c＝，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝，
∴∠F1PF2＝60°.
[答案] (1)20 (2)60°
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a；
(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
[跟踪训练]
1.如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆的标准方程为____________．
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，则由已知得c＝1，|F1F2|＝2，所以4＝|PF1|＋|PF2|＝2a，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2.如图所示，P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
解：由已知a＝2，b＝，得c＝＝＝1.
∴|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 60°.∴4＝16－3|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|＝4.∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝×4×＝.
求椭圆的标准方程
[例2] (链接教科书第77页例1，例2)求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P到两个焦点的距离的和等于10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3)．
[解] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝6＋＋6－＝12，解得a＝6.
又c＝2，所以b＝＝4.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：因为所求椭圆过点(4，3)，所以＋＝1.
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[跟踪训练]
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解：(1)法一(分类讨论法)：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得
则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二(待定系数法)：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
＋＝1.
与椭圆有关的轨迹方程问题
[例3] 已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[解] 以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8可知点B(－4，0)，C(4，0)．
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|，
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．
由a＝5，c＝4，
得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以动点A的轨迹方程是＋＝1(x≠±5)．
解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0；
(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可；
(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
[跟踪训练]
如图所示，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．
解：由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，
∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，
即|CM|＋|MA|＝5>2.
∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1，0)，
A(1，0)，则a＝，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝－1＝.
∴点M的轨迹方程为＋＝1，即＋＝1.
直线与椭圆的公共点问题
[例4] (链接教科书第78页例4)如图，求直线l：y＝－x＋1与椭圆C：＋y2＝1的公共点坐标．
[解] 直线l与椭圆C的公共点坐标就是方程组的解．
方程组可化为
将①代入②，得x2＋3(－x＋1)2＝3，
化简，得2x2－3x＝0.
解得，x1＝0，x2＝.
代入①，得方程组的解为
所以直线l与椭圆C的公共点的坐标为(0，1)，.
[母题探究]
(变设问)本例中条件不变，若仅需要判断直线l与椭圆C的交点个数，在不求出交点坐标的情况下，如何判断？理由是什么？
解：由消去y整理得2x2－3x＝0.
因为Δ＝(－3)2－4×2×0＝9>0，
所以方程2x2－3x＝0有两个不相等的实数根，
即方程组有两组不相同的实数解，
故直线y＝－x＋1与椭圆＋y2＝1有两个公共点．
求直线与椭圆公共点坐标的方法
联立直线与椭圆的方程，组成方程组，该方程组的解对应的实数对(x，y)即为直线与椭圆的公共点的坐标．
[跟踪训练]
已知椭圆C：＋y2＝1，直线l：x－y＋＝0，判断直线l与椭圆公共点个数，并求出公共点的坐标．
解：由得3x2＋4x＋4＝0.
即(x＋2)2＝0，
所以
所以直线l与椭圆有一个公共点且公共点坐标为.
1．椭圆＋＝1的焦点坐标是( )
A．(±5，0) B．(0，±5)
C．(0，±12) D．(±12，0)
解析：选C ∵c2＝a2－b2＝169－25＝122，∴c＝12.
又椭圆的焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，±12)．
2．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C 设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，令x＝c，得y＝±.由|AB|＝3，得＝3.又a2－b2＝c2＝1，联立解得a2＝4，b2＝3.所以椭圆C的方程为＋＝1.
3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1)；
(2)椭圆的焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，点P到离它较近的一个焦点的距离等于2.
解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵椭圆经过点(2，0)和点(0，1)，∴解得
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵点P(0，－10)在椭圆上，
∴＝1，∴a2＝100.
∵点P到离它较近的一个焦点的距离为2，
∴－c－(－10)＝2，
∴c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
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9第二课时 椭圆的方程及性质的应用(习题课)
新课程标准解读 核心素养
1.巩固椭圆的简单几何性质及应用 数学建模
2.会判断直线与椭圆的公共点个数 逻辑推理
直线与椭圆公共点个数的判断
[例1] 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解] 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③
关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3于是，当－3(2)由Δ＝0，得m＝±3.
也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，得m<－3或m>3.
从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
1．直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
2．判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0 直线与椭圆相交；
Δ＝0 直线与椭圆相切；
Δ<0 直线与椭圆相离．
[跟踪训练]
若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
解析：选B 因为直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，所以＞2，所以m2＋n2＜4.所以＋＜＋＝1－m2≤1，所以点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，所以过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个.
