直线与方程
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－，则|MN|＝( )
A．10 B．180
C．6 D．6
解析：选D 由kMN＝＝－，解得a＝10，即M(－2，10)，N(10，4)，所以|MN|＝＝6，故选D.
2．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则( )
A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1
解析：选D 依题意得：直线x－y＝3的斜率为，∴其倾斜角为60°.∴－＝－3，－＝tan 120°＝－，得m＝，n＝1.
3．将直线l沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y轴正方向平移1个单位长度后，又回到原来位置，那么直线l的斜率为( )
A．－ B．－3
C. D．3
解析：选A 设直线l的方程为y＝kx＋b，根据平移规律平移后的直线方程为：y＝k(x＋3)＋b＋1即y＝kx＋3k＋b＋1，由题意得kx＋b＝kx＋3k＋b＋1，解得k＝－.
4．直线l过点A(3，4)且与点B(－3，2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0
解析：选C 由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝＝，∴kl＝－3，由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
5．直线l1与直线l2：3x＋2y－12＝0的交点在x轴上，且l1⊥l2，则直线l1在y轴上的截距是( )
A．－4 B．4
C．－ D.
解析：选C 设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则k2＝－.∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴k1＝－＝－＝.设直线l1的方程为y＝x＋b，直线l2与x轴的交点为(4，0)．将点(4，0)代入l1方程，得b＝－.
6．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值是( )
A．－3 B．2
C．－3或2 D．3或－2
解析：选A 由直线l1与l2平行，可得解得a＝－3.
7．直线l过点(－3，0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝－(x－3) B．y＝－(x＋3)
C．y＝(x－3) D．y＝(x＋3)
解析：选B 因为直线y＝2x－3的斜率为2，所以直线l的斜率为－.又直线l过点(－3，0)，故所求直线的方程为y＝－(x＋3)，选B.
8．已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．3 B.
C. D.
解析：选B 由于所给的两条直线平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行直线间的距离．由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，即|PQ|的最小值为.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
解析：选AC 当直线过原点时，可得斜率为＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，代入点(1，2)，可得－＝1，解得a＝－1，直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.选项B、D不能同时满足题干中的两个条件．故选A、C.
10．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．y＝x D．y＝2x＋1
解析：选BC 对于A，d1＝＝3＞4；
对于B，d2＝2＜4；对于C，d3＝＝4；
对于D，d4＝＝＞4，
所以符合条件的有B、C.
11．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A．存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
解析：选ABD 对于动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A正确；由方程组可得(2k＋1)x＝0，对任意的k，此方程有解，可得l1与l2有交点，故B正确；因为当k＝－时，＝＝成立，此时l1与l2重合，故C错误；由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，动直线l2的斜率为＝－1－≠－1，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确．
12．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0不可能是( )
解析：选ACD 由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a，b同号时，l1与l2的斜率与截距也同号，此时选项A、C不可能正确，选项B正确；当a，b异号时，l1与l2的斜率与截距也异号，此时选项D不可能正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若过点P(1－a，1＋a)与点Q(3，2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．
解析：k＝＝<0，得－2
答案：(－2，1)
14．若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则a＝________，c＝________．
解析：由题意，得＝≠，所以a＝－4，c≠－2.所以直线6x＋ay＋c＝0的方程可化为3x－2y＋＝0.由两平行线间的距离公式，得＝，即＝2，解得c＝2或－6.
答案：－4 2或－6
15．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．
解析：当截距为0时，直线的方程为y＝－x，满足题意；当截距不为0时，设直线的方程为＋＝1(a≠0)，把点(2，－3)代入直线方程可得a＝5，此时直线方程为y＝x－5.
答案：y＝－x或y＝x－5
16．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为________．
解析：由解得把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，所以m＝－5－2n，所以点(m，n)到原点的距离d＝＝＝≥ ，当n＝－2时等号成立，此时m＝－1.所以点(m，n)到原点的距离的最小值为.
答案：
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1，1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求点A(3，4)关于直线l的对称点A′的坐标．
解：(1)∵k＝tan 135°＝－1，
∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)设A′(a，b)，
则解得a＝－2，b＝－1，
∴A′的坐标为(－2，－1)．
18．(本小题满分12分)在①与直线x＋y＝0垂直；②与直线x＋y＝0平行，这两个条件中任选一个补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目．
已知直线l经过点P(－2，1)，________．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：若选条件①：(1)由题意得直线l的斜率为1，
故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
(2)由直线m与直线l平行，
可设直线m的方程为x－y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得＝，
即|C－3|＝2，解得C＝1或C＝5.
故直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0.
若选条件②：
(1)由题意得直线l的斜率为－1，故直线l的方程为y－1＝－(x＋2)即x＋y＋1＝0.
(2)由直线m与直线l平行可设直线m的方程为x＋y＋C＝0，由点到直线的距离公式得＝，
即|c－1|＝2，解得c＝3或c＝－1，
故直线m的方程为x＋y－1＝0或x＋y＋3＝0.
19．(本小题满分12分)已知直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R.
