平均变化率
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义 数学抽象
2.体会平均变化率在实际生活中的应用 数学运算
下面是我国北方某地某日气温日变化曲线图．
[问题] (1)从图中可以看出，从6时到10时为“气温陡增”的时段，它的数学意义是什么？
(2)如何比较不同时间段内的气温变化的大小？例如：假设6时的气温是25 ℃，10时的气温是29 ℃，12时的气温是30 ℃，那么如何比较从6时到10时与从10时到12时气温变化的大小？
知识点 函数的平均变化率
函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为．
1．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
2．平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．
1．函数f(x)＝x2在[1，3]上的平均变化率为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
答案：A
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则直线AB的斜率为( )
A．4 B．4x
C．4.2 D．4.02
答案：C
由函数的图象求平均变化率
[例1] (链接教科书第174页例1)某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示．
(1)试分别求当x从0 min变化到20 min及x从20 min变化到30 min体温y相对于时间x的平均变化率；
(2)利用(1)的结果说明哪段时间体温变化较快？
[解] (1)当时间x从0 min变到20 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为＝－0.025(℃/min)．
当时间x从20 min变到30 min体温y相对于时间x的平均变化率为＝－0.05(℃/min)．
(2)由(1)知|－0.05|>|－0.025|，
故体温从20 min到30 min这段时间下降得比0 min到20 min这段时间要快．
由函数图象求函数平均变化率的步骤
第一步：求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步：借助图象求函数值的增量Δy＝y2－y1；
第三步：求平均变化率＝.
[跟踪训练]
地高辛是用来治疗心脏病的一种药物，若某病人血液中地高辛的初始剂量为0.5 mg，且x天后血液中剩余的剂量为y mg，y与x的部分数据如下表所示：
x 0 1 2 3 4 5
y 0.5 0.345 0.238 0.164 0.113 0.078
将y看成x的函数，分别求函数在[0，2]和[3，5]上的平均变化率．
解：f(x)在[0，2]上的平均变化率为＝－0.131，
f(x)在[3，5]上的平均变化率为＝－0.043.
由函数解析式求平均变化率
[例2] (链接教科书第175页例3)已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)在区间[0.1，0.2]上的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
[解] (1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以函数f(x)在区间[0.1，0.2]上的平均变化率为
＝＝0.9.
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)
＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝6x0＋3Δx.
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率＝.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.
因为<，
所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
求物体运动的平均速度
[例3] 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈.
(1)分别求s(t)在区间和上的平均速度；
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义．
[解] (1)物体在区间上的平均速度为
1＝＝＝＝.
物体在区间上的平均速度为
2＝＝＝.
(2)由(1)可知1－2＝>0，所以2<1.作出函数s(t)＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，s(t)＝sin t在上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢．
求物体运动的平均速度的主要步骤
(1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)；
(2)再计算时间的改变量t2－t1；
(3)得平均速度v＝.
[跟踪训练]
一物体按运动方程s(t)＝运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为( )
A．－1 B．－
C．－2 D．2
解析：选B ＝＝－1＝－.
1．某物体的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1，2]内的平均速度为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
解析：选D ＝＝－3.
2．函数f(x)＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 平均变化率为＝＝5.
3．物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为s＝s(t)．在运动的过程中测得了一些数据，如下表：
t/s 0 2 5 10 13 15
s/m 0 6 9 20 32 44
物体在0 s到2 s和10 s到13 s这两段时间内，哪一段时间运动得快？如何刻画物体运动的快慢？
解：通常用平均速度(即路程相对于时间的平均变化率)来比较运动的快慢．
在0 s到2 s这段时间内，物体的平均速度为＝3(m/s)；
在10 s到13 s这段时间内，物体的平均速度为＝4(m/s)．
显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快．
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5第二课时 导数的几何意义
从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的．例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同．
[问题] 如果设曲线的方程为y＝f(x)，A(x0，f(x0))，那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？
知识点一 导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k0＝_＝f′(x0)．
知识点二 导函数概念
1．定义：若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数．
2．记法：f′(x)即f′(x)＝_．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？
提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2.函数y＝f(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f′(x1)、f′(x2)和f′(x3)的大小吗？
提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA>kB，在C处的切线斜率小于零，所以f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)．
1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x)＞0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
答案：B
2．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4 B．－4
C．－2 D．2
答案：D
3．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有________是它的切线．
答案：y轴
求曲线的切线方程
[例1] (链接教科书第184页习题4题)已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C在点P(2，4)处的切线方程．
[解] ∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上，
∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为
k＝
＝ ＝4.
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
[母题探究]
(变条件)若将本例中的条件“在点P(2，4)”处换为“过点P(2，4)”，其他条件不变，结论又如何呢？
解：设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x＋\f(4,3)))，则切线的斜率为
k＝ eq \f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（x0＋Δx）3＋\f(4,3)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(4,3))),Δx)＝x，
∴切线方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(4,3)))＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2，4)在切线上，
∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0.
∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
1．已知曲线上一点P(x0，f(x0))，求在该点处切线方程的三个步骤
2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤
(1)设切点(x0，f(x0))；
(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝ ；
(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率；
(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k；
(5)根据点斜式写出切线方程；
(6)将切线方程化为一般式．
[跟踪训练]
过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为( )
A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
B．x－y－2＝0
C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0
D．x－y＋2＝0
解析：选A 显然点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上，
若切点为(1，－1)，则由f′(1)＝
＝
＝[(Δx)2＋3Δx＋1]＝1，
∴切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，即x－y－2＝0.
若切点不是(1，－1)，设切点为(x0，y0)，
则k＝＝eq \f(x－2x0＋1,x0－1)＝eq \f(（x－x0）－（x0－1）,x0－1)
＝x＋x0－1，
又由导数的几何意义知
k＝f′(x0)＝
＝ eq \f(（x0＋Δx）3－2（x0＋Δx）－（x－2x0）,Δx)＝3x－2，
∴x＋x0－1＝3x－2，∴2x－x0－1＝0，
∵x0≠1，∴x0＝－.
∴k＝x＋x0－1＝－，
∴切线方程为y－(－1)＝－(x－1)，
即5x＋4y－1＝0，故选A.
求切点坐标
[例2] 已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，试求出切点的坐标．
(1)切线的倾斜角为45°；
(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；
(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
[解] 设切点坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴＝4x0＋2Δx，
当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1.