椭圆的实际应用问题
[例2] (链接教科书第84页例2)酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200 km，远地点(离地面最远的点)高度约350 km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6 371 km)，求卫星运行的轨道方程．(注：地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地心共线)
[解] 如图，设地心为椭圆轨道右焦点F2，近地点、远地点分别为A2，A1，以直线A1A2为x轴，线段A1A2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则F2，A1，A2三点都在x轴上，
|F2A2|＝a－c＝200＋6 371，
|A1F2|＝a＋c＝350＋6 371，
所以a＝6 646，c＝75，
从而b2＝a2－c2＝6 6462－752＝44 163 691.
所以卫星运行的轨道方程为
＋＝1.
解决椭圆的实际问题的基本步骤
(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；
(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；
(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．
[跟踪训练]
神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )
A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2R
C．d2＋d1－2R D．d1＋d2
解析：选D 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.
与椭圆有关的综合问题
[例3] 在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
[解] 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，
代入＋＝1，
消去y并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
由Δ＝9m2－16(m2－7)＝0得m2＝16，
∴m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，显然y＝x－4即3x－2y－8＝0距l最近，
它们之间的距离即为所求最短距离，且y＝x－4与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离为d＝＝＝.
由得
即P.
本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题．此类问题的常规解法是将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解．
[跟踪训练]
已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
解：设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
由消去x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
它们之间的距离即为所求最短距离，且x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.故所求最短距离为d＝＝.
由得
即P.
1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16m2－4m2－12m
＝12m2－12m>0，
解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
答案：(1，3)∪(3，＋∞)
2．若直线y＝x＋1和椭圆＋＝1交于A，B两点，则线段AB的长为________．
解析：由消去y得3x2＋4x－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2＝－，x1＋x2＝－，
所以|AB|＝＝·
＝× ＝.
答案：
3．已知椭圆C：＋y2＝1，若直线l：x－y＋m＝0与椭圆C有唯一的公共点，求实数m的值．
解：如图，由直线l的方程特征可知，随着m的变化，直线l平行移动，若与椭圆C有唯一的公共点，则直线方程和椭圆方程应有唯一的公共解．
联立直线与椭圆的方程，得
化简可得
将②代入①，并整理，得
3x2＋4mx＋2m2－2＝0. ③
因为方程③是一元二次方程，所以它有唯一的实数解的充要条件是Δ＝16m2－24(m2－1)＝0，
解得m＝－或m＝.
所以当直线l与椭圆C有唯一的公共点时，实数m的值为－或.
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5第一课时 椭圆的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握椭圆的简单几何性质 直观想象
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想 数学运算
“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现．
[问题] 你知道椭圆有什么样的性质吗？
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0),_ B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a),_ B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 长轴长＝，短轴长＝
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝
对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)
离心率 e＝(01．能用a，b表示椭圆离心率e吗？
提示：能．e＝ .
2．椭圆的离心率e越小，椭圆越圆吗？
提示：越圆．
3．已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2，怎样确定椭圆焦点的位置？
提示：方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5，3， B．10，6，
C．5，3， D．10，6，
答案：B
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵e＝＝＝，∴8a2＝9b2，
∴＝.故选D.
3．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m＝________．
解析：由椭圆＋＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得＝2，解得m＝9.
答案：9
由标准方程研究几何性质
[例1] (链接教科书第83页例1)求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
[解] 把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝9，b＝3，c＝＝6，
所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.
两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9，0)，A2(9，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)．
由椭圆方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式；
(2)确定焦点位置；
(3)求出a，b，c；
(4)写出椭圆的几何性质．
[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
[跟踪训练]
已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；
④焦点：(0，6)，(0，－6)；
⑤离心率：e＝.
利用几何性质求标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[解] (1)设椭圆的方程为
＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝10，a＝5.
又∵e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
[跟踪训练]
已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．
解：若椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．由题意得解得
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，则设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
求椭圆的离心率
[例3] (1)椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是________；
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
[解析] (1)如图，设点F(c，0)，由△OAF是等边三角形，得A，∵点A在椭圆上，∴有＋＝1， ①
在椭圆中有a2＝b2＋c2， ②
联立①②，得c2＝(4－2)a2，即c＝(－1)a，则其离心率e＝＝－1.
