章末检测（四）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 023，则n＝( )
A．667 B．668
C．669 D．675
解析：选D 由2 023＝1＋3(n－1)，解得n＝675.
2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B ∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×＝，a3＝(－1)3×2×＝－，
a4＝(－1)4×2×＝－，
a5＝(－1)5×2×＝.
3．已知数列{an}是等差数列，a1＝2，其公差d≠0.若a3，a5，a8成等比数列，则S18＝( )
A．398 B．388
C．189 D．199
解析：选C 由题可得a＝a3a8，即(2＋4d)2＝(2＋2d)·(2＋7d)，整理得d2－d＝0，由d≠0，所以d＝1.
故S18＝18×2＋×18×17×1＝189.
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
解析：选A 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
5．在等比数列{an}中，已知前n项和Sn＝5n＋1＋a，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．5 D．－5
解析：选D 因为Sn＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比数列的前n项和Sn＝＝－·qn，可知其常数项与qn的系数互为相反数，所以a＝－5.
6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则254是该数列的( )
A．第8项 B．第10项
C．第12项 D．第14项
解析：选D 当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，归纳可得数列{an}的通项公式an＝则2＋1－2＝254，n＝14，故选D.
7．已知数列{an}满足递推关系：an＋1＝，a1＝，则a2 021＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由an＋1＝得＝＋1，所以数列是等差数列，首项＝2，公差为1，所以＝2＋(2 021－1)×1＝2 022，则a2 021＝.
8．从2017年起，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2021年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为( )
A．a(1＋p)4 B．a(1＋p)5
C.[(1＋p)4－(1＋p)] D.[(1＋p)5－(1＋p)]
解析：选D 设自2018年起每年到5月1日存款本息合计为a1，a2，a3，a4.
则a1＝a＋a·p＝a(1＋p)，
a2＝a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，
a3＝a2(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)，
a4＝a3(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)4＋(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]＝a·＝[(1＋p)5－(1＋p)]．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9>b9且a10>b10，则以下结论正确的有( )
A．a9·a10<0 B．a9>a10
C．b10>0 D．b9>b10
解析：选AD ∵等比数列{an}的公比q＝－，
∴a9和a10异号，∴a9a10＝a<0，故A正确；
但不能确定a9和a10的大小关系，故B不正确；
∵a9和a10异号，且a9>b9且a10>b10，
∴b9和b10中至少有一个数是负数，
又∵b1＝12>0，∴d<0，∴b9>b10，故D正确；∴b10一定是负数，即b10<0，故C不正确．故选A、D.
10．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
A．a5＝－16 B．S5＝－31
C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn＋1}是等比数列
解析：选ABC 因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，
所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确；
因此a5＝－1×24＝－16，故A正确；
又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B正确；
因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误．故选A、B、C.
11．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是( )
A．a4＝0 B．Sn的最大值为S3
C．S1＝S6 D．|a3|＜|a5|
解析：选AC 设等差数列{an}的公差为d，则a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，
所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正确；
因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；
由于d的正负不清楚，故S3可能为最大值或最小值，故B不正确；
因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a5|，故D不正确．故选A、C.
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列说法正确的是( )
A．数列{an＋1}是等差数列
B．数列{an＋1}是等比数列
C．数列{an}的通项公式为an＝2n－1
D．Tn＜1
解析：选BCD 由Sn＋1＝Sn＋2an＋1，即an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，
可化为an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，可得数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
则an＋1＝2n，即an＝2n－1，
又＝＝－，
可得Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＜1，故A错误，B、C、D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则an＝________，S10＝________．
解析：设{an}的首项，公差分别是a1，d，则
解得a1＝20，d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝20－2(n－1)＝22－2n.
S10＝10×20＋×(－2)＝110.
答案：22－2n 110
14．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________．
解析：设{an}的公比为q，q>0，且a＝1，
∴a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，a1＝＝4.
∴S5＝＝8×＝.
答案：
15．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“免子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 022项的和为________．
解析：由于{an}是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，
故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…
所以{an}是周期为3的周期数列，
且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2.
因为2 022＝674×3，
所以数列{an}的前2 022项的和为674×2＝1 348.
答案：1 348
16．设Sn是数列{an}的前n项和，且满足a＋1＝2anSn，且an＞0，则Sn＝________，a100＝________．
解析：由Sn是数列{an}的前n项和，且满足a＋1＝2anSn，
则当n＝1时，a＋1＝2a1S1，即S＝1；当n≥2时，(Sn－Sn－1)2＋1＝2(Sn－Sn－1)·Sn，整理得S－S＝1.
所以数列{S}是以1为首项，1为公差的等差数列，则S＝n.由于an＞0，所以Sn＝，故a100＝S100－S99＝－＝10－3.
答案： 10－3
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N*)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 020.