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，
∴切点的坐标为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，
∴切点坐标为(1，3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
则k·＝－1，即k＝8，
即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为(2，9)．
求切点坐标可以按以下步骤进行
(1)设出切点坐标；
(2)利用导数或斜率公式求出斜率；
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[跟踪训练]
直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的值为___________，切点坐标为____________．
解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，
因为f′(x)＝ ＝3x2－2x，
则f′(x0)＝3x－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－，
当x0＝1时，y0＝x－x＋1＝1，
又(x0，y0)在直线y＝x＋a上，
将x0＝1，y0＝1代入得a＝0与已知条件矛盾舍去．
当x0＝－时，y0＝－＋1＝，
则切点坐标为，将代入直线y＝x＋a中得a＝.
答案：
导数几何意义的应用
[例3] (链接教科书第184页习题3题)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A．0B．0C．0D．0[解析] kAB＝＝f(3)－f(2)，
f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，
f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，
根据题图可知0[答案] C
导数与函数图象升降的关系
若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．
[跟踪训练]
已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
解析：选B 由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由题图可知f′(xA)1．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析：选C f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．
2．曲线f(x)＝－在点M(1，－2)处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4
解析：选C ＝＝，所以当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.所以直线方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.故选C.
3．已知曲线y＝x3上一点P，求：
(1)点P处的切线的斜率；
(2)点P处的切线方程．
解：(1)由y＝x3，得f′(x)＝
＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，
∴f′(2)＝22＝4.
所以点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程为y－＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0.
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7瞬时变化率——导数
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想 数学抽象
2.体会极限思想 数学抽象
3.通过函数图象直观理解导数的几何意义 直观想象
第一课时 瞬时变化率与导数
在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如：
(1)摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛；
(2)冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；
(3)净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本．
[问题] 上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个量的函数的瞬时变化率，它在数学上称为什么？
知识点一 曲线上一点处的切线
设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l.这条直线称为曲线在点P处的切线．
知识点二 瞬时速度与瞬时加速度
1．瞬时速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
2．瞬时加速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
瞬时速度与平均速度的区别和联系
区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在某一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．
联系：瞬时速度是平均速度的极限值．
1．如果质点A按照规律s(t)＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
解析：选B ∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2.∴＝18＋3Δt.
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于18，即质点A在t0＝3时瞬时速度为18.
2．一质点沿直线作加速运动，假设t秒时的速度为v(t)＝t2＋10，则质点在t＝3时的瞬时加速度a＝________．
解析：质点在t＝3到t＝3＋Δt的时间内平均加速度为
＝＝＝＝6＋Δt，
当Δt无限趋近于0时无限趋近于6，
即质点在t＝3时瞬时加速度为6.
答案：6
知识点三 导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
即f′(x0)＝ _ .
对导数概念的理解
“Δx→0”的含义是Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.这里的极限思想就是无穷逼近思想，即f′(x0)等于当x0＋Δx无穷逼近x0时，y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数与Δx值的正、负有关吗？
提示：无关．
1．在f′(x0)＝ 中，Δx不可能为( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
答案：C
2．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
解析：选C f′(0)＝
＝ ＝ (Δx－3)＝－3.故选C.
求曲线在某点处切线的斜率
[例1] (链接教科书第178页例5)用割线逼近切线的方法求曲线f(x)＝x2－1在x＝－2处的切线的斜率．
[解] 设P(－2，3)，Q(－2＋Δx，(－2＋Δx)2－1)，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝－4＋Δx，当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数－4.从而曲线y＝f(x)在点P(－2，3)处的切线斜率为－4.
用割线逼近法求曲线在某点处切线斜率的方法
第一步：取点P(x0，y0)附近一点Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))；
第二步：求割线PQ的斜率；
第三步：当Δx→0时，求kPQ趋近于某一个常数m，m即为曲线在点P(x0，y0)处切线的斜率．
[跟踪训练]
用割线逼近的方法求曲线f(x)＝在x＝2处切线的斜率．
解：设P，Q，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝.
当Δx→0时，kPQ→－，
从而曲线y＝f(x)＝在x＝2处的切线斜率为k＝－.
求瞬时速度与瞬时加速度
[例2] (链接教科书第180页例6)一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位：m/s)为y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义．
[解] 在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6)．
根据导数的定义，＝
＝
＝－Δt＋2，
所以v′(2)＝ ＝ (－Δt＋2)＝2.
同理可得v′(6)＝－6.
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与－6 m/s2.说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s.
1．求运动物体瞬时加速度的三个步骤
(1)求速度的改变量Δv＝v(t0＋Δt)－v(t0)；
(2)求平均加速度＝；
(3)当Δt→0时，求极限 .
2．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝ .
[跟踪训练]
一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解：质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为
＝＝＝4a＋aΔt，
∴ ＝4a＝8，
即a＝2.
利用定义求函数在某一点处的导数
[例3] (链接教科书第181页例7)利用导数的定义求函数y＝f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
[解] Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，
∵＝＝3Δx＋4，
∴f′(1)＝ ＝ (3Δx＋4)＝4.
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差、二比、三极限．
[跟踪训练]
利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
解：由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝ ，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝ ＝ (－Δx－1)＝－1.
1．曲线y＝x2＋x在x＝1处切线的斜率为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选A 设P(1，2)，Q(1＋Δx，(1＋Δx)2＋1＋Δx)，
则kPQ＝＝3＋Δx，
当Δx→0时，kPQ→3.故选A.
2．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________．
解析：因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，
所以 ＝ (14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，
所以t0＝1.
答案：1
3．求函数y＝x－在x＝1处的导数．
解：因为Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，所以＝＝1＋.
所以f′(1)＝ ＝ ＝2，
所以函数y＝x－在x＝1处的导数为2.
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6基本初等函数的导数
新课程标准解读 核心素养
1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数 数学运算
2.会使用导数公式表 数学运算
已知函数：
①y＝f(x)＝c；②y＝f(x)＝x；③y＝f(x)＝x2；
④y＝f(x)＝；⑤y＝f(x)＝.
[问题] (1)函数y＝f(x)＝c的导数是什么？
(2)函数②③④⑤的导数分别是什么？
(3)函数②③⑤均可表示为y＝xα(α为常数)的形式，其导数有何规律？
知识点一 几个常用函数的导数
常用函数的求导公式
(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；
(2)C′＝0(C为常数)；
(3)(x)′＝1；
(4)(x2)′＝2x；
(5)(x3)′＝3x2；
(6)′＝－；
(7)()′＝ .
1．常数函数的导数为0说明什么？
提示：说明常数函数f(x)＝C图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴．
2．若f(x)是偶函数，则f′(x)是奇函数还是偶函数？
提示：奇函数．
1．(多选)下列结论正确的是( )
A．若f(x)＝0，则f′(x)＝0
B．若f(x)＝5x，则f′(x)＝5
C．若f(x)＝x－1，则f′(x)＝－x－2
D．若f(x)＝x，则f′(x)＝x
答案：ABC
2．若f(x)＝cos，则f′(x)＝( )
A．－ B．－
C．0 D.
