数列
新课程标准解读 核心素养
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数 数学抽象
2.了解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式 数学运算
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题．他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数．毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图①.他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图②.他把这些数叫作正方形数，等等．每一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列．
[问题] (1)数列的有关概念是什么？
(2)数列可分为哪几类？
知识点一 数列的概念
1．定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项．
2．分类：项数有限的数列叫作有穷数列；项数无限的数列叫作无穷数列．
3．记法：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．其中a1称为数列{an}的第1项或首项，a2称为第2项……an称为第项．
1．2，3，4，5和5，4，3，2是相同的数列吗？
提示：不是．
2．{an}与an是两个相同的概念吗？
提示：不是．{an}表示数列a1，a2，…，an，而an只是数列{an}中的第n项．
给出以下数列：
①1，－1，1，－1，…；
②2，4，6，8，…，1 000；
③8，8，8，8，…；
④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810.
其中，有穷数列为________；无穷数列为______．(填序号)
答案：②④ ①③
知识点二 数列通项公式与递推公式
1．通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
2．递推公式
如果已知一个数列的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．
1．数列{an}与函数有什么关系？
提示：数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}．
2．是否所有的数列都有通项公式？若有是否唯一？
提示：不是．同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．若有通项公式也不一定唯一．
3．所有的数列都有递推公式吗？
提示：不是所有的数列都有递推公式．例如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式．
1．符合递推关系式an＝an－1的数列是( )
A．1，2，3，4，… B．1，，2，2，…
C.，2，，2，… D．0，，2，2，…
解析：选B B中相邻的两项，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.
2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A．－3 B．－11
C．－5 D．19
解析：选D 由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋an＋1，
则a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.
3．数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3＝________．
解析：由an＝得a2＝2，a3＝10，
所以a2·a3＝20.
答案：20
4．若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项．
解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n，
令n2－2n＝15，得n＝5或n＝－3(舍去)．
答案：5
由数列的前几项求通项公式
[例1] (链接教科书第126页例4)(1)数列，，，，…的一个通项公式是________．
(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式：
①，，，，…；
②－3，7，－15，31，…；
③2，6，2，6，….
(1)[解析] 数列可写为：，，，，…，分子满足：3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…，
分母满足：5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋2，…，故通项公式为an＝.
[答案] an＝
(2)[解] ①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，
∴an＝.
②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，
∴an＝(－1)n(2n＋1－1)．
③为摆动数列，一般求两数的平均数＝4，而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．
∴an＝4＋(－1)n·2或an＝
由数列的前几项求通项公式的解题策略
(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；
(2)若n和n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控；
(3)熟悉一些常见数列的通项公式；
(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
[跟踪训练]
写出下列数列的一个通项公式：
(1)0，3，8，15，24，…；
(2)1，－3，5，－7，9，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)1，11，111，1 111，….
解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1.
(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝.
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1).
数列通项公式的简单应用
[例2] (链接教科书第124页例1，例2)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．
(1)计算a3＋a4的值；
(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
[解] (1)∵an＝，
∴a3＝＝，a4＝＝，
∴a3＋a4＝＋＝.
(2)若为数列{an}中的项，则＝，
∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，
∴n＝10或n＝－12(舍)，即是数列{an}的第10项．
判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项．
[跟踪训练]
在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断88是不是数列{an}中的项？
解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则
解得
∴an＝4n－2.
(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5 N*，
∴88不是数列{an}中的项.
由递推公式求数列的项
[例3] (链接教科书第126页例3)数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5项．
[解] 由a－anan＋2＝(－1)n，得an＋2＝eq \f(a－（－1）n,an)，又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝eq \f(a－（－1）1,a1)＝＝10，a4＝eq \f(a－（－1）2,a2)＝＝33，a5＝eq \f(a－（－1）3,a3)＝＝109.∴数列{an}的前5项为1，3，10，33，109.
由递推公式求数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可；
(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；
(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
[跟踪训练]
1．已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第三项是( )
A．1 B.
C. D.
解析：选C 由题知a2＝×1＋＝1，a3＝×1＋＝.
2．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a1，a2，a3，a4，a5的值，并根据前5项的值能否推断出a2 021的值？
解：a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1，
∴{an}是周期为4的数列，
∴a2 021＝a4×505＋1＝a1＝2.