(2)如图，连接F1N，
∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N，
∵|NF2|＝|OF2|＝c，
∴|NF1|＝＝＝c，
由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，∴a＝，
∴e＝＝＝－1.
[答案] (1)－1 (2)－1
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解；
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
[跟踪训练]
1．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 依题意得＝，∴c＝2b，∴a＝＝b，∴e＝＝＝.故选D.
2．若一个椭圆长轴的长度与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意可得4b＝2a＋2c，两边平方化简得4b2＝(a＋c)2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，3a2－2ac－5c2＝0，5e2＋2e－3＝0，解得e＝(负值舍去)．
1．椭圆＋＝1的长轴长为( )
A．2 B．4
C．3 D．6
解析：选D 由椭圆方程知焦点在y轴上，故长轴长为2a＝6.故选D.
2.如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵x－2y＋2＝0，∴y＝x＋1，从而＝，即 ＝，∴＝，e＝＝.
3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
解析：选C 依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝，即a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆的方程是＋＝1.
4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6.
(1)求这个椭圆的离心率；
(2)求这个椭圆的标准方程．
解：由题意知2a＋2b＝18，且2c＝6.
又a2＝b2＋c2，所以a＝5，b＝4，c＝3.
(1)离心率e＝＝.
(2)椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
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7第二课时 双曲线的定义与标准方程的应用(习题课)
新课程标准解读 核心素养
1.会求直线与双曲线的公共点坐标 数学运算
2.掌握双曲线标准方程在实际生活中的应用 数学建模
双曲线标准方程的实际应用
[例1] (链接教科书第91页例3)A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远．因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．
[解] 如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3，0)，A(3，0)，C(－5，2)．因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．设敌炮阵地的坐标为(x，y)，BC的中点为D.因为kBC＝－，D(－4，)，所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)．①
又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且方程为－＝1(x≥2)．②
联立①②，解得x＝8，y＝5，所以P点的坐标为(8，5)．
因此kPA＝＝.
故炮击的方向角为北偏东30°.
双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．
[跟踪训练]
某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴
建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50(m)，这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.
在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|·cos 60°＝17 500，
从而c2＝＝4 375，b2＝3 750，
故所求分界线的方程为－＝1(x≥25)．
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工.
直线与双曲线的公共点问题
[例2] (链接教科书第91页例4)判断直线l：y＝x＋1与双曲线C：x2－y2＝1是否有公共点．如果有，求出公共点的坐标．
[解] 联立直线与双曲线的方程，可得方程组消去y，可得x2－(x＋1)2＝1，由此可解得x＝－1.此时，y＝0.因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为(－1，0)．
求直线与双曲线公共点的坐标的方法
联立直线与双曲线的方程组成方程组，若方程组有两组解则直线与双曲线有两个公共点，则公共点的坐标即为方程组的解；若方程组有一组解则直线与双曲线有一个公共点，则公共点坐标即为方程组的解；若方程组无解则直线与双曲线无公共点．
[跟踪训练]
已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围：
(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
解：联立消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
(1)由得－＜k＜且k≠±1，
此时方程(*)有两个不同的实数解，
即直线l与双曲线有两个不同的公共点．
(2)由得k＝±，
此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，方程(*)化为2x＝5，
故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点．
故当k＝±或±1时，
直线l与双曲线有且只有一个公共点．
(3)由得k＜－或k＞，此时方程(*)无实数解，即直线l与双曲线无公共点.
与双曲线有关的最值问题
[例3] 已知双曲线的方程为x2－＝1，如图所示，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
[解] 设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，如图所示，连接MD，BD，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.
∴|MA|＋|MB|＝|MA|－|MD|＋|MB|＋|MD|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|.
又点B是圆x2＋＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径长为1，
故|BD|≥|CD|－1＝－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，
当且仅当点M，B在线段CD上时取等号，故|MA|＋|MB|的最小值为＋1.
与双曲线有关的最值问题的结论
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q(x0，y0)为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点．
(1)若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF2|，最大值不存在；
(2)若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF1|－2a，最大值不存在．
[跟踪训练]
已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )
A.＋4 B.－4
C.－2 D.＋2
解析：选C 由双曲线的定义，得|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0，当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝＝.故|AP|＋|AF2|的最小值为－2.故选C.
