(共30张PPT)
如图雪地是由雪堆积在土地而成的，要知道坡面和地平面夹角的度数，
没办法直接测量。
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4.3.3 余角与补角
人教版《数学》 七年级上册
学习目标
1、理解余角、补角的意义及其性质。
2、初步掌握图形语言与符号语言之间的
相互转化。
3、运用余角、补角的性质解决一些简单的
问题。
探究新知
问题1：如图，A、 B两组角中，和为90°的是哪些？请连线.
O
A
B
1
2
l
探究新知(一）
问题2：如图，将三角板（尺）的直角顶点放在直线 上，绕该顶点在同一平面内转动三角板问∠1与∠2的和是否会发生变化？
O
A
B
1
2
l
探究新知(一）
问题2：如图，将三角板（尺）的直角顶点放在直线 上，绕该顶点在同一平面内转动三角板问∠1与∠2的和是否会发生变化？
O
A
B
1
2
l
探究新知(一）
问题2：如图，将三角板（尺）的直角顶点放在直线 上，绕该顶点在同一平面内转动三角板问∠1与∠2的和是否会发生变化？
1
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角(简称为两个角互余).
2
探究新知(一）
1
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角(简称为两个角互余).
如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或 ∠2 是∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互余.
2
探究新知(一）
1、图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
40o
50o
75o
35o
65o
小试牛刀1
2、判断
①32°与58°互为余角。
②∠1＋∠2 ＋∠3= 90°，
则∠1、∠2 、∠3 互为余角。
③两个锐角一定互为余角。
（ √ ）
（ × ）
（ × ）
小试牛刀2
如果两个角的和等于180°(平角)，就说
这两个角互为补角( 简称为两个角互补 ).
4
3
问题2：你能类比互为余角的定义得到互为补角的定义吗？
探究新知(二）
如果两个角的和等于180°(平角)，就说
这两个角互为补角( 简称为两个角互补 ).
4
3
问题2：你能类比互为余角的定义得到
互为补角的定义吗？
探究新知(二）
如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.
4
3
问题2：你能类比互为余角的定义得到互为补角的定义吗？
探究新知(二）
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角( 简称为两个角互补 ).
3、填空并思考：
小试牛刀3
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
70°
110°
X（0°＜x＜90°）
90° x
180° x
20°
110°
无
70°
一个锐角的补角比它的余角大多少度？
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
70°
110°
x（0°＜x＜90°）
90° x
180° x
20°
110°
无
70°
探究新知(二）
总结：①钝角没有余角
②一个锐角的补角比这个角的余角大90°。
规则如下：
老师拿出一张卡片并说：我的余角（补角）
在哪里？
拿到对应余角（补角）的同学起立并说：我在这里
游戏时刻：找朋友
问题3：∠1和∠2互余，∠1也与∠3互余，请问∠2与∠3是什么关系？
1
2
解：因为∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°
所以∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1
所以∠2=∠3
合作探究，寻找规律
3
1
问题4：若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，
如果∠1=∠3，那么∠2和∠4相等吗？
解：∠2与∠4相等
因为∠1=∠3,
所以90°-∠1=90°-∠3
所以∠2=∠4
1
2
4
合作探究，寻找规律
3
问题4：若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，
如果∠1=∠3，那么∠2和∠4相等吗？
1
2
4
合作探究，寻找规律
3
性质：同角 (等角) 的余角相等.
问题5：对于补角是否也有类似性质？
1
2
1
3
合作探究，寻找规律
问题5：对于补角是否也有类似性质？
1
2
4
3
性质：同角 (等角) 的补角相等.
合作探究，寻找规律
如图雪地是由雪堆积在土地而成的，要知道斜面和地平面的夹角，聪明的你有什么简单的方法吗？
解决问题
1
2
例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，
求这个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°，
余角是 ( 90－x )° .
根据题意，得
180－x = 4 ( 90－x ) .
解得 x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.
合作交流，应用新知
例2 如图，点O在直线AB上，射线 OD 平分∠AOC ，射线OE 平分∠BOC。填空：
O
A
B
C
D
E
合作交流，应用新知
1
2
3
4
②∠AOC+∠BOC=＿＿＿＿,
∠DOE=＿＿＿＿,
③图中