答案：C
知识点二 基本初等函数的导数
基本初等函数的求导公式
(8)(xα)′＝αxα－1(α为常数)；
(9)(ax)′＝axln_a(a>0，且a≠1)；
(10)(ex)′＝ex；
(11)(loga x)′＝loga e＝(a>0，且a≠1)；
(12)(ln x)′＝；
(13)(sin x)′＝cos_x；
(14)(cos x)′＝－sin_x．
应用求导公式时应注意的问题
(1)对于公式(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化；
(2)对于公式(ln x)′＝和(ex)′＝ex很好记，但对于公式(logax)′＝和(ax)′＝axln a的记忆就较难，特别要注意ln a所在的位置．
1．下列说法正确的个数为( )
①若f(x)＝，则f′(x)＝×2＝1；
②若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x；
③f(x)＝，则f′(x)＝－.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选B 只有③正确．
2．曲线y＝xα在x＝2处的导数为12，则α＝________．
解析：因为y′＝αxα－1，所以α2α－1＝12，解得α＝3.
答案：3
利用导数公式求函数导数
[例1] (链接教科书第188页练习2题)求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x12；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝3x；(5)f(x)＝log5x.
[解] (1)f′(x)＝(x12)′＝12x11.
(2)f′(x)＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)f′(x)＝()′＝(x)′＝x－.
(4)f′(x)＝(3x)′＝3xln 3.
(5)f′(x)＝(log5x)′＝.
求简单函数的导函数的两种基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
[跟踪训练]
求下列函数的导数：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x；(3)f(x)＝logx.
解：(1)f′(x)＝′＝ln ＝－ln 2.
(2)f′(x)＝(x)′＝(x)′＝x＝.
(3)f′(x)＝′＝＝－.
利用导数公式解决切线问题
角度一：求切线的方程
[例2] (链接教科书第188页练习3题)函数f(x)＝在点处的切线方程是( )
A．y＝4x B．y＝－4x＋4
C．y＝4x＋4 D．y＝2x－4
[解析] ∵f′(x)＝′＝－x－2，
∴k＝f′＝－＝－4，
∴切线方程为y－2＝－4，
即y＝－4x＋4.
[答案] B
角度二：求参数值
[例3] (链接教科书第188页练习4题)已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________．
[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，由题意得y′＝＝k，又y0＝kx0＝1，而且y0＝ln x0＝1，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝.
[答案]
角度三：曲线上的点到直线的最小距离问题
[例4] 设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
[解] 如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小．
设直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0)．
因为y′＝ex，所以e＝1，所以x0＝0.
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1)．
所以点P到直线y＝x的最小距离为＝.
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
[跟踪训练]
(1)求曲线f(x)＝在点B(1，1)处的切线方程；
(2)求曲线g(x)＝ln x的斜率等于4的切线方程．
解：(1)设所求切线的斜率为k.
∵f′(x)＝()′＝x－，k＝f′(1)＝，
∴曲线f(x)＝在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
(2)设切点坐标为(x0，y0)．
∵g′(x)＝，曲线g(x)＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4，
∴g′(x0)＝＝4，得x0＝，∴y0＝－ln 4，
∴切点为，
∴所求切线方程为y＋ln 4＝4，
即4x－y－1－ln 4＝0.
导数的综合应用
[例5] (1)质点的运动方程是S(t)＝sin t，则质点在t＝时的速度为________，质点运动的加速度为________．
(2)从时刻t＝0开始的t(单位：秒)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．
(1)[解析] v(t)＝S′(t)＝cos t，
∴v＝cos ＝.
即质点在t＝时的速度为.
∵v(t)＝cos t，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
[答案] －sin t
(2)[解] 由q＝cos t得q′＝－sin t，
所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，
即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安．
导数的综合应用的解题技巧
(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在；
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析．
[跟踪训练]
曲线y＝x在点(1，1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 可求得y′＝x－，即曲线y＝x在点(1，1)处的切线斜率为，切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴的交点坐标为，与x＝2的交点坐标为，围成三角形面积为××＝.
1．设函数f(x)＝cos x，则′＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．以上均不正确
解析：选A 注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故选A.
2．下列各式中正确的是( )
A．(logax)′＝ B．(logax)′＝
C．(3x)′＝3x D．(3x)′＝3xln 3
解析：选D 由(logax)′＝，可知A，B均错；由(3x)′＝3xln 3可知D正确．
3．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则满足f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．
解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.
因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，
即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－.
答案：1或－
4．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________．
解析：∵f′(x)＝，
∴f′(1)＝＝－1.
∴ln a＝－1，即a＝.
答案：
5．求与曲线y＝在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程．
解：因为y＝，所以y′＝()′＝(x)′＝xeq \s\up6(－)).
即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为.所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.
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7函数的和、差、积、商的导数
新课程标准解读 核心素养
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数 数学运算
已知f(x)＝x，g(x)＝.Q(x)＝f(x)＋g(x)，H(x)＝f(x)－g(x)．
[问题] (1)f(x)，g(x)的导数分别是什么？
(2)试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数．并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系．
知识点 函数的和、差、积、商的求导法则
1．条件：f(x)，g(x)是可导的．
2．结论：(1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)；
(2)(Cf(x))′＝Cf′(x)(C为常数)；
(3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(4)＝(g(x)≠0)．
应用导数公式的注意事项
(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)；
(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．同上可推广到有限个函数的函数乘积的导数即：①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)；
②[u(x)v(x)…w(x)]′＝u′(x)v(x)…w(x)＋u(x)·v′(x)…w(x)＋…＋u(x)v(x)…w′(x)．
(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；
(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．
1．函数y＝sin x·cos x的导数是( )
A．y′＝cos 2x＋sin 2x B．y′＝cos 2x
C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
答案：B
2．函数y＝xcos x－sin x的导数为________．
答案：－xsin x
3．函数f(x)＝x＋在x＝1处的导数是________．
解析：因为f′(x)＝＝x′＋＝1－，
所以f′(1)＝1－1＝0.
答案：0
利用函数的和、差、积、商的求导法则求导
[例1] (链接教科书第190页例2，例3)求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x2＋log3x；(2)f(x)＝x3·ex；
(3)f(x)＝.
[解] (1)f′(x)＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′
＝2x＋.
(2)f′(x)＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′
＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．
(3)f′(x)＝′＝
＝＝－.