数列的单调性的判断及应用
函数的单调性在研究函数性质时有着重要的作用，而数列作为一种特殊的函数，也具有单调性，且单调性是数列的一个重要性质．数列的单调性在研究数列的最值、数列不等式以及在判定某一项是否为已知数列中的项等问题时，都有重要的作用．
1．数列单调性的判断
(1)利用数列单调性的定义判断：
①作差法：即作差an＋1－an后与0进行比较．
若an＋1－an＞0对于任意n(n∈N*)恒成立，则数列{an}是递增数列；
若an＋1－an＜0对于任意n(n∈N*)恒成立，则数列{an}是递减数列；
若an＋1－an＝0对于任意n(n∈N*)恒成立，则数列{an}是常数列．
②作商法：即作商(务必要确定an的符号)后与1进行比较．
对于任意n(n∈N*)，若an＞0，则当＞1时，数列{an}是递增数列；
当＜1时，数列{an}是递减数列．
对于任意n(n∈N*)，若an＜0，则当＜1时，数列{an}是递增数列；
当＞1时，数列{an}是递减数列．
对于任意n(n∈N*)，若an≠0，则当＝1时，数列{an}是常数列．
(2)利用数列的图象直观地判断．
2．利用数列的单调性确定变量的取值范围
常利用以下的等价关系：
数列{an}递增 an＋1＞an(n∈N*)；
数列{an}递减 an＋1＜an(n∈N*)．
进而转化为不等式成立(恒成立)，通过分离变量转化为代数式的最值来解决；或由数列的函数特征，通过构建变量的不等关系，解不等式(组)来确定变量的取值范围．
[迁移应用]
1．已知函数f(x) ＝若数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2]
C．(2，3) D.
解析：选C 由题意知an＝
因为数列{an}是递增数列，所以
当n≤10时，3－a＞0，即a＜3；
当n＞10时，a＞1.
且a10＜a11，所以(3－a)×10－6＜a11－9，
即a2＋10a－24＞0，
即(a＋12)(a－2)＞0，所以a＜－12或a＞2.
综上可得a的取值范围为(2，3)．
2．已知数列{an}满足an＝n2＋λn(n∈N*)，且对任意n∈N*，an＜an＋1恒成立，则实数λ满足( )
A．λ＞0 B．λ＜0
C．λ≥－2 D．λ＞－3
解析：选D 因为对任意n∈N*，an＜an＋1恒成立，所以数列{an}是递增数列．由an＝n2＋λn知(n，an)(n∈N*)是函数f(x)＝x2＋λx图象上的点，而函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－，事实上，数列{an}是递增数列，满足a1＜a2＜…＜an＜…即可．欲满足上述不等关系，需－＜，解得λ＞－3.
3．已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n(n∈N*)，判断数列{an}的单调性．
解：法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2＞0，即an＋1＞an(n∈N*)，故数列{an}是递增数列．
法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则＝＝·＞1.
又an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列．
(注：这里要确定an的符号，否则无法判断an＋1与an的大小)
法三：令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的拋物线，其对称轴为直线x＝，＜1，则函数y＝3x2－x在上单调递增，故数列{an}是递增数列．
1．有下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数；
②数列的项数一定是无限的；
③数列的通项公式的形式是唯一的；
④数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式．
其中正确的是( )
A．① B．①②
C．③④ D．②④
解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…的一个通项公式为an＝④错误．故选A.
2．数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于( )
A．2 B．3
C．9 D．32
解析：选B 因为an＝3n－1，所以a2＝32－1＝3.
3．数列0，，，，，…的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：选C 已知数列可化为：0，，，，，…，故an＝ .
4．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________．
解析：由a1＝1，an＝1＋，得a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.
答案：
5．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第________项．
解析：∵a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，
∴an＝.
由＝2得3n－1＝20，解得n＝7，
∴2是该数列的第7项．
答案：7
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9等差数列的概念 等差数列的通项公式
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义 数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 逻辑推理、数学运算
3.体会等差数列与一元一次函数的关系 数学抽象
观察下列现实生活中的数列：
(1)我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2 017，2 029, 2 041，2 053，2 065，2 077，…；
(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；
(3)2021年4月中，每个星期日的日期为4，11，18，25.
[问题] 以上数列有什么共同的特点？
知识点一 等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用表示．
对等差数列定义的理解要注意以下3点
(1)等差数列定义中特别强调作差的顺序，即从第2项起，每一项一定是与它的前一项作差，而不是与后一项作差．这一点要注意，切不可将减数与被减数弄颠倒；
(2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管等于常数，但这个数列不一定是等差数列．因为这些常数可能不同．当常数不同时，不是等差数列，因此定义中同一个常数中的“同一个”十分重要，切记不可丢掉；
(3)公差d可正、可负、也可为0，它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为(－∞，＋∞)．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数列4，4，4，…是等差数列．( )
(2)数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列．( )
(3)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．给出下列数列：
(1)0，0，0，0，0，…；
(2)1，11，111，1 111，…；
(3)2，22，23，24，…；
(4)－5，－3，－1，1，3，…；
(5)1，2，3，5，8，….
其中等差数列是________(填序号)．
解析：根据等差数列的定义可知(1)、(4)是等差数列．
答案：(1)(4)
知识点二 等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？
提示：由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．
1．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于( )
A．4－2n B．2n－4
C．6－2n D．2n－6
解析：选C ∵a1＝4，d＝－2，
∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
2．在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝( )
A．1 B．－1
C．±1 D．±2
解析：选C 由已知得，解得d＝±1.
等差数列的判断与证明
[例1] (链接教科书第130页例3)判断下列数列是否为等差数列，若是请求出公差d.若不是请说明理由．
(1)an＝3n＋2；(2)an＝n2＋n.
[解] (1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)，
由n的任意性知，这个数列为等差数列，公差为3.