椭圆、双曲线的特性归纳及应用
(1)(链接教科书第81页习题13题)已知点A，B的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程．
(2)(链接教科书第93页习题5题)在△ABC中，B(－6，0)，C(6，0)，直线AB，AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹．
[问题探究]
由上述两道教科书习题可知，(1)设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，当k1·k2＝－时，动点的轨迹是以A，B为焦点，除去与x轴交点的椭圆＋＝1(x≠±2)；
(2)当k1·k2＝时，动点的轨迹是以B，C为焦点，除去与x轴交点的双曲线－＝1(x≠±6)．
结论：已知点A(a，0)，B(－a，0)，过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
(1)当k1·k2＝时，点M的轨迹方程为双曲线－＝1(x≠±a，a＞0，b＞0)；
(2)当k1·k2＝－时，点M的轨迹方程为椭圆＋＝1(x≠±a，a＞b＞0)．
[迁移应用]
1．(2019·全国卷Ⅱ节选)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－，记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线．
解：由上述探究的结论可知k1·k2＝－＝－.
又∵a2＝4，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1(x≠±2)．
即曲线C为焦点在x轴上且不包含长轴端点的椭圆．
2.如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(＋1)，双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,b)＝1的顶点是该椭圆的焦点，且a1＝b1，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，设直线PF1和PF2的直线斜率分别为k1，k2.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)证明k1·k2＝1.
解：(1)由题意知，椭圆的离心率为e＝＝，则a＝c，
又∵2a＋2c＝4(＋1)，解得a＝2，c＝2.
∴b2＝a2－c2＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1，椭圆的焦点坐标为(±2，0)．
∵双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,b)＝1中a1＝b1，且顶点是该椭圆的焦点，
∴该双曲线的标准方程为－＝1.
(2)证明：设点P(x0，y0)，则k1＝，k2＝.
∴k1·k2＝×＝eq \f(y,x－4)，
又∵点P(x0，y0)在双曲线上，
∴eq \f(x,4)－eq \f(y,4)＝1，即y＝x－4，
∴k1·k2＝1.
1．相距4k米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速为每秒k米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是( )
A．圆 B．双曲线
C．椭圆 D．直线
解析：选B 由已知条件可得||PA|－|PB||＝2k＜4k＝|AB|，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上．故选B.
2．直线3x－4y＝0与双曲线－＝1的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A 联立直线3x－4y＝0与双曲线－＝1的方程，得方程组无解，
说明直线与双曲线没有交点．
3．如果直线y＝kx－1与双曲线－y2＝1没有公共点，求实数k的取值范围．
解：由得(1－2k2)x2＋4kx－4＝0，因为直线与双曲线无公共点，所以方程(1－2k2)x2＋4kx－4＝0无解，故Δ＝16k2＋16(1－2k2)＜0，解得k＞1或k＜－1.
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6第一课时 双曲线的定义与标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 直观想象
如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支．
[问题] 类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？
知识点一 双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
定义中“小于F1F2的正数”这一条件去掉，动点的轨迹还是双曲线吗？
提示：不一定是．
知识点二 双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝c2－a2
双曲线焦点位置与方程的关系
焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程－＝1表示双曲线．( )
(2)双曲线两焦点之间的距离称为焦距．( )
(3)若焦点在x轴上的双曲线方程为－＝1，则a2＞b2.( )
(4)双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为( )
A．(－，0)，(，0) B．(－5，0)，(5，0)
C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－)，(0，)
答案：B
3．双曲线的两焦点坐标是F1(0，3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．
答案：－＝1
双曲线定义的应用
[例1] 如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[解] 双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义得＝2a＝6，
又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，
假设点P到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点P到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
[母题探究]
1．(变条件，变设问)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离．
解：由双曲线的标准方程－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
∴|10－|PF2||＝6，
解得|PF2|＝4或|PF2|＝16.
2．(变条件)若本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”其他条件不变，求△F1PF2的面积．
解：由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，
∴S△F1PF2＝×4×4＝8.
3．(变条件)若本例中双曲线的标准方程不变，若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝64，
则S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16.
在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．
[跟踪训练]
1．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9
C．5 D．3
解析：选B 由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.