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式；
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等；
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
[跟踪训练]
求下列函数的导数：
(1)f(x)＝sin x－2x2；(2)f(x)＝cos x·ln x；
(3)f(x)＝.
解：(1)f′(x)＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′＝cos x－4x.
(2)f′(x)＝(cos x·ln x)′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′
＝－sin x·ln x＋.
(3)f′(x)＝′＝
＝＝.
与切线有关的综合问题
[例2] 已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求直线l2的方程．
[解] ∵y′＝2x＋1，∴直线l1在点(1，0)处的斜率为2×1＋1＝3，
由直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点B(b，b2＋b－2)，
则曲线在点B处的切线的斜率为2b＋1.
∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－，即b＝－，
∴B，
故直线l2的方程为y＝－x－.
[母题探究]
(变设问)若本例条件不变，试求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
解：解方程组得
∴直线l1和l2的交点坐标为.
又l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1，0)，，
故所求三角形的面积为S＝××＝.
导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．解决此类问题的方法为先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
[跟踪训练]
1．若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a的值为( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
解析：选A 设过点(1，0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，
则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，
即y＝3xx－2x.
又点(1，0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，直线方程为y＝0.
由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－.
当x0＝时，直线方程为y＝x－.
由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.
2．已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)．
(1)求f(1)＋f′(1)；
(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ax2＋ln x，
得f′(x)＝2ax＋，
所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，
即f′(x)＝0，所以2ax＋＝0有正实数解，
即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0).
利用函数的导数求参数
[例3] (1)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝f(x)＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
(2)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点(1，5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________________．
[解析] (1)y′＝f′(x)＝aex＋ln x＋1，
k＝f′(1)＝ae＋1，
∴ 切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
又∵ 切线方程为y＝2x＋b，
∴ 即a＝e－1，b＝－1.故选D.
(2)因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f′(1)＝0，f′(2)＝0，
f(1)＝5，所以解得
故函数f(x)的解析式是f(x)＝2x3－9x2＋12x.
[答案] (1)D (2)f(x)＝2x3－9x2＋12x
利用导数求参数的常见题型
利用导数求参数，常涉及(1)已知曲线的切线(导数的几何意义)求参问题；(2)已知导函数的图象求原函数问题(或某点处的函数值)，这些都要根据导数的几何意义或某点处的导数值列方程(组)求解参数．特别地由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了．解题时应考虑二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数等对图象的影响．
[跟踪训练]
如图有一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝( )
A. B．－
C. D．－或
解析：选B f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)]·[x＋(a－1)]，图①与②中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图③中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图③知f′(0)＝0，由根与系数的关系得解得a＝－1.故f(x)＝x3－x2＋1，所以f(－1)＝－.
1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为( )
A．1 B.
C．－1 D．0
解析：选A ∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，
又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
2. 已知物体的运动方程为s(t)＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵s′(t)＝2t－，∴s′(2)＝4－＝.
3．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝(x－2)(x2＋2x＋4)；
(2)f(x)＝－2x.
解：(1)法一：f′(x)＝(x－2)′(x2＋2x＋4)＋(x－2)(x2＋2x＋4)′＝x2＋2x＋4＋(x－2)(2x＋2)＝3x2.
法二：∵f(x)＝(x－2)(x2＋2x＋4)＝x3－8.
∴f′(x)＝3x2.
(2)f′(x)＝－2x·ln 2
＝－2x·ln 2
＝＋ln x－2xln 2.
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6简单复合函数的导数
新课程标准解读 核心素养
能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数 数学运算
假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且y＝f(u)＝60u－u2，u＝g(x)＝60－3x.
那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有y＝60u－u2＝60(60－3x)－(60－3x)2＝180x－9x2.
上式也可这样得到：f(g(x))＝60g(x)－[g(x)]2＝180x－9x2.
[问题] (1)函数f(g(x))与f(x)和g(x)是什么关系？
(2)设y＝f(g(x))＝180x－9x2，求y′，并观察f′(u)和u′＝g′(x)的关系．
知识点 复合函数
1．概念：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．求导法则：一般地，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则yx′＝yu′·ux′，即yx′＝yu′·a.
求复合函数的导数的注意点
(1)分解的函数通常为基本初等函数；
(2)求导时分清是对哪个变量求导；
(3)计算结果尽量简洁，最后要把中间变量换成自变量x的函数．
1．已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．这三个函数都是复合函数吗？
提示：函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数．
2．试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？
提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．
1．函数y＝cos 2x的导数为( )
A．y′＝sin 2x B．y′＝－sin 2x
C．y′＝－2sin 2x D．y′＝2sin 2x
解析：选C y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x.
2．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________．
解析：f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，
∴f′(0)＝10.
答案：10
简单复合函数求导
[例1] (链接教科书第191页例4)求下列函数的导数：
(1)y＝ecos x＋1；(2)y＝log2(2x＋1)；
(3)y＝2sin；(4)y＝ .
[解] (1)设y＝eu，u＝cos x＋1，
则y′ x＝y′ u·u′ x＝eu·(－sin x)
＝－ecos x＋1sin x.
(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y′ x＝y′ u·u′ x＝＝.
(3)设y＝2sin u，u＝3x－，
则y′ x＝y′ u·u′ x＝2cos u×3＝6cos.
(4)设y＝ueq \s\up7(－)，u＝1－2x，
则y′ x＝y′ u·u′ x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ueq \s\up7(－))))′·(1－2x)′
＝－ueq \s\up7(－)×(－2)＝(1－2x) eq \s\up7(－).
复合函数求导数的步骤
[跟踪训练]
求下列函数的导数：
(1)y＝103x－2；
(2)y＝ln(ex＋x2)；
(3)y＝sin4x＋cos4x.
解：(1)令u＝3x－2，则y＝10u，
所以y′ x＝y′ u·u′ x＝10uln 10·(3x－2)′
＝3×103x－2ln 10.
(2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u，
所以y′ x＝y′ u·u′ x＝·(ex＋x2)′
＝·(ex＋2x)＝.
(3)因为y＝sin4x＋cos4x
＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x
＝1－sin22x＝1－(1－cos 4x)
＝＋cos 4x，
所以y′＝′＝－sin 4x.
复合函数与导数的运算法则的综合应用
[例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝x；
(3)y＝xcossin.
[解] (1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝，
∴y′＝
＝＝.
(2)y′＝(x)′
＝x′＋x()′
＝＋
＝.
(3)∵y＝xcossin
＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，
∴y′＝′
＝－sin 4x－cos 4x·4
＝－sin 4x－2xcos 4x.