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是一个常数，所以这个数列不是等差数列．
判断一个数列是否为等差数列的方法技巧
(1)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}是等差数列．或an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*) {an}是等差数列；
(2)等差中项法：2an＝an＋1＋an－1 {an}为等差数列；
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数) {an}为等差数列．
[跟踪训练]
1．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．
证明：∵bn＋1＝＝＝，
∴bn＋1－bn＝－＝＝，为常数(n∈N*)．
∵b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
2．已知，，成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列．
证明：∵，，成等差数列，∴＝＋，
∴＝，即2ac＝b(a＋c)．
(a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)2－2b(a＋c)＝(a＋c)2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝(a－c)2.
∵a＋c，a＋c－2b，a－c均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg(a－c)2，即lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)，
∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列．
等差数列的通项公式及应用
角度一：等差数列基本量的计算
[例2] (链接教科书第132页例4)在等差数列{an}中．
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
[解] (1)∵a5＝－1，a8＝2，
∴解得
(2)设数列{an}的公差为d.
由已知得，解得
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴a9＝2×9－1＝17.
角度二：等差数列通项公式的应用
[例3] 已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
[解] 设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由已知
解得
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所给数列的第45项．
[母题探究]
1．(变设问)若例3条件不变，求a38，及a30＋a46的值，并判断2a38与a15＋a61是否相等？a30＋a46与a15＋a61是否相等？
解：由例3知a15＋a61＝33＋217＝250，an＝4n－27，
所以a38＝4×38－27＝125，
a30＋a46＝4×30－27＋4×46－27＝250，
故2a38＝a15＋a61，a30＋a46＝a15＋a61.
2．(变设问)由上题结论进一步探究．对于一般的等差数列{an}，若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，是否有：am＋an＝ap＋aq
解：有．因为am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d
＝2a1＋(m＋n－2)d.
ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d
＝2a1＋(p＋q－2)d.
又因为m＋n＝p＋q，
所以am＋an＝ap＋aq.
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可；
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
[跟踪训练]
1．2 020是等差数列4，6，8，…的( )
A．第1 007项 B．第1 008项
C．第1 009项 D．第1 010项
解析：选C ∵此等差数列的公差d＝2，∴an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，令2 020＝2n＋2，解得n＝1 009.
2．在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝6，d＝3，求a8；
(2)已知a7＝，d＝－2，求a1；
(3)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n；
(4)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d.
解：(1)∵a1＝6，d＝3，∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3，
∴a8＝3×8＋3＝27.
(2)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝，∴a1＝.
(3)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14，
∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，
∴n＝18.
(4)法一：由题意知解得
∴a7＝13＋6×(－1)＝7.
法二：∵a4＝10，a10＝4，∴d＝＝－1，
∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14，
∴a7＝－7＋14＝7.
等差数列的实际应用
[例4] (链接教科书第132页例5)某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[解] 设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．
∴由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
[跟踪训练]
某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．
解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
答案：23.2
1．给出下列命题：
①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；
②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列；
③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)；
④数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列．
其中正确命题的序号是( )
A．①② B．①③
C．②③④ D．③④
解析：选C 根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为－2，①错误；对于②，由等差数列的定义可知，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以②正确；对于③，由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得an＝dn＋(a1－d)，令k＝d，b＝a1－d，则an＝kn＋b，所以③正确；对于④，因为an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，所以数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列，所以④正确，故选C.
2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12 B．16
C．20 D．24
解析：选B 因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.
3．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选A 由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5.
4．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________．
解析：d＝－1－1＝－2，设an＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46.
答案：46
5．在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
解：由题意可得解得d＝2，a1＝2.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
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7第二课时 等差数列前n项和公式的实际应用(习题课)
等差数列的前n项和最值问题
[例1] 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．
[解] 由S17＝S9且a1＝25，得
25×17＋d＝25×9＋d，
解得d＝－2，
法一(公式法)：Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169.
由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.
法二(邻项变号法)：∵a1＝25＞0，由
得即12≤n≤13.
又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略
(1)将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决；
(2)邻项变号法：
当a1>0，d<0时，满足的项数n使Sn取最大值．
当a1<0，d>0时，满足的项数n使Sn取最小值．
[跟踪训练]
设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选A 设等差数列的公差为d，
∵a4＋a6＝－6，∴2a5＝－6，∴a5＝－3.
又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.
∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，
故当n＝6时，Sn取得最小值，故选A.
等差数列前n项和公式的实际应用
[例2] (链接教科书第139页例5，例6)某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？
[解] (1)由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}，
所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400.
从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.
(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为S10＝＝2 200，
9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}，
又b20＝390－10×19＝200，
所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为
T20＝＝5 900，
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100(人)．
应用等差数列解决实际问题的一般思路
[跟踪训练]
某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线，经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时，从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500＞480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.
求{|an|}的前n项和
[例3] 数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)问{an} 的前多少项和最大；
(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和S′n.
[解] (1)法一(公式法)：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.
故{an}的通项公式为an＝34－2n.
法二(结构特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的常数项是零的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.
(2)法一(公式法)：令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，
故数列{an}的前17项大于或等于零．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二(函数性质法)：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝.
距离最近的整数为16，17.由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an＜0，
故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；
当n≥18时，an＜0.