解：(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N*)，
∴＝＝＋，
∴－＝(n≥2且n∈N*)，
∴是公差为的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝.
∴＝＝675.
∴x2 020＝.
18．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，＝.
(1)求等比数列{an}的公比q；
(2)求a＋a＋…＋a.
解：(1)由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.
(2)由(1)，得an＝(－1)×，所以a＝，所以数列{a}是首项为1，公比为的等比数列，故a＋a＋…＋a＝＝.
19．(本小题满分12分)已知公差不为零的等差数列{an}满足S5＝35，且a2，a7，a22成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)．
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S5＝35，,a＝a2a22，))
则
化简得
解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
(2)证明：bn＝＝＝＝，
所以Tn＝(－＋－＋－＋…＋－＋－)＝
＝－＜.
20．(本小题满分12分)已知等比数列{an}满足a3＋a4＝12，a1a6＝32，前n项和为Sn，且公比q>1.
求证：(1)Sn＝2an－1；
(2)＋＋…＋<2.
证明：(1)因为数列{an}为等比数列，
所以a1a6＝a3a4＝32.
由
得或
由公比q>1，
得
故
所以an＝2n－1，Sn＝＝2n－1＝2an－1.
(2)由(1)知an＝2n－1，
所以＋＋…＋＝1＋＋…＋＝＝2＝2－<2.
21．(本小题满分12分)在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：选条件①：
(1)∵a3＝5，a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，d>1，
∴
解得或(舍去)．
∴∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，n∈N*，
bn＝b1qn－1＝2n－1，n∈N*.
(2)∵cn＝，∴cn＝＝(2n－1)×，
∴Tn＝1＋3×＋5×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，①
∴Tn＝＋3×＋5×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，②
①－②得Tn＝1＋2－(2n－1)×
＝1＋2×－(2n－1)×
＝3－(2n＋3)×，
∴Tn＝6－(2n＋3)×，n∈N*.
选条件②：
(1)∵b2＝2，a3＋a4＝3b3，a1＝b1，d＝q，d>1，
∴
∴
解得或(舍去)，
∴
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，n∈N*，
bn＝b1qn－1＝2n－1，n∈N*.
(2)同条件①.
选条件③：
(1)∵S3＝9，a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，d>1，
∴
解得或(舍去)，
∴
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，n∈N*，
bn＝b1qn－1＝2n－1，n∈N*.
(2)同条件①.
22．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，请说明理由．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知，得
即解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N*)．
(2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比数列，则b＝b1bk.
因为bn＝＝，
所以b1＝，bm＝，bk＝，
所以＝×.
整理，得k＝.
以下给出求m，k的方法：
因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，
解得1－因为m≥2，m∈N*，
所以m＝2，此时k＝8.
故存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比数列．
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10章末检测（四）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 023，则n＝( )
A．667 B．668
C．669 D．675
2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( )
A．－ B.
C．－ D.
3．已知数列{an}是等差数列，a1＝2，其公差d≠0.若a3，a5，a8成等比数列，则S18＝( )
A．398 B．388
C．189 D．199
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
5．在等比数列{an}中，已知前n项和Sn＝5n＋1＋a，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．5 D．－5
6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则254是该数列的( )
A．第8项 B．第10项
C．第12项 D．第14项
7．已知数列{an}满足递推关系：an＋1＝，a1＝，则a2 021＝( )
A. B.
C. D.
8．从2017年起，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2021年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为( )
A．a(1＋p)4 B．a(1＋p)5
C.[(1＋p)4－(1＋p)] D.[(1＋p)5－(1＋p)]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9>b9且a10>b10，则以下结论正确的有( )
A．a9·a10<0 B．a9>a10
C．b10>0 D．b9>b10
10．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
A．a5＝－16 B．S5＝－31
C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn＋1}是等比数列
11．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是( )
A．a4＝0 B．Sn的最大值为S3
C．S1＝S6 D．|a3|＜|a5|
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列说法正确的是( )
A．数列{an＋1}是等差数列
B．数列{an＋1}是等比数列
C．数列{an}的通项公式为an＝2n－1
D．Tn＜1
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则an＝________，S10＝________．
14．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________．
15．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“免子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 022项的和为________．
16．设Sn是数列{an}的前n项和，且满足a＋1＝2anSn，且an＞0，则Sn＝________，a100＝________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N*)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 020.
18．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，＝.
(1)求等比数列{an}的公比q；
(2)求a＋a＋…＋a.
19．(本小题满分12分)已知公差不为零的等差数列{an}满足S5＝35，且a2，a7，a22成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜.
20．(本小题满分12分)已知等比数列{an}满足a3＋a4＝12，a1a6＝32，前n项和为Sn，且公比q>1.
求证：(1)Sn＝2an－1；
(2)＋＋…＋<2.
21．(本小题满分12分)在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，请说明理由．
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