1．在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
2．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
[跟踪训练]
求下列函数的导数：
(1)y＝sin2；(2)y＝sin3x＋sin x3.
解：(1)∵y＝，
∴y′＝(－)′＝sinx.
(2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
复合函数的导数与导数几何意义的综合应用
[例3] 设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切，求a，b的值．
[解] 由曲线y＝f(x)过(0，0)点，
可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得
f′(x)＝＋＋a，
则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，
此即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．
由题意，得＋a＝，故a＝0.
本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
[跟踪训练]
曲线y＝esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
解：设u＝sin x，
则y′＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′＝cos xesin x，
故曲线在点(0，1)处的斜率k＝cos 0esin 0＝1.
则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.
两平行线间的距离d＝＝，解得c＝3或c＝－1.
故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
导函数的奇偶性及周期性探究
1．若f(x)＝xα(x∈Q，且α≠0)，则f′(x)＝αxα－1，
如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，g(x)＝x4，g′(x)＝4x3.
2．若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x.
3．若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x.
[问题探究]
由上述导数公式可以归纳猜想以下命题成立．
命题(1)奇函数的导数是偶函数；
(2)偶函数的导数是奇函数；
(3)周期函数的导数还是周期函数．
提示：(1)设f(x)是可导的奇函数，则有f(－x)＝－f(x)，两边对x求导，得f′(－x)·(－x)′＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，f′(－x)＝f′(x)，从而f′(x)为偶函数，故原命题成立．
(2)设f(x)是可导的偶函数，则f(－x)＝f(x)，两边对x求导，得f′(－x)×(－x)′＝f′(x)，即－f′(－x)＝f′(x)，从而f′(x)是奇函数，故原命题成立．
(3)设f(x)为可导的周期函数，T为f(x)的一个周期，则对定义域内的每一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，两边同时对x求导得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，从而f′(x)也是以T为周期的周期函数，故原命题成立．
[迁移应用]
1.证明：可导函数y＝f(x)的图象关于点(a，f(a))中心对称的充要条件是导函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝a对称．
证明：必要性：由函数y＝f(x)的图象关于点(a，f(a))中心对称，得f(x)＋f(2a－x)＝2f(a)，于是[f(x)＋f(2a－x)]′＝[2f(a)]′，又[f(2a－x)]′＝f′(2a－x)×(－1)＝－f′(2a－x)，
因此f′(x)－f′(2a－x)＝0，即f′(x)＝f′(2a－x)．
所以导函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝a对称．
充分性：导函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝a对称，则f′(x)＝f′(2a－x)，
即[f(x)＋f(2a－x)]′＝0，于是f(x)＋f(2a－x)＝C(C为常数)．
令x＝a，则有2f(a)＝C.所以f(x)＋f(2a－x)＝2f(a)．
因此可导函数y＝f(x)的图象关于点(a，f(a))中心对称．
2．证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函数y＝f′(x)的图象关于点(a，0)中心对称．
证明：必要性：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(x)＝f(2a－x)，于是f′(x)＝[f(2a－x)]′，故f′(x)＝－f′(2a－x)，
即f′(x)＋f′(2a－x)＝0.
因此导函数y＝f′(x)的图象关于点(a，0)中心对称．
充分性：导函数y＝f′(x)的图象关于点(a，0)中心对称，则f′(x)＋f′(2a－x)＝0.
即[f(x)－f(2a－x)]′＝0，因此f(x)－f(2a－x)＝C(C为常数)．
令x＝a，得C＝0.所以f(x)＝f(2a－x)．
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
1．设f(x)＝sin 2x，则f′(x)＝( )
A．cos 2x B．2cos 2x
C．－cos 2x D．－2cos 2x
解析：选B f′(x)＝(sin 2x)′(2x)′＝2cos 2x.
2．设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)＝( )
A．1 B.
C．－1 D．－2
解析：选B f′(x)＝－6x，故f′(0)＝－0＝.
3．函数y＝的导数y′＝________．
解析：y＝(3x－1)－2，
设y＝u－2，u＝3x－1，
yx′＝yu′·ux′＝(u－2)′·(3x－1)′
＝－2u－3·3＝－6(3x－1)－3＝－ .
答案：－
4．已知f(x)＝ln(3x－1), 则f′(1)＝________．
解析：∵f′(x)＝·(3x－1)′＝，
∴f′(1)＝.
答案：
5．设曲线f(x)＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
解析：由题意知f′(x)＝aeax，∴f′(0)＝a＝2.
答案：2
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7单调性
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系 数学抽象、直观想象
2.能利用导数研究函数的单调性 逻辑推理、数学运算
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间 数学运算
如果函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，那么对任意的x1，x2∈(a，b)，当x10，即>0.这表明，函数的平均变化率与其单调性密切相关．进一步猜想，函数的瞬时变化率(即导数)与其单调性也密切相关．
[问题] 导数与函数的单调性有什么联系？
知识点 函数的单调性与其导数正负的关系
对于函数y＝f(x)：
(1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的函数；
(2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的函数．
对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明
(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)；
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
答案：D
2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减
D．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增
答案：A
3.如图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？
解：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2，1]，[3，＋∞)；
单调递减区间：[－3，－2]，[1，3]．
导数与单调性的关系
角度一：根据原函数图象确定导函数图象
[例1] 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的( )
[解析] 由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：
x [－1，b) [b，a) [a，1]
f(x) 单调递减 单调递增 单调递减
f′(x) － ＋ －
由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈[－1，b)时，在x轴下方；当x∈[b，a)时，在x轴上方；当x∈[a，1]时，在x轴下方．故选C.
[答案] C
对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在该区间内导数值大于零．在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图象．
角度二：由导函数图象确定原函数图象
[例2] (1)已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是图中的( )
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )
[解析] (1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：
x (－∞，0] (0，2] (2，＋∞)
f′(x) ＋ － ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
由表可知f(x)在(－∞，0]内单调递增，在(0，2]内单调递减，在(2，＋∞)内单调递增，故满足条件的只有C，故选C.
(2)从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓．
[答案] (1)C (2)D
通过观察导函数图象，确定导数值正负所在区间，也就确定了增减区间；根据导函数图象的变化，可确定原函数增减快慢．
[跟踪训练]
1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( )
解析：选C 原函数的单调性是当x<0时，增；当x>0时，单调性变化依次为增、减、增．故当 x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.故选C.
2．已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
解析：选C 当 0∴f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上单调递减；
当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
故y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增．故选C.
求函数的单调区间
角度一：不含参数的函数求单调区间
[例3] 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x2－2ln x；
(2)f(x)＝x2·e－x.
[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f′(x)＝6x－＝＝.