所以当n≤17时，S′n＝b1＋b2＋…＋bn
＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.
当n≥18时，
S′n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)
＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn
＝n2－33n＋544.
故S′n＝
1．给出数列{an}，要求数列{|an|}的前n项和，关键是分清n取什么值时an＞0(或an＜0)．
2．当{an}的各项都为非负数时，{|an|}的前n项和就等于{an}的前n项和；当从某项开始各项都为负数(或正数)时，求{|an|}的前n项和要充分利用{an}的前n项和公式，这样能简化解题过程．
3．当所求的前n项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示．
[跟踪训练]
在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
解：等差数列{an}的公差为：
d＝＝＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d
＝－60＋3(n－1)＝3n－63.
又因为an<0时，3n－63<0，即n<21，
所以等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数．
设Sn和Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和．
当0Sn′＝－Sn＝－＝－n2＋n；
当n>20时，
Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20
＝－60n＋－2×
＝n2－n＋1 260.
所以数列{|an|}的前n项和为：
Sn′＝
1．设an＝2n－9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为( )
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
解析：选A 由解得≤n≤，故n＝4.
2．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10
C．19 D．29
解析：选B 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1根．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
3．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________．
解析：易得an＝
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，
令an>0，则2n－5>0，∴n≥3.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.
答案：66
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5等差数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的前n项和公式和通项公式的关系 数学抽象、数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 数学建模、数学运算
第一课时 等差数列的前n项和公式
在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．
[问题] 文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？
知识点 等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d
对等差数列前n项和公式的理解
(1)公式Sn＝中涉及四个量：Sn，n，a1，an；公式Sn＝na1＋d中也涉及四个量：Sn，n，a1，d.结合等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，对于等差数列中的五个量：Sn，n，a1，an，d，已知其中的三个量就可以求出另外的两个量；
(2)等差数列{an}的求和公式Sn＝与梯形面积公式S梯形＝类似，可对比记忆为上底是“a1”，下底是“an”，高是“n”．
Sn＝na1＋d(d≠0)与二次函数有什么关系？
提示：Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的没有常数项的二次函数．
1．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于( )
A．n B．n(n＋1)
C．n(n－1) D.
解析：选D 因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋×1＝＝＝，故选D.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6等于( )
A．16 B．24
C．36 D．48
解析：选D 设等差数列{an}的公差为d，
由已知得4a1＋d＝20，
即4×＋d＝20，解得d＝3，
∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.
3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________．
解析：∵an＝－5n＋2，
∴数列{an}是等差数列，且a1＝－3，公差d＝－5，
∴Sn＝＝－.
答案：－
等差数列前n项和公式
[例1] (链接教科书第137页例1)已知数列{an}是等差数列．
(1)若a1＝7，a50＝101，求S50；
(2)若a1＝2，a2＝，求S10；
(3)若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n.
[解] (1)因为a1＝7，a50＝101，根据公式Sn＝，可得S50＝＝2 700.
(2)因为a1＝2，a2＝，所以d＝.根据公式Sn＝na1＋d，可得S10＝10×2＋×＝.
(3)把a1＝，d＝－，Sn＝－5代入Sn＝na1＋d，得－5＝n＋×.
整理，得n2－7n－60＝0.
解得n＝12或n＝－5(舍去)．
所以n＝12.
等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值：
(2)利用等差数列的性质解题：
[跟踪训练]
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于( )
A．13 B．35
C．49 D．63
解析：选D ∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，
∴S9＝＝＝63.
2．已知等差数列{an}．
(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解：(1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.
又Sn＝na1＋d＝－5，
解得n＝15或n＝－4(舍)．
(2)由已知，得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
等差数列前n项和公式的简单应用
[例2] (链接教科书第137页例3)已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1 220.
(1)由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
(2)求{an}的前30项和S30.
[解] (1)由题意，知S10＝310，S20＝1 220.
把它们代入公式Sn＝na1＋d，
得
解方程组，得
∴由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差．
(2)法一：由S10＝310，S20＝1 220，得
∴
∴S30＝30×4＋×6＝2 730.
法二：设Sn＝An2＋Bn，
∴
∴
∴S30＝900A＋30B＝900×3＋30＝2 730.
等差数列前n项和公式的应用技巧
Sn＝与Sn＝na1＋d均为等差数列前n项和公式，注意灵活选择．当已知a1，an时，多用Sn＝；当已知a1，d时，多用Sn＝na1＋d.
[跟踪训练]
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，试求S110.
解：由题意得
解得
故S110＝110a1＋d
＝110×10.99＋×
＝－110.
已知等差数列的前n项和Sn求an
[例3] 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.
(1)求a1及an；
(2)判断这个数列是否是等差数列．
[解] (1)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，
a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
验证当n＝1时上式成立，
所以an＝4n－32.
(2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)，
所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)，
所以数列{an}是等差数列．
[母题探究]
(变条件)将本例中“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝－2n2＋n＋2”，如何求解下列问题？
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断{an}是否为等差数列？
解：(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，
Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，
∴an＝Sn－Sn－1
＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)
＝－4n＋3.