2．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8
C．24 D．48
解析：选C 由题意，得
解得又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝·|PF1|·|PF2|＝24.故选C.
求双曲线的标准方程
[例2] (链接教科书第90页例2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[解] (1)当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20. ①
∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，故双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
故双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
故双曲线的标准方程为－＝1.
1．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式；
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
2．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程；
(2)待定系数法：
[跟踪训练]
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4；
(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)．
解：(1)由题设知，a＝3，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝42－32＝7.
故双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．
因为点A(－5，6)在双曲线上，所以
2a＝|－|
＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是－＝1.
双曲线标准方程的应用
[例3] 若方程＋＝3表示双曲线，求实数m的取值范围．
[解] 由方程＋＝3表示双曲线，得或即或解得m<－2或1[母题探究]
(变条件)本例中的条件“表示双曲线”若换为“表示椭圆”，其他条件不变结论又如何呢？
解：若方程＋＝3表示椭圆，
则即m>2且m≠.
双曲线方程的辨识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．
[跟踪训练]
1．已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于( )
A. B．5
C．7 D.
解析：选D 根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆
解析：选C 方程mx2－my2＝n可化为－＝1.由mn<0知<0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
1．双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )
A．(－，0)，(，0) B．(－2，0)，(2，0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0，2)
解析：选B 由双曲线的标准方程得，其焦点在x轴上，且a2＝3，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，c＝2，所以焦点坐标为(±2，0)，故选B.
2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这个曲线是( )
A．双曲线，焦点在x轴上
B．双曲线，焦点在y轴上
C．椭圆，焦点在x轴上
D．椭圆，焦点在y轴上
解析：选B 原方程可化为＋y2＝1，因为ab<0，所以<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.
3．已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线左支
C．一条射线 D．双曲线右支
解析：选C 因为|PM|－|PN|＝4＝|MN|，所以动点P的轨迹是一条射线．故选C.
4．求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．
解：由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)，
∵A(4，－5)在双曲线上，
∴2a＝||AF1|－|AF2||＝|－|＝2，
∴a＝，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.
故双曲线的标准方程为－＝1.
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8双曲线的几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质 直观想象、数学抽象
2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用 直观想象、数学运算
凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．
[问题] 你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质呢？
知识点 双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；实半轴长：，虚半轴长：
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
1．等轴双曲线
(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为－＝1或－＝1(a＞0)；
(2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝.
2．共轭双曲线的性质
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：
(1)有相同的渐近线；
(2)有相同的焦距；
(3)离心率不同，但两离心率倒数的平方和等于常数1.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)共渐近线的双曲线的离心率相同．( )
(2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．( )
(3)双曲线－＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．双曲线－y2＝1的顶点坐标是( )
A．(4，0)，(0，1) B．(－4，0)，(4，0)
C．(0，1)，(0，－1) D．(－4，0)，(0，－1)
答案：B
3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
答案：B
4．双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________．
答案：5
双曲线的几何性质
[例1] (链接教科书第97页例1)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[解] 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
[注意] 求性质时一定要注意焦点的位置．
[跟踪训练]
1．已知双曲线－＝1与－＝1，下列说法正确的是( )
A．两个双曲线有公共顶点
B．两个双曲线有公共焦点
C．两个双曲线有公共渐近线
D．两个双曲线的离心率相等
解析：选C 双曲线－＝1的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线－＝1的焦点和顶点都在y轴上，因此可排除选项A、B；双曲线－＝1的离心率e1＝＝，而双曲线－＝1的离心率e2＝＝，因此可排除选项D；易得C正确．
2．求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程．
解：把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
由双曲线的几何性质求标准方程
[例2] (链接教科书第98页例2)(1)以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D．以上都不对
(2)过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________．
[解析] (1)当顶点为(±4，0)时，a＝4，c＝8，b＝4，双曲线方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3，双曲线方程为－＝1.故选C.
(2)法一：当焦点在x轴上时，由于＝.
故可设方程为－＝1，
代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)；
当焦点在y轴上时，可知＝，
故可设方程为－＝1，
代入点(2，－2)得a2＝2.
所以所求双曲线方程为－＝1.
法二：因为所求双曲线与已知双曲线－y2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
代入点(2，－2)得λ＝－2，
所以所求双曲线的方程为－y2＝－2，
即－＝1.