令f′(x)>0得x>，
令f′(x)<0得0∴函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2·(e－x)′
＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)．
令f′(x)>0得0令f′(x)<0得x>2或x<0.
故增区间为(0，2)，减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．
利用导数求函数的单调区间的思路方法
求可导函数f(x)的单调区间一般有两种方法：
(1)解不等式法：步骤如下：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，并写出解集；④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间．
(2)列表法：步骤如下：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0；④列表；⑤得出结论．
角度二：含参数的函数求单调区间
[例4] 试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
[解] 函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k>0时，由f′(x)<0，即<0，解得0由f′(x)>0，即>0，解得x>.
∴当k>0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k>0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
含参数的函数求单调区间的2点注意
(1)讨论参数要全面，做到不重不漏；
(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．
[跟踪训练]
设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞ )上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
已知函数的单调性求参数的范围
[例5] 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．
[解析] 由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增可得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞)．
[答案] [1，＋∞)
[母题探究]
1．(变条件)若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围．
解：∵f′(x)＝k－，
且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)＝k－≤0在(1，＋∞)上恒成立，
即k≤，∵0<<1，∴k≤0.
即k的取值范围为(－∞，0]．
2．(变条件)若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围．
解：f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－.
当k≤0时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不合题意．
当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝，
只需∈(1，＋∞)，即>1，则0∴k的取值范围是(0，1)．
1．利用导数求参数范围的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max；
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝.
由函数f(x)在(－2，＋∞)内单调递减，
知f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，
即≤0在(－2，＋∞)内恒成立，因此a≤.
当a＝时，f(x)＝，此时函数f(x)为常数函数，
故a＝不符合题意，舍去．
故实数a的取值范围为.
答案：
1．函数f(x)＝2x＋cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．单调性不确定 D．是奇函数
解析：选A ∵f′(x)＝2－sin x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象只可能是下列各选项中的( )
解析：选C ∵导数的正负确定了函数的单调性，
∴从函数f′(x)的图象可知，令f′(x)＝0，
得x＝0或x＝a(a>0)，
∴函数在(－∞，0)上递减，在(0，a)上递增，在(a，＋∞)上递减，故选C.
3．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
(2)f(x)＝sin x－x(0解：(1)f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)<0解得－3故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
减区间是(－3，2)．
(2)f′(x)＝cos x－1.
因为0故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)．
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8极大值与极小值
新课程标准解读 核心素养
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 数学抽象
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值 直观想象
横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．
在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点．
[问题] 观察下图中的函数图象，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，应用什么数学语言来描述？
知识点一 函数的极值
1．极大值：若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．
2．极小值：若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时都有f(x)≥f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极小值，函数的极大值、极小值统称为函数的极值．
函数的极大值一定大于极小值吗？
提示：不一定，如图中c处的极小值大于f处的极大值．
知识点二 函数的极值与导数的关系
1．极大值与导数的关系
x x1左侧 x1 x1右侧
f′(x) f′(x)0 f′(x)＝0 f′(x)0
f(x) ? 极值f(x1) ?
2．极小值与导数的关系
x x2左侧 x2 x2右侧
f′(x) f′(x)0 f′(x)＝0 f′(x)0
f(x) ? 极值f(x2) ?
1．导数为0的点都是极值点吗？
提示：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．
2．函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？
提示：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．
1．(多选)下列函数在x＝0处取得极小值的是( )
A．y＝cos x B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
答案：BC
2.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A．在(1，2)上函数f(x)为增函数
B．在(3，4)上函数f(x)为减函数
C．在(1，3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点
解析：选D 根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f′(x)>0，x∈(2，4)时，f′(x)<0，x∈(4，5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点．故选D.
求函数的极值
角度一：求不含参数的函数极值问题
[例1] (链接教科书第199页例4)求函数f(x)＝x2e－x的极值．
[解] 函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′
＝2xe－x－x2·e－x
＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 极小值0 单调递增 极大值4e－2 单调递减
因此当x＝0时，f(x)有极小值，
并且极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝.
角度二：求含参数的函数极值问题
[例2] 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值．
[解] 由f′(x)＝1－＝(x>0)知，
(1)当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
(2)当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根；
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小区间，列表，判定导函数在各个小区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
[跟踪训练]
求函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)的极值．
解：f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，
当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－) － (－， ) (，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值f(－) 单调递减 极小值f() 单调递增
∴f(x)的极大值为f(－)＝2a＋b，
极小值为f()＝－2a＋b.
函数极值的简单应用
[例3] 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)，若函数f(x)在x＝－1处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求f(x)的极小值点与极小值，并画出f(x)的大致图象；
(3)若直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同交点，求m的取值范围．
[解] (1)因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以由f(x)的单调性可知，
f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象如图所示：
(3)因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3，1)．
[母题探究]
1．(变条件)若本例中条件改为“已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝处取得极值”，其他条件不变，求m的取值范围．
解：由题意可得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f′＝0，
可得a＝2，所以f(x)＝－x3＋2x2－4，
则f′(x)＝－3x2＋4x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 极小值－4 单调递增 极大值－ 单调递减
作出函数f(x)的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是.
2．(变条件)若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？
解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．
1．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
2．研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．
3．事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
∴
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， ③
由①②③得a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x.
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1∴x＝－1是f(x)的极大值点，极大值为f(－1)＝1.
x＝1是f(x)的极小值点，极小值为f(1)＝－1.
1. 函数f(x)＝x＋2cos x在上的极大值点为( )
A．0 B.
C. D.
答案：B
2．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析：选D 由f′(x)＝－＋＝＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．
3．求函数f(x)＝的极值．
解：函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? 极大值 ?
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．
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7第二课时 函数最值在实际生活中的应用(习题课)
几何中的最值问题
[例1] (链接教科书第202页例8)有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
[解] 设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，
V(x)＝(a－2x)2x，0即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，0实际问题归结为求V(x)在区间上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点．
在开区间内，
V′(x)＝12x2－8ax＋a2.
令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.
解得x1＝a，x2＝a(舍去)．
当00；
当x1因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以x＝a是V(x)的最大值点．
即当截下的小正方形边长为a时，容积最大．
1．利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．
2．几何中最值问题的求解思路
面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
[跟踪训练]
已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．
解析：设圆柱的底面半径为r，
则S圆柱底＝2πr2，
S圆柱侧＝2πrh，
∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.
∴h＝，
又圆柱的体积V＝πr2h＝(S－2πr2)＝，
V′(r)＝，
令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，∵V′(r)只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的容积最大．
又r＝，∴h＝2＝.
即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.