又∵a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，
∴数列{an}的通项公式是an＝
(2)由(1)知，当n≥2时，
an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4(常数)，
但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，
∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．
由Sn求通项公式an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1；
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1；
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1，否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝
[跟踪训练]
已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．
解：根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，
当n>1时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－
＝2n－，①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－，n∈N*.
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于( )
A．－n2＋ B．－n2－
C.n2＋ D.n2－
解析：选A ∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，
∴Sn＝＝－n2＋.
2．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于( )
A．18 B．27
C．36 D．45
解析：选C 因为a2＋a8＝8，所以a1＋d＋a1＋7d＝8，
即a1＋4d＝4，
所以S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝36.
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为( )
A．1 B.
C．2 D．3
解析：选C 因为S3＝＝6，
而a3＝4，
所以a1＝0，
所以d＝＝2.
4．已知在等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，则n＝________，a12＝________．
解析：∵Sn＝n·＋·＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
a12＝＋(12－1)×＝－4.
答案：12 －4
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7等比数列的概念 等比数列的通项公式
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义 数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 逻辑推理、数学运算
3.体会等比数列与一元一次函数的关系 数学抽象
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
[问题] (1)你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
(2)根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？
知识点一 等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母表示．
1．若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定是等比数列吗？
提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．
2．等比数列的首项不为零，公比可以为零吗？其它项是否可以为零？
提示：不能．
3．常数列一定是等比数列吗？
提示：不一定，如0，0，0，….
1．下列数列为等比数列的是( )
A．2，22，3×22，… B.，，，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0，0，0，…
解析：选B A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C项可为0，不符合定义．
2．若－1，b，－9成等比数列，则b＝________．
解析：由等比数列定义知＝，即b2＝9，故b＝±3.
答案：±3
知识点二 等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1．
1．等比数列的通项公式an＝a1qn－1可推广到一般情况：an＝amqn－m(m，n∈N*)．
2．等比数列与指数函数的关系
类似于等差数列与一次函数的关系，由an＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
1．等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝( )
A．32 B．－48
C．48 D．96
答案：C
2．在等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则数列{an}的公比为________，通项公式为an＝________．
答案：±2 (－2)n或－2n
等比数列的判定
[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
[解] (1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
所以a1＝－.
又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
判断一个数列是等比数列的常用方法
定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
[跟踪训练]
1．已知等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，且bn＝3，证明{bn}是等比数列．
证明：b1＝3＝33＝27，
当n≥2时，＝＝3＝3d＝32＝9，
所以{bn}是首项为b1＝27，公比q＝9的等比数列．
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)，求证：{bn}是等比数列．
证明：∵an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1，∴bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn，又∵b1＝a1＋1＝2，
∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
等比数列的通项公式及应用
角度一：等比数列的基本运算
[例2] (链接教科书第146页例4，例6)在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[解] (1)因为a4＝a1q3，
所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)a1＝＝＝5，故a1＝5.
(3)因为
由，得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，
所以32×＝1，
即26－n＝20，故n＝6.
求等比数列通项公式的常用方法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法；
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算；
(3)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
角度二：灵活设元求解等比数列问题
[例3] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________．
(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．
(1)[解析] 设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．即
整理得解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.
[答案] 45
(2)[解] 法一：设前三个数为，a，aq，
则·a·aq＝216，
所以a3＝216.所以a＝6.
因此前三个数为，6，6q.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.
故所求的四个数为9，6，4，2.
法二：设后三个数为4－d，4，4＋d，则第一个数为(4－d)2，由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四个数为9，6，4，2.
几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…，，，a，aq，aq2，…；
(2)四个符号相同的数成等比数列设为：，，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…，，，，aq，aq3，aq5，…；
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.
[跟踪训练]
1．在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )
A．－4或 B．4或
C．4 D．17
解析：选B 设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.
由a，，20成等差数列得2×＝a＋20.
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋＝4.
当a＝5时，插入的两个数的和为a＋＝.
2．在等比数列{an}中．
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
解：(1)因为a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，
所以a5＝405.
(2)因为所以
由得q3＝4，
从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
等比数列的实际应用问题
[例4] 某工厂2020年1月的生产总值为a万元，计划从2020年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2021年8月底该厂的生产总值为多少万元？
[解] 设从2020年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，
∴＝1＋m%.
∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．∴an＝a(1＋m%)n－1.
∴2021年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元)．
数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
[跟踪训练]
某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，
a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.
∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．
(2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1≈8.857.
∴用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元．
1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析：选B 因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，
所以b＝－3，且a，c必同号．
所以ac＝b2＝9.
2．等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B ∵＝·，∴＝，
即＝，∴n－1＝3，∴n＝4.
3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，则x＝________．
解析：由x，2x＋2，3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或x＝－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．
∴x＝－4.
答案：－4
4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________．
解析：a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729.
答案：－729
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7第二课时 数列求和(习题课)
分组转化法求和
[例1] (链接教科书第151页例3)已知数列{cn}：2，4，6，…，试求{cn}的前n项和．
[解] 令{cn}的前n项和为Sn，
则Sn＝2＋4＋6＋…＋
＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋[＋＋＋…＋]＝n(2＋2n)＋＝n(n＋1)＋－.即数列{cn}的前n项和为Sn＝n(n＋1)＋－.