[答案] (1)C (2)－＝1
求双曲线的标准方程的方法与技巧
(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴．若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得，再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程；
(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
[跟踪训练]
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5，3)；
(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2.
又∵焦点在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为－＝1(a>0)．
把点(－5，3)代入方程，解得a2＝16.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为
－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6 λ＝.
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6 λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
双曲线的离心率
[例3] (1)若以双曲线－＝1(a＞0)的左、右焦点和点(2，)为顶点的三角形为直角三角形，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
(2)已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
(1)[解析] 由题意得点(2，)为该直角三角形的直角顶点，双曲线的左、右焦点分别为(－c，0)，(c，0)，则有·＝－1，解得c2＝6，所以a2＝c2－4＝2，因此e＝＝.
[答案] B
(2)[解] 设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
所以＝2c，所以b2＝2ac，
所以c2－2ac－a2＝0，
所以－2×－1＝0，
即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，
所以双曲线的离心率为1＋.
求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解；
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．
[跟踪训练]
如图所示，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
解析：连接AF1(图略)，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝c，∴2a＝(－1)c，从而双曲线的离心率e＝＝1＋.
答案：1＋
1．双曲线－＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选C ∵双曲线的方程为－＝1，∴其渐近线方程为y＝±x，故选C.
2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.
3．求双曲线4y2－9x2＝－4的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图．
解：将双曲线方程化成标准方程－＝1，可知实半轴长a＝＝，虚半轴长b＝＝1.于是有c＝
＝＝，所以焦点坐标为，，离心率为e＝＝，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
为画出双曲线的草图，首先在坐标系中画出渐近线y＝±x，顶点，，结合两渐近线可画出第一、四象限的曲线，再根据对称性可得该双曲线的草图，如图所示．
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7抛物线的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 直观想象
如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线．
[问题] 上图是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？
知识点一 抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
在抛物线定义中，若去掉条件“F不在l上”，点的轨迹还是抛物线吗？
提示：不一定是．
知识点二 抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向
y2＝2px(p>0) x＝－ 向右
y2＝－2px(p>0) x＝ 向左
x2＝2py(p>0) y＝－ 向上
x2＝－2py(p>0) y＝ 向下
标准方程的特点
焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0，1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0)
D．开口向右，焦点为
答案：B
2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为( )
A．(8，8) B．(8，－8)
C．(8，±8) D．(－8，±8)
答案：C
3．已知动点P到定点(0，2)的距离和它到直线l：y＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．
答案：x2＝8y
抛物线的标准方程
[例1] (链接教科书第103页例1，例2)求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程：
(1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在x轴的正半轴上；
(2)抛物线的焦点是F(－3，0)．
[解] (1)根据题意可知，抛物线的标准方程具有y2＝2px的形式，而且p＝3，因此所求标准方程为y2＝6x.
准线方程为x＝－.
(2)因为抛物线的焦点坐标是(－3，0)，所以抛物线的标准方程具有y2＝－2px的形式，而且＝3，因此p＝6，从而所求抛物线的标准方程是y2＝－12x.
准线方程为x＝3.
求抛物线的标准方程的方法
定义法 根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程
[注意] 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
[跟踪训练]
1．抛物线2y2－5x＝0的焦点坐标为________，准线方程为________．
解析：将2y2－5x＝0变形为y2＝x，
∴2p＝，p＝，
∴焦点坐标为，
准线方程为x＝－.
答案： x＝－
2．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3)．
由抛物线的定义得|AF|＝＝5，
又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
抛物线定义的应用
[例2] (1)设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
(1)[解析] 抛物线C的准线方程为x＝－1，设抛物线C的焦点为F，由抛物线的定义知，|PF|＝d(d为点P到抛物线C的准线的距离)，又d＝4＋1＝5，所以|PF|＝5.
[答案] B
(2)[解] 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，
所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，
其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，
而＝，所以p＝1，2p＝2，
故点M的轨迹方程为y2＝2x.
[母题探究]
1．(变设问)若本例(2)中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．
解：设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2.又点M的轨迹方程为y2＝2x，所以由抛物线的定义得x0＋＝2，解得x0＝.因为y＝2x0，所以y0＝±，故点N的坐标为或.
