圆锥曲线与方程
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 抛物线的标准方程为x2＝y，焦点在y轴上，∴焦点坐标为.
2．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40° B．2cos 40°
C． D．
解析：选D 由题意可得－＝tan 130°，所以e＝ ＝＝ ＝＝.故选D.
3．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
解析：选A ∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，
∴a＝2，c＝1，∴b＝.∴椭圆的方程为＋＝1.
4．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知双曲线－＝1的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为( )
A．2－2 B.＋1
C．2 D．2
解析：选A 在双曲线－＝1中，a2＝(－1)2，b2＝m，所以c2＝a2＋b2＝(－1)2＋m.因为双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，则＝＝，所以＝＝，所以＝，解得m＝2－2.故选A.
5．已知双曲线－＝1(b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·等于( )
A．－12 B．－2
C．0 D．4
解析：选C 由渐近线方程为y＝x，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2－y2＝2，于是两焦点分别是F1(－2，0)和F2(2，0)，且P(，1)或P(，－1)．不妨取点P(，1)，则＝(－2－，－1)，＝(2－，－1)．所以·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)(2－)＋1＝0.
6．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选D 过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由消y得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝8.故选D.
7.我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( )
A.，1 B.，1
C．5，3 D．5，4
解析：选A ∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝.
8.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则点P的坐标为，A(a，0)，B(0，b)，F2(c，0)，于是kAB＝－，kPF2＝－，由kAB＝kPF2得b＝2c，故a＝c，e＝＝.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法正确的有( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
解析：选ACD 对于选项A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＋＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0 y＝± x，正确；对于选项D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1 y＝±，该方程表示两条直线，正确．综上选A、C、D.
10．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选BD 因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为＋＝1；当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为＋＝1.
11．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是( )
A.＝2 B．e1e2＝
C．e＋e＝ D．e－e＝1
解析：选BD 因为·＝0且＝||，所以△MF1F2为等腰直角三角形．
设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝.
在焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，
则故xy＝c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，
所以(a′)2＝，即e2＝，故＝，e1e2＝，e＋e＝2，e－e＝1，故选B、D.
12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A. B．2
C. D.
解析：选AC 设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e＝＝＝；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e＝＝＝.综上，所求的离心率为或.故选A、C.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
解析：双曲线焦点(±4，0)，顶点(±2，0)，
故椭圆的焦点为(±2，0)，顶点(±4，0)．
故椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
14．已知二次曲线＋＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．
解析：∵m∈[－2，－1]，
∴曲线方程化为－＝1，曲线为双曲线，
∴e＝.∵m∈[－2，－1]，∴≤e≤.
答案：[，]
15．抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1渐近线的距离为________，双曲线右焦点到抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线y2＝8x的焦点F(2，0)，双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，则点F(2，0)到渐近线3x－4y＝0的距离为＝.双曲线右焦点的坐标为(5，0)，抛物线的准线方程为x＝－2，所以双曲线右焦点到抛物线准线的距离为7.
答案： 7
16．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________．
解析：由题意可得e＝＝2，则c＝2a，其中一个焦点为F(c，0)，渐近线方程为bx±ay＝0，
所以＝＝b＝1，
又c2＝4a2＝a2＋b2，
所以a2＝，
所以所求双曲线的方程为3x2－y2＝1.
答案：3x2－y2＝1
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程＋＝1表示双曲线．
(1)若命题p为真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q为假命题，求m的取值范围．
解：(1)根据题意，得
解得0＜m＜2，
故命题p为真命题时，m的取值范围为(0，2)．
(2)若命题q为真命题，则(m＋1)(m－1)＜0，解得－1＜m＜1，故命题q为假命题时，m的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
∵点P在抛物线上，∴6＝2p×.∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x.
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，∴－＝1，
解方程组
得或(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1.
19．(本小题满分12分)给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2.
对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由．
解：因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合．
又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为：x＝－1，
所以条件④不适合题意．
当选择条件③时，|AF|＝xA＋1＝1＋1＝2，
此时适合题意．
故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x.
20．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.
解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
把(4，－)代入双曲线方程得42－(－)2＝λ，
∴λ＝6，∴所求双曲线方程为－＝1.
(2)由(1)知双曲线方程为－＝1，
∴双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．
∵点M在双曲线上，
∴32－m2＝6，∴m2＝3.
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝－3＋3＝0.
21．(本小题满分12分)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
解：(1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知y1＜0，y2＞0，直线l的方程为y＝(x－2)．
联立得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
因为＝2，所以－y1＝2y2，
即＝2·，
得a＝3，而a2－b2＝4，所以b＝，
故椭圆C的方程为＋＝1.
22．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(－1，0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．
解：(1)直线AB的方程为：bx－ay－ab＝0.
依题意解得
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)假设存在这样的k值，由得
(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.
∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0.解得k＞1或k＜－1. ①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则 ②
而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.要使以CD为直径的圆过点E(－1，0)，
当且仅当CE⊥DE时成立，则·＝－1.
即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0.
∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③
将②式代入③整理解得k＝.经验证k＝使①成立．
综上可知，存在k＝，使得以CD为直径的圆过点E.
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9圆锥曲线与方程
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
A. B.
C. D.
2．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40° B．2cos 40°
C． D．
3．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
4．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知双曲线－＝1的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为( )
A．2－2 B.＋1
C．2 D．2
5．已知双曲线－＝1(b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·等于( )
A．－12 B．－2
C．0 D．4
6．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
7.我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( )
A.，1 B.，1
C．5，3 D．5，4
8.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法正确的有( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
10．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
11．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是( )
A.＝2 B．e1e2＝
C．e＋e＝ D．e－e＝1
12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A. B．2
C. D.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
14．已知二次曲线＋＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．
15．抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1渐近线的距离为________，双曲线右焦点到抛物线准线的距离为________．
16．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程＋＝1表示双曲线．
(1)若命题p为真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q为假命题，求m的取值范围．
18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
19．(本小题满分12分)给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2.
对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由．
20．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.
21．(本小题满分12分)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
22．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(－1，0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．
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