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．
[跟踪训练]
1．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2 020等于( )
A．1 010 B．－1 010
C．2 020 D．－2 020
解析：选A S2 020＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 019＋2 020)＝1 010.
2．已知数列{an}的首项a1＝3，通项an＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且a1，a4，a5成等差数列．
(1)求p，q的值；
(2)求数列{an}前n项和Sn的公式．
解：(1)由a1＝3，得2p＋q＝3，又因为a4＝24p＋4q，
a5＝25p＋5q，且a1＋a5＝2a4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.
(2)由(1)，知an＝2n＋n，所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋.
裂项相消法求和
[例2] 已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝－logan，求数列的前n项和Tn.
[解] (1)设数列{an}的公比为q，由a＝9a2a6得a＝9a，∴q2＝.
由条件可知q>0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，∴a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
(2)∵an＝，∴bn＝－log ＝2n，
∴＝＝，
∴Tn＝
＝＝.
1．把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
2．裂项求和的几种常见类型：
(1)＝；
(2)＝；
(3)＝；
(4)若{an}是公差为d的等差数列，则＝.
[跟踪训练]
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝15，a5＋a9＝30.
(1)求an及Sn；
(2)若数列{bn}满足bn(Sn－n)＝2(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和为Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得
即解得
则an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
Sn＝3n＋＝n2＋2n.
(2)由题意可得
bn＝＝＝2，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝2
＝2＝.
错位相减法求和
[例3] 已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝11.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，等差数列{bn}的公差为d，
依题意有
即
解得或(舍去)．
所以an＝2n－1，n∈N*，bn＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n∈N*.
(2)由(1)得cn＝＝，
所以Tn＝＋＋…＋，①
所以Tn＝＋＋…＋＋，②
由①－②，得Tn＝3＋2－
＝3＋2×－＝5－，
所以Tn＝10－.
1．使用范围：如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．
2．注意事项：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
[跟踪训练]
已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和公式．
解：(1)设数列{an}的公差为d，则
法一：a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12.
又a1＝2，得d＝2，∴an＝2n，n∈N*.
法二：∵a1＋a3＝2a2，
∴a2＝4.又a1＝2，∴d＝4－2＝2.
∴an＝2n，n∈N*.
(2)由bn＝an·3n＝2n·3n，得
Sn＝2·3＋4·32＋…＋(2n－2)·3n－1＋2n·3n，①
3Sn＝2·32＋4·33＋…＋(2n－2)·3n＋2n·3n＋1，②
①－②得－2Sn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2n·3n＋1
＝3(3n－1)－2n·3n＋1，
∴Sn＝＋n·3n＋1，n∈N*.
由数列的递推关系求通项
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．
[问题探究]
类型一：形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式
这类递推数列采用累加法求其通项(数列{f(n)}可求前n项和)．
当f(n)为常数时，可通过累加法求得等差数列的通项公式．
而当f(n)为等差数列时，{an}为二阶等差数列，其通项公式应形如an＝an2＋bn＋c，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是Sn＝an2＋bn，其常数项一定为0.
类型二：形如an＋1＝f(n)an的递推关系式
这类递推数列可通过累乘法求得其通项(数列{f(n)}可求前n项积)．
当f(n)为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．
类型三：形如an＋1＝can＋tan－1(n≥2，ct≠0)的递推关系式
对于此类递推关系式，可以使用待定系数法将其转化为等比数列问题．即令an＋1－xan＝y(an－xan－1)，用待定系数法求出x与y的值，即可转化为等比数列问题，进而求通项．
类型四：形如an＋1＝can＋tan－1＋a(cta≠0)的递推关系式
对于此类递推关系式，可转化为等差数列求解．
类型五：由Sn与an的关系求an
数列{an}的通项an与其前n项和Sn的关系为
an＝
[注意] (1)应重视分类讨论的应用，要先分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别要注意由Sn－Sn－1＝an推导出的an中的n≥2；
(2)由Sn－Sn－1＝an推导出的an＝f(n)(n≥2)，若当n＝1时，a1也适合an＝f(n)，则需要统一合成一个表达式．
[迁移应用]
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式为________________．
解析：由a1＝S1＝2－a1，得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－an－[2(n－1)－an－1]＝－an＋2＋an－1，所以an＝an－1＋1，即an－2＝(an－1－2)．
令bn＝an－2，则bn＝bn－1，且b1＝1－2＝－1，
于是数列{bn}是首项为－1，公比为的等比数列，
所以bn＝－1×＝－，
故an＝2－.
答案：an＝2－
2．已知数列{an} 满足an＋1＝5an－6an－1(n≥2)，且a1＝1，a2＝4，则数列{an}的通项公式为________________．
解析：令an＋1－xan＝y(an－xan－1)，
即an＋1＝(x＋y)an－xyan－1.
于是得解得或
取x＝2，y＝3得an＋1－2an＝3(an－2an－1)(n≥2)．
由于a2－2a1＝2≠0，所以数列{an＋1－2an}是以2为首项，3为公比的等比数列，即an＋1－2an＝2×3n－1.
