2021-2022学年 人教版数学八年级上册14.2.2 完全平方公式 课件（第二课时 33张）

(共33张PPT)
人教版 数学 八年级上册
第2节 乘法公式
第2课时 完全平方公式
第十四章 整式的乘法与因式分解
小强去市场买一种水果，价格为每公斤10.2元，现称出该水果为10.2斤，小强随即报出了要付现金104.04元.你知道小强为什么算得怎么快吗？
导入新知
1.了解并掌握完全平方公式.
2.理解完全平方公式的推导过程，并会应用完全平方公式进行计算.
学习目标
计算下列多项式的积
(1) (p+1)2=__________=_________；
p2+2p+1
(2) (m+2)2=___________=_________；
m2+4m+4
(3) (p-1)2=__________=_________；
p2-2p+1
(4) (m-2)2=__________=_________；
m2-4m+4
新知 完全平方公式
(p+1)(p+1)
(m+2)(m+2)
(p-1)(p-1)
(m-2)(m-2)
观察计算结果，你能发现什么规律？
猜想：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.
m2+2×2m+22
m2-2×2m+22
p2+2p+12
P2-2p+12
合作探究
(1)用多项式乘法证明：
(a-b)2
=(a-b)(a-b)
(a+b)2
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
(2) 借助几何图形证明：
如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 .
它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2
b
a
a
b
a2
ab
ab
b2
即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 .
它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即
如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 .
所以(a-b)2=a2-2ab+b2.
(2) 借助几何图形证明：
(a-b)2
(a-b2)
a-b
b
b
a-b
ab
ab
b2
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2.
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
完全平方公式
特点：(1)两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同；
(2)两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同.
例1 运用完全平方公式计算：
(1) (4m+n)2 ； (2) (y- )2 .
解： (1) (4m+n)2
=(4m)2+2·4m·n+n2
=16m2+8mn+n2 ；
(2) (y- )2
=y2-2·y· +( )2
=y2-y+ .
典例精析
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022 (2) 992 .
解： (1) 1022
=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10 000+400+4
=10 404
(2) 992
=(100-1)2
=1002-2×100×1+12
=10 000-200+1
=9 801.
完全平方公式的常见变形
(1)完全平方公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式.
(2)完全平方公式等号右边2ab的符号取决于等号左边二项式中两项的符号，若这两项同号，则2ab的符号为“+”；若这两项异号，则2ab的符号为“-”.
(3)运用完全平方公式的时候要避免出现形如(a±b)2 = a2±b2 .
1.（2020·陕西）计算：(2x-y)2=（　　）
A. 4x2-4xy+y2
B. 4x2-2xy+y2
C. 4x2-y2
D. 4x2+y2
(2x)2 -2·2x·y+y2
4x2 -4xy+y2
A
课堂练习
解：(1) (-2m-n)2
=(2m+n)2
=(2m)2+2·2m·n+n2
=4m2+4mn+n2 ；
(2) (2x+3y)(-2x-3y)
=-(2x+3y)2
=-[(2x)2+2·2x·3y+(3y)2]
=-4x2-12xy-9y2 .
2.计算下列式子：
(1) (-2m-n)2 ； (2) (2x+3y)(-2x-3y) .
解：(3) (-4a+5b)2
=(5b-4a)2
=(5b)2-2·5b·4a+(4a)2
=25b2-40ab+16a2 ；
(4) (x+7y)2
=x2+2·x·7y+(7y)2
=x2+14xy+49y2 .
2.计算下列式子：
(3) (-4a+5b)2 ； (4) (x+7y)2 .
3.（2020·枣庄）图1是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是( )
A. ab
B. (a+b)2
C. (a-b)2
D. a2-b2
图1
图2
a
b
4ab
(a+b)2
C
(a+b)2-4ab
=a2+2ab+b2-4ab
=(a-b)2
完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2
归纳新知
1.若x2＋kx＋25＝(x±5)2，则k＝________．
10或－10
课后练习
2.【2020·恩施州】下列计算正确的是(　　)
A．a2·a3＝a6　　　　　B．a(a＋1)＝a2＋a
C．(a－b)2＝a2－b2 D．2a＋3b＝5ab
B
3.下列变形中，错误的是(　　)
①(b－4c)2＝b2－16c2；
②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；
③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；
④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
A
4.【2020·郴州】如图①，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图②所示的长方形．这两个图能解释下列哪个等式？(　　)
B
A．x2－2x＋1＝(x－1)2
B．x2－1＝(x＋1)(x－1)
C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2
D．x2－x＝x(x－1)
5.【中考·宜昌】化简(x－3)2－x(x－6)的结果为(　　)
A．6x－9　　 B．－12x＋9　　 C．9　　 D．3x＋9
C
6.若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为(　　)
A．2ab B．－2ab C．4ab D．－4ab
C
7.若(y＋a)2＝y2－8y＋b，则a，b的值分别为(　　)
A．4，16 B．－4，－16
C．4，－16 D．－4，16
D
8.【中考·贵阳】下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x(x＋2y)－(x＋1)2＋2x
＝x2＋2xy－x2＋2x＋1＋2x　(第一步)
＝2xy＋4x＋1.　 (第二步)
(1)小颖的化简过程从第______步开始出现错误；
(2)对此整式进行化简．

一
解：x(x＋2y)－(x＋1)2＋2x
＝x2＋2xy－x2－2x－1＋2x
＝2xy－1.
9.已知(a＋b)2＝25，ab＝6，则a－b等于(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．以上都不正确
C
10.(1)【2020·常州】先化简，再求值：(x＋1)2－x(x＋1)，其中x＝2.
解：原式＝x2＋2x＋1－x2－x＝x＋1.　
当x＝2时，原式＝2＋1＝3.
(2)先化简，再求值：(x－1)(3x＋1)－(x＋2)2＋5，其中x2－3x－1＝0.
解：)原式＝3x2＋x－3x－1－x2－4x－4＋5＝2x2－6x.
因为x2－3x－1＝0，所以x2－3x＝1.
所以原式＝2(x2－3x)＝2×1＝2.
(2)若a＝2 020，b＝2 021，c＝2 022，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？试求出这个值．
再 见