2．(变设问)若本例(2)中增加一点A(3，2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．
解：由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋＝.当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2.可设M(xM，2)，代入抛物线方程得xM＝2，即M(2，2)．
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题；
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
圆锥曲线的共同特征
比较本章所学的三种圆锥曲线，可以发现，椭圆和双曲线在定义上非常相似，它们都有两个焦点，在对称性上，它们都是中心对称曲线，都有两条对称轴；但是同为圆锥曲线的抛物线，仅有一个焦点，不论在定义上还是在对称性上，抛物线和椭圆、双曲线都相差较大．既然椭圆、双曲线和抛物线本是同根生，都可以用平面截对顶圆锥面而得到，三者理应存在某些共同的性质，那么这种共同性质究竟是什么呢？
[问题探究]
1．椭圆上的点P(x，y)到定点F(c，0)的距离与它到定直线l：x＝的距离之比是否为定值？
提示：是定值，证明如下：
如图，设点P(x，y)为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)上任意一点，右焦点F(c，0)．
因为y2＝b2－，
所以|PF|＝＝.
由a2＝b2＋c2，可得|PF|＝＝＝.①
即|PF|＝，＝＝e.
这就是说椭圆上任意一点到定点F(c，0)的距离与它到定直线l：x＝的距离之比是定值e.
2．双曲线上的点P(x，y)到定点F(c，0)的距离与它到定直线l：x＝的距离之比是否为定值？
提示：是定值，证明如下：
如图，设点P(x，y)为双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)上的任意一点，右焦点F(c，0)．
因为y2＝－b2，
所以|PF|＝＝.
由c2＝a2＋b2，可得|PF|＝＝＝＝.
即＝＝e.
这就是说双曲线上任意一点P(x，y)到定点F(c，0)的距离与它到定直线l：x＝的距离之比是定值e.
由抛物线的定义知，抛物线上的点P(x，y)到定点F的距离与它到定直线x＝－的距离之比为定值1.
通过上述分析，可以得到上述三种圆锥曲线的一个共同特征：
椭圆、双曲线和抛物线上任意一点到焦点F的距离与到定直线的距离之比为常数e.当01时，曲线是双曲线．
因此，可以得到圆锥曲线的一个统一定义：
平面内到定点F的距离与到定直线l(F l)的距离之比为常数e(e>0)的动点的轨迹是圆锥曲线．其中，定点F为圆锥曲线的焦点，常数e是圆锥曲线的离心率，定直线l为圆锥曲线的准线．
[迁移应用]
(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明∠OMA＝∠OMB.
解：(1)由已知得F(1，0)，直线l的方程为x＝1，点A的坐标为或，又M(2，0)，所以AM的方程为y＝－ x＋或y＝x－.
(2)证明：由＋y2＝1结合圆锥曲线的统一定义可知，M点为椭圆的右准线x＝2与x轴的交点，如图所示．当直线l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，
当l与x轴不重合时，过点A，B分别作x＝2的垂线，垂足分别是C，D，则有AC∥BD∥x轴．
由结论可知＝e，＝e，∴＝即＝，
又∵AC∥BD∥x轴，∴＝，∴＝，且∠ACM＝∠BDM＝90°，
∴△ACM∽△BDM，可得∠AMC＝∠BMD，
∴∠OMA＝∠OMB.
1．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．x2＝y
C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定
解析：选C 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，将(2，4)代入可得p＝4或p＝，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y，故选C.
2．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为________．
解析：因为准线方程为x＝－2＝－，即p＝4，所以焦点为(2，0)．
答案：(2，0)
3．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，且点M到焦点的距离为10，求点M的坐标．
解：由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.设点M的纵坐标为y0，由点M(－9，y0)在抛物线上，得y0＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6)．
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7第二课时 抛物线的标准方程与几何性质的应用(习题课)
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的简单应用 逻辑推理
2.运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题 数学运算
抛物线标准方程的实际应用
[例1] (链接教科书第106页例2)某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，
y＝－×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
求抛物线实际应用的五个步骤
[跟踪训练]
如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m.
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2 m.
答案：2
焦点弦问题
[例2] 过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．
[解] 由于抛物线的焦点F，
故可设直线AB的方程为x＝my＋.
由得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，
∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)；
(4)＋＝；
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
[跟踪训练]
已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p. ①
由消去y，得＝2px，即x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.
当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.