两边同除以2n＋1，得－＝×.
所以＝＋＋…＋＋＝×＋×＋…＋×＋＝×＋＝－.
故an＝2×3n－1－2n－1.
取x＝3，y＝2得an＋1－3an＝2(an－3an－1)(n≥2)．
由于a2－3a1＝1≠0，所以数列{an＋1－3an}是以1为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－3an＝2n－1.
整理得an＋1＋2n＝3(an＋2n－1)，又因为a1＋21－1＝2，所以数列{an＋2n－1}是以2为首项，3为公比的等比数列，
即an＋2n－1＝2×3n－1，所以an＝2×3n－1－2n－1，
综上可知an＝2×3n－1－2n－1.
答案：an＝2×3n－1－2n－1
3．数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)由an＋2＝2an＋1－an＋2得
an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1－bn＝2.
又因为b1＝a2－a1＝1，故数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.
即an＋1－an＝2n－1.
于是an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝[2(n－1)－1]＋[2(n－2)－1]＋…＋(2×1－1)＋1
＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]－(n－1)＋1
＝2×－n＋2
＝n2－2n＋2.
1．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是( )
A．1，1 B．－1，－1
C．1，0 D．－1，0
解析：选D S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，
S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.
2．数列的前2 020项和为________．
解析：因为＝2，
所以S2 020＝2
＝2＝.
答案：
3．已知数列an＝则S100＝________．
解析：由题意得S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)
＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)
＝5 000.
答案：5 000
4．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*.
(1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列；
(2)在(1)的条件下求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n，
得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.
∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，
两边同时乘以2得
2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝(n－1)×2n＋1.
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7等比数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 逻辑推理、数学运算
第一课时 等比数列的前n项和公式
在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息．在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任．你知道这其中的缘由吗？
如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列．
[问题] 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？
知识点 等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q
公式 Sn＝（q≠1）) Sn＝(q≠1))
1．等比数列的前n项和公式的适用条件是什么？
提示：公比q≠1.
2．若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和Sn为何值？
提示：若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.
3．若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列吗？
提示：是．根据等比数列前n项和公式Sn＝(q≠0且q≠1)变形为：
Sn＝－qn(q≠0且q≠1)，若令a＝，
则和式可变形为Sn＝a－aqn.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等比数列前n项和Sn不可能为0.( )
(2)若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.( )
答案：(1)× (2)×
2．数列{2n－1}的前99项和为( )
A．2100－1 B．1－2100
C．299－1 D．1－299
解析：选C 数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1.
3．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝( )
A．2－ B．2－
C．2－ D．2－
解析：选B 易知公比q＝，则S10＝＝2－.
等比数列前n项和公式的直接应用
[例1] (链接教科书第150页例1)求下列等比数列前8项的和：
(1)，，，…；
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
[解] (1)因为a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q＜0，可得q＝－，
所以S8＝＝＝＝.
求等比数列的前n项和，要确定首项，公比或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立．
[跟踪训练]
(1)求数列{(－1)n＋2}的前100项的和；
(2)在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，求此数列的项数．
解：(1)法一：a1＝(－1)3＝－1，q＝－1.
∴S100＝＝0.
法二：数列{(－1)n＋2}为－1，1，－1，1，…，
∴S100＝50×(－1＋1)＝0.
(2)设此数列的公比为q(易知q≠1)，
则解得故此数列共有5项.
等比数列的前n项和公式的综合应用
[例2] (链接教科书第150页例2)在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.
(1)a1＝8，an＝，Sn＝，求n；
(2)S3＝，S6＝，求an及Sn.
[解] (1)显然q≠1，由Sn＝，即＝，
∴q＝.又∵an＝a1qn－1，即8×＝，
∴n＝6.
(2)法一：由S6≠2S3知q≠1，由题意得
②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2.
代入①得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，
Sn＝＝2n－1－.
法二：由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3.
∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，即q＝2.
代入＝，得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，
Sn＝＝2n－1－.
在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
[跟踪训练]
已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8.
解：由题意，得
化简得
①÷②，得q2－1＝±3，负值舍去，
∴q2＝4，∴q＝2或q＝－2.
当q＝2时，代入①得a1＝1.
∴S8＝＝255.
当q＝－2时，代入①得a1＝－1.
∴S8＝＝85.
综上知S8＝255或S8＝85.
等比数列前n项和的实际应用
[例3] (链接教科书第151页例4)某市共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2016年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则：
(1)该市在2022年应该投入电力型公交车多少辆？
(2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？
[解] (1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝.
∴2022年应投入的数量为a7＝a1q6＝128×＝1 458(辆)．
∴该市在2022年应该投入1 458辆电力型公交车．
(2)设{an}的前n项和为Sn.
则Sn＝＝256·，
由Sn＞(10 000＋Sn)×，即Sn＞5 000，n∈N*，解得n＞7.
∴该市在2023年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
解数列应用题的思路和方法
[跟踪训练]
为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2018年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
(2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(0.910≈0.35，保留一位小数)
解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a·0.9n－1.