(1)求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
(2)若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R，即m(x－y－3)＋(2x－8)＝0，
令解得故直线l恒过定点P(4，1)．
(2)直线l方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，
当直线l不经过原点且在x轴，y轴上的截距相等时，
即令y＝0，可得x＝，
再令x＝0，可得y＝－，
由＝－，可得m＝－1，
故直线l的方程为x＋y－5＝0.
当直线l经过原点时，－3m－8＝0，得m＝－，故直线l的方程为x－4y＝0.
综上，所求直线l的方程为x＋y－5＝0或x－4y＝0.
20．(本小题满分12分)如图，已知点A(2，3)，B(4，1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)由题意可知，E为AB的中点，
∴E(3，2)，且kCE＝－＝1，
∴CE所在直线方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
(2)由得C(4，3)，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，
∴S△ABC＝|AC|·|BC|＝2.
21．(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点A(m，n)，B(2，1)，C(－2，3)．
(1)求BC边所在直线的一般式方程；
(2)BC边上的中线AD所在直线的方程为2x－3y＋c＝0，且S△ABC＝7，求点A的坐标．
解：(1)因为B(2，1)，C(－2，3)，所以BC边所在直线的斜率为kBC＝＝－.
又因为直线过点B(2，1)，
所以BC边所在直线的方程为y－1＝－(x－2)，
化为一般式为x＋2y－4＝0.
(2)BC边上的中点D的坐标为(0，2)，且点D在直线2x－3y＋c＝0上，则－6＋c＝0，解得c＝6.
即中线AD所在直线的方程为2x－3y＋6＝0.
因为点A在中线上，所以2m－3n＋6＝0.
因为|BC|＝＝＝＝2，点A到直线x＋2y－4＝0的距离d＝，S△ABC＝7，
所以S△ABC＝×2×＝7，
整理得|m＋2n－4|＝7，所以m＋2n－4＝7或m＋2n－4＝－7，
即m＋2n－11＝0或m＋2n＋3＝0.
由得此时A(3，4)．
由得此时A(－3，0)．
综上，点A的坐标为(3，4)或(－3，0)．
22．(本小题满分12分)已知10条直线：
l1：x－y＋c1＝0，c1＝，
l2：x－y＋c2＝0，
l3：x－y＋c3＝0，
…
l10：x－y＋c10＝0，其中c1这10条直线中，每相邻两条直线之间的距离依次为2，3，4，…，10.求：
(1)c10；
(2)x－y＋c10＝0与x轴、y轴围成的图形的面积．
解：(1)原点O到l1的距离为d1＝＝1，
原点O到l2的距离为d2＝1＋2，
原点O到l3的距离为d3＝1＋2＋3，
…
原点O到l10的距离为d10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.
因为d10＝，所以c10＝55.
(2)由(1)知，直线l10的方程为x－y＋55＝0，其与x轴交于点M(－55，0)，与y轴交于点N(0，55)，则△OMN的面积为S△OMN＝|OM|×|ON|＝×(55)2＝3 025.
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8直线与方程
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－，则|MN|＝( )
A．10 B．180
C．6 D．6
2．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则( )
A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1
3．将直线l沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y轴正方向平移1个单位长度后，又回到原来位置，那么直线l的斜率为( )
A．－ B．－3
C. D．3
4．直线l过点A(3，4)且与点B(－3，2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0
5．直线l1与直线l2：3x＋2y－12＝0的交点在x轴上，且l1⊥l2，则直线l1在y轴上的截距是( )
A．－4 B．4
C．－ D.
6．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值是( )
A．－3 B．2
C．－3或2 D．3或－2
7．直线l过点(－3，0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝－(x－3) B．y＝－(x＋3)
C．y＝(x－3) D．y＝(x＋3)
8．已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．3 B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
10．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．y＝x D．y＝2x＋1
11．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A．存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
12．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0不可能是( )
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若过点P(1－a，1＋a)与点Q(3，2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．
14．若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则a＝________，c＝________．
15．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．
16．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1，1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求点A(3，4)关于直线l的对称点A′的坐标．
18．(本小题满分12分)在①与直线x＋y＝0垂直；②与直线x＋y＝0平行，这两个条件中任选一个补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目．
已知直线l经过点P(－2，1)，________．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．(本小题满分12分)已知直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R.
(1)求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
(2)若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．
20．(本小题满分12分)如图，已知点A(2，3)，B(4，1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
21．(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点A(m，n)，B(2，1)，C(－2，3)．
(1)求BC边所在直线的一般式方程；
(2)BC边上的中线AD所在直线的方程为2x－3y＋c＝0，且S△ABC＝7，求点A的坐标．
22．(本小题满分12分)已知10条直线：
l1：x－y＋c1＝0，c1＝，
l2：x－y＋c2＝0，
l3：x－y＋c3＝0，
…
l10：x－y＋c10＝0，其中c1这10条直线中，每相邻两条直线之间的距离依次为2，3，4，…，10.求：
(1)c10；
(2)x－y＋c10＝0与x轴、y轴围成的图形的面积．
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