直线与抛物线的公共点问题
[例3] 已知直线l：y＝x＋与抛物线C：x2＝－8y，判断直线l与抛物线C是否有公共点？若有求出公共点坐标并求出弦长；若没有请说明理由．
[解] 由得x2＝－8，
即x2＋8x＋12＝0，
解得x1＝－2，x2＝－6，
所以y1＝－2＋＝－，y2＝－6＋＝－.
所以直线l与抛物线C有公共点，且公共点坐标为A，B.
∴|AB|＝ ＝4.
直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数；
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．
[跟踪训练]
1．若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.
证明：由消去y，得x2－12x＋16＝0.
∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，
∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.
∵·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)·(x2－4)＝
x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，
∴⊥，即OA⊥OB.
2．过点(－3，2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．
解：显然直线斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)，由消去x，整理得
ky2－4y＋8＋12k＝0.①
(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，
此时过(－3，2)的直线方程为y＝2，满足条件．
(2)当k≠0时，方程①应有两个相等实根．
由即得k＝或k＝－1.
所以直线方程为y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，
即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.
故所求直线有三条，其方程分别为：y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.
1．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于( )
A．4p B．5p
C．6p D．8p
解析：选A 因为PQ过焦点，所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.
2．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：选B 由抛物线方程y2＝8x，可得准线l：x＝－2，焦点F(2，0)，设点A(－2，n)，
∴－＝，
∴n＝4.
∴P点纵坐标为4.
由(4)2＝8x，得x＝6，
∴P点坐标为(6，4)，
∴|PF|＝|PA|＝|6－(－2)|＝8，故选B.
3．河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解：如图，建立平面直角坐标系，设拱桥抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意，将B(4，－5)的坐标代入方程得p＝，∴抛物线的标准方程为x2＝－y.
当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船露出水面上的部分高米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船开始不能通航．
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5第一课时 抛物线的几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质 直观想象
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用 数学运算
某公园要建造一个如图①的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.81米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图②所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA水平距离为1米处达到距水面最大高度2.25米．
[问题] 在上述情境中，不考虑其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水不落到池外？
知识点 抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
性质 焦点 F F F F
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 在y轴右侧 在y轴左侧 在x轴上面 在x轴下面
对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0，0)
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
在同一坐标系下试画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？
提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．y2＝±12x
解析：选C 可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依题意知＝3，∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.
2．设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：选B ∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，
∴＝6，即p＝12.
又抛物线上的点到准线距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为[6，＋∞)．
抛物线的几何性质
[例1] (链接教科书第106页例1)已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
[解] 因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
求抛物线方程的步骤
[注意] 求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．
[跟踪训练]
已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)，求抛物线的标准方程和准线方程．
解：当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0)．将点M(1，－2)代入，得m＝4.
∴抛物线的标准方程为y2＝4x；
当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0)．
将点M(1，－2)代入，
得n＝－.
∴抛物线的标准方程为x2＝－y.
故所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y.
准线方程分别为x＝－1或y＝.
抛物线性质的应用
[例2] (1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．
(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．
[解] (1)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.
又|OA|＝|OB|，所以x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°，所以y1＝x1，与y＝2px1联立，解得y1＝2p.
所以|AB|＝2y1＝4p，
即这个三角形的边长为4p.
(2)如图，设点A(x0，y0)，由题意可知点B(x0，－y0)，
∵F是△AOB的垂心，
∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，即·＝－1.
∴y＝x0，又∵y＝2px0，
∴x0＝2p＋＝.
∴直线AB的方程为x＝.
利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题；
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题；
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题；
(4)焦点：解决焦点弦问题．
[跟踪训练]
抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________．
解析：由抛物线方程可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，
由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，
故y0＝|AH|＝(x0－1)，
所以点A的坐标为(x0，(x0－1))，将此代入抛物线方程可得3x－10x0＋3＝0，解得x0＝3或x0＝(舍)，
所以点A的坐标为(3，2)，
故S△AKF＝×(3＋1)×2＝4.
答案：4
1．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
解析：选C 依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
2．若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________．
答案：4
3．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，则
焦点F，直线l：x＝，
∴A，B两点坐标分别为，，
∴|AB|＝2|a|.
∵△OAB的面积为4，
∴·||·2|a|＝4，∴a＝±2.
∴抛物线方程为y2＝±4x.
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