(2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)．
∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，
即a≤≈12.3，
∴a≤12.3.故2018年最多出口12.3吨．
1．数列1，5，52，53，54，…的前10项和为( )
A.(510－1) B.(510－1)
C.(59－1) D.(511－1)
解析：选B S10＝＝(510－1)．
2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
解析：选A 由S5＝＝44，
得a1＝4.
3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2 B．4
C. D.
解析：选C ＝×＝＝.
4．等比数列{an}中，a3＝8，a6＝64，则{an}的前5项的和是________．
解析：∵q3＝＝8，∴q＝2，从而a1＝2.
∴S5＝＝62.
答案：62
5．已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝________．
解析：Sn＝＝126，即2n＋1＝128，故n＋1＝7，n＝6.
答案：6
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7数学归纳法*
新课程标准解读 核心素养
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题 逻辑推理
五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授(1908～1996)给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半．她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐．每天早晨她拿米喂鸡．到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃．”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了．这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了．虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃．赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”．
[问题] “公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：
(1)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)(2)，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫作数学归纳法．
用数学归纳法证明问题时，第一步一定要验证n＝1时成立吗？
提示：不一定．如：证明多边形内角和为(n－2)×180°时，第一步应验证n＝3.
1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推的依据．
2．运用数学归纳法时易犯的错误
(1)对项数估算错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化易弄错；
(2)不利用归纳假设：归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了；
(3)步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计算而直接写出所要结论．
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于________．
答案：3
2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”．当验证n＝1时，上式左端计算所得为________．
答案：1＋a＋a2
用数学归纳法证明等式
[例1] (链接教科书第157页例1)求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.
左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即
1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
＋
＝＋
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋.
即当n＝k＋1时，等式也成立．
综合(1)和(2)可知，对一切正整数n等式都成立．
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)n＝n0时，等式的结构；
(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项；
②代数式相邻两项之间的变化规律；
③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．
[跟踪训练]
用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.
那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立.
用数学归纳法证明不等式
[例2] 求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．
[证明] (1)当n＝2时，
左边＝＋＋＋>，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即
＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋＋－)>＋>＋＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．
对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明．使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法(如拆、添、并、放、缩)，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口．
[跟踪训练]
用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋22＋32＋…＋nn<(n＋1)n.
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，1<2，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk<(k＋1)k，
那么，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k·(k＋2)<(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边<右边，
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)，可知不等式对任意n∈N*都成立.
用数学归纳法证明几何问题
[例3] (链接教科书第160页例5)求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*.
[证明] (1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，
此时f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时，命题成立．
即k棱柱中过侧棱的对角面有f(k)＝k(k－3)个．
现在考虑n＝k＋1时的情形．
对于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的(k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角面．因此对角面的个数为f(k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]成立．
由(1)和(2)，可知原结论成立．
用数学归纳法解决几何证明的关键
在几何问题中，常有与正整数n有关的几何证明，其中有交点个数、对角线条数、内角和、将平面分成若干部分等问题，利用数学归纳法证明时，关键是“找增量”，即几何元素从k(k∈N*)个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少个．解题时可以先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合几何图形给予严谨的证明．
[跟踪训练]
已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝eq \f(bn,1－4a)(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．
(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．
解：(1)由点P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1，
∴b2＝eq \f(b1,1－4a)＝，a2＝a1·b2＝，
∴点P2的坐标为，故直线l的方程为2x＋y＝1.
(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1，命题成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立，则当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝eq \f(bk,1－4a)·(2ak＋1)＝＝＝1，
故当n＝k＋1时，命题也成立．
由①②知，对任何n∈N*，都有2an＋bn＝1成立，即点Pn在直线l上.
归纳——猜想——证明
[例4] 已知数列，，，…，，…，设Sn为数列前n项和，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．
[解] S1＝＝，
S2＝＋＝，
S3＝＋＝，
S4＝＋＝，
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n表示为3n＋1，可以猜想Sn＝.
下面用数学归纳法证明：
(1)显然当n＝1时，S1＝＝，猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即Sk＝.
则当n＝k＋1时，
Sk＋1＝Sk＋
＝＋
＝
＝
＝，
即当n＝k＋1时，猜想也成立．
根据(1)和(2)可知，猜想对任何n∈N*都成立．
“归纳—猜想—证明”模式的解题方法
(1)观察：由已知条件写出前几项；
(2)归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系；
(3)猜想：猜想一般项的表达式；
(4)证明：用数学归纳法证明猜想的结论．
[跟踪训练]
已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明(1)的猜想．
解：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)．
(2)证明：①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，猜想成立．
②假设n＝k(k∈N*，且k≥2)时成立，即ak＝5×2k－2(k≥2，k∈N*)，
则当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2＝5＋＝5×2k－1，
故n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②可知，对n≥2，n∈N*有an＝5×2n－2.
1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
解析：选D 要注意末项与首项，因为f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
2．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步应验证( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
解析：选C 由题意得，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．
3．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋＜2 B．1＋＋＜2
C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3
解析：选B 由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋＜2，故选B.
4．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________．
解析：采取配凑法，凑出归纳假设k3＋5k，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
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