答案：
用料、费用最少问题
[例2] (链接教科书第203页例9)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
[解] (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mxeq \s\up6(－)＝(x－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64，640)内为增函数，
所以f(x)在x＝64处取得极小值且为最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
实际生活中用料最省、费用最少、损耗最小、最节省时间等问题一般都需要利用导数求解相应函数的最小值．根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．
[跟踪训练]
已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2.∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y元，由题意，
得y＝y1·＝，
∴y′＝＝.
令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.
若v0≥16，当v∈(8，16)时，y′<0，y为减函数；当v∈(16，v0]时，y′>0，y为增函数．故v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．
若v0<16，当v∈(8，v0]时，y′<0，y在(8，v0]上为减函数．
故当v＝v0时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．
综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省；若v0<16，则当v＝v0时，全程燃料费最省.
利润最大问题
[例3] (链接教科书第204页例10)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)·(x－6)2，3＜x＜6.
从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
令f′(x)＝0，解得x＝4或x＝6(舍去)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3，4) 4 (4，6)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
1．经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．
2．关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
[跟踪训练]
某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N*)．
(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；
(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
解：(1)由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．
因为次品率p＝，当每天生产x件时，
有x·件次品，有x件正品．
所以T＝200x－100x·
＝25·(x∈N*)．
(2)T′＝－25·，
由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．
当0三次函数的极值与零点的关系
利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象，当a＝－4，b＝1，c＝5，d＝－1时，f(x)的图象如图所示．改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：
(1)你能归纳函数f(x)的图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？
(2)运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．
[问题探究]
1．给定三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，求导得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.用Δ表示方程f′(x)＝0的根的判别式，有以下结论：
(1)当Δ＝4(b2－3ac)＞0时，有两个极值点；
当Δ＝4(b2－3ac)≤0时，无极值点．
(2)函数f(x)的图象存在水平切线，则f′(x)＝0有实数解，从而Δ＝4(b2－3ac)≥0.
(3)函数在R上单调递增，则a＞0且Δ＝4(b2－3ac)≤0.
2．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，为了描述方便简洁，这里只给出a＞0的情形．令x1，x2为f(x)的极值点，用Δ表示f′(x)＝3ax2＋2bx＋c对应方程的根的判别式，则结合零点存在性定理，有如下结论：
(1)y＝f(x)有一个零点 Δ≤0或f(x1)·f(x2)＞0；
(2)y＝f(x)有两个零点
(3)y＝f(x)有三个零点
3．相应函数图象的情况如下：
(1)三次函数有一个零点意味着函数单调或者极大值和极小值同号，如图①所示；
(2)三次函数有两个零点意味着函数有两个极值点，且其中一个极值点为零点，如图②所示；
(3)三次函数有三个零点，则函数的极大值和极小值异号，如图③所示；
[迁移应用]
1．已知函数f(x)＝x3－3x＋m只有一个零点，则实数m的取值范围是( )
A．[－2，2] B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2，2) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：选B ∵f(x)＝x3－3x＋m，∴f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＞0，得x＞1或x＜－1，此时函数单调递增；
由f′(x)＜0，得－1＜x＜1，此时函数单调递减．
即当x＝－1时，函数f(x)取得极大值；
当x＝1时，函数f(x)取得极小值．
要使函数f(x)＝x3－3x＋m只有一个零点，则需满足f(－1)·f(1)＞0，即(m＋2)(m－2)＞0，解得m＞2或m＜－2.
综上，实数m的取值范围是m＜－2或m＞2.
2．若x3＋ax＋1＝0有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．
解：令f(x)＝x3＋ax＋1，则f′(x)＝x2＋a.
由f(x)＝0有两个不同的实数根，得
由Δ＞0，得a＜0，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－，
所以f(x1)＝()3＋a＋1＝－(－a)＋1，
f(x2)＝(－)3－a＋1＝(－a)＋1，
则f(x1)·f(x2)＝·＝1－(－a)3＝0，解得a＝－.
综上，实数a的取值为－.
3．若2x3＋3(1－2a)x2＋6a(a－1)x＝0有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．
解：令f(x)＝2x3＋3(1－2a)x2＋6a(a－1)x，则f′(x)＝6x2＋6(1－2a)x＋6a(a－1)＝6(x－a)(x－a＋1)．
由f(x)＝0有三个不同的实数根，得
Δ＝36＞0，显然成立，令f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝a－1，
所以f(x1)＝2a3－3a2＝a2(2a－3)，f(x2)＝(a－1)2·(2a－2＋3－6a＋6a)＝(a－1)2(1＋2a)，
则f(x1)·f(x2)＝a2(2a－3)(a－1)2(1＋2a)＜0，解得－＜a＜0或0＜a＜1或1＜a＜.
综上，实数a的取值范围是∪(0，1)∪.
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
解析：选C 瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0，5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.
2．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当00，
故x＝5是f(x)的极小值同时为最小值点，对应的最小值为
f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
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8最大值与最小值
新课程标准解读 核心素养
1.能利用导数求某些函数的在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值 数学运算
2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系 直观想象
第一课时 函数的最大值与最小值
观察如图所示的函数y＝f(x)，x∈[－3，2]的图象，回忆函数最值的定义，回答下列问题：
[问题] (1)图中所示函数的极值点与极值分别是什么？
(2)图中所示函数最值点与最值分别是什么？
知识点 函数的最大(小)值
1．定义：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值(最小值)．
2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在区间(a,_b)上的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
函数极值与最值的关系
(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念；
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．
1．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x)( )
A．最大值为4，最小值为－4
B．最大值为4，无最小值
C．最小值为－4，无最大值
D．既无最大值，也无最小值
答案：B
2．函数f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为________．
答案：1
3．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
答案：(－4，－2)
求函数的最值
[例1] (链接教科书第201页例6)求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]；
(2)f(x)＝.
[解] (1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]，
所以f′(x)＝6x2－12
＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，
解得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x －2 (－2，－) － (－，) (，3) 3
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 8 ? 8 ? －8 ? 18
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，
f()＝－8，f(－)＝8，
所以当x＝时，
f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，
f(x)取得最大值18.
(2)函数f(x)＝的定义域为R.
f′(x)＝＝，
当f′(x)＝0时，x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x (－∞，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? ?
∴f(x)在(－∞，2)上单调递增，
在(2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝.
求函数最值的四个步骤
第一步求函数的定义域；
第二步求f′(x)，解方程f′(x)＝0；
第三步列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；
第四步求极值、端点值，确定最值．
[跟踪训练]
1．函数y＝x＋2cos x在上取最大值时，x的值为( )
A．0 B.
C. D.
解析：选B y′＝1－2sin x，令y′＝0，得sin x＝，
∵x∈，∴x＝. 由y′>0得sin x<，
∴0≤x<；由y′<0得sin x>，∴∴原函数在上单调递增，在上单调递减．当x＝0时，y＝2，当x＝时，y＝，当x＝时，y＝＋，∵＋>2>，∴当x＝时取最大值，故选B.
2．求函数f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5在区间[－2，＋∞)上的最值．
解：f′(x)＝12x2＋6x－36，令f′(x)＝0，
得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －2
f′(x) 0 － 0 ＋
f(x) 57 单调递减 极小值－ 单调递增
由于当x＞时，f′(x)＞0，
所以f(x)在上单调递增．
因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值.
由函数的最值求参数的取值范围
[例2] (1)函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a等于( )
A．3 B．1
C．2 D．－1
(2)已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2，2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2，2]上的最大值．
(1)[解析] f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，
又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，
则f(2)最大，即a＋2＝3，
所以a＝1.
[答案] B
(2)[解] f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.
f(0)>f(2)>f(－2)，
所以当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3.
所以当x＝0时，f(x)max＝3.
已知函数最值求参数的步骤
(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；
(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；
(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1，2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：存在．显然a≠0.
f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x [－1，0) 0 (0，2]
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
所以当x＝0时，f(x)取得极大值且为最大值，所以f(0)＝b＝3.
又因为f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)．
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，
即－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x [－1，0) 0 (0，2]
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
所以当x＝0时，f(x)取得极小值且为最小值，所以b＝－29.
又因为f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，
f(2)>f(－1)．
所以当x＝2时，f(x)取得最大值，
所以f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2，
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
最值的简单应用
[例3] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求f(x)在[－1，2]上的最大值与最小值；
(2)若对x∈[－1，2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．
[解] (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′＝－a＋b＝0，解得a＝－，b＝－2，
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝1，
当x变化时f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x －1 － 1 (1，2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ＋c ? ＋c ? －＋c ? 2＋c
由上表可知f(x)的最大值是f(2)＝2＋c，f(x)的最小值是f(1)＝－＋c.
(2)要使f(x)＜c2恒成立，只需c2＞f(x)max，
即c2＞f(2)＝2＋c，
解得c＞2或c＜－1，
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[母题探究]
(变设问)若本例中条件不变，“把(2)中对x∈[－1，2]，不等式f(x)解：由本例(1)知当x＝1时，f(1)＝c－为极小值，
又f(－1)＝＋c>c－，
所以f(1)＝c－为最小值．
因为存在x∈[－1，2]，不等式f(x)所以只需c2>f(1)＝c－，即2c2－2c＋3＞0，
解得c∈R.
恒成立问题向最值转化的方法
(1)要使不等式f(x)f(x)max，则上面的不等式恒成立；
(2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立．
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)≤m2＋m＋在[－4，3]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝x2＋a，由f′(2)＝0，得a＝－4；
再由f(2)＝－，得b＝4.
所以f(x)＝x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝x2－4>0，得x>2或x<－2.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．
(2)因为f(－4)＝－，f(－2)＝，f(2)＝－，
f(3)＝1，
所以函数f(x)在[－4，3]上的最大值为.
要使f(x)≤m2＋m＋在[－4，3]上恒成立，
只需m2＋m＋≥，解得m≥2或m≤－3.
所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
构造函数证明(求解)不等式
[问题探究]
利用导数证明不等式(或求解不等式)关键是构造函数，构造的函数类型有如下几种：
(1)对于f′(x)＞g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x)，更一般地，遇到f′(x)＞a(a≠0)，即导函数大于某个非零常数(若a＝0，则无需构造)，则可构造h(x)＝f(x)－ax；
(2)对于f′(x)＋g′(x)＞0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)；
(3)对于f′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝exf(x)；
(4)对于f′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝；
(5)对于xf′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝xf(x)；
(6)对于xf′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝；
(7)对于＞0，分类讨论：①若f(x)＞0，则构造h(x)＝lnf(x)；②若f(x)＜0，则构造h(x)＝ln [－f(x)]．
[迁移应用]
1．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)＞1，则不等式exf(x)＞ex＋1的解集是( )
A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}
C．{x|x＜－1或x＞1} D．{x|x＜－1或0＜x＜1}
解析：选A 构造函数g(x)＝exf(x)－ex－1，
则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．
由已知f(x)＋f′(x)＞1，可得g′(x)＞0，
所以g(x)为R上的增函数．
又因为g(0)＝e0f(0)－e0－1＝0，
所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝0，即exf(x)＞ex＋1.故不等式exf(x)＞ex＋1的解集为{x|x＞0}．
2．若定义在R上的函数y＝f(x)满足f′(x)＞f(x)，则当a＞0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为( )
A．f(a)＜eaf(0) B．f(a)＞eaf(0)
C．f(a)＝eaf(0) D．不能确定
解析：选B 令F(x)＝，则F′(x)＝＝＞0，从而F(x)＝在R上单调递增，于是当a＞0时，F(a)＝＞F(0)＝＝f(0)，即f(a)＞eaf(0)．
3．证明不等式x－sin x＜tan x－x，x∈成立．
证明：令f(x)＝tan x－2x＋sin x，x∈，
则f′(x)＝′－(2x)′＋(sin x)′
＝－2＋cos x
＝
＝
＝
＝.
∵x∈，∴1－cos x＞0，cos x＋sin2x＞0，
∴f′(x)＞0，∴f(x)在上单调递增，
∴f(x)＞f(0)＝0，即tan x－2x＋sin x＞0，
即x－sin x＜tan x－x.
1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)( )
A．等于0 B．小于0
C．等于1 D．不确定
解析：选A 因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A.
2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值、最小值分别是( )
A．12，－8 B．1，－8
C．12，－15 D．5，－16
解析：选A y′＝6x2－6x－12，
由y′＝0解得x＝－1或x＝2(舍去)．
x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.
所以ymax＝12，ymin＝－8.故选A.
3．函数f(x)＝xe－x，x∈[0，4]的最小值为________．
解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．
令f′(x)＝0，得x＝1(e－x＞0)，
所以f(1)＝＞0，f(0)＝0，f(4)＝＞0，
所以f(x)的最小值为0.
答案：0
4．求f(x)＝sin x＋cos x，x∈的最大值与最小值．
解：f′(x)＝cos x－sin x.
令f′(x)＝0，即tan x＝1，
且x∈，
所以x＝.
又因为f＝，
f＝－1，f＝1，
所以当x∈时，函数的最大值为f＝，最小值为f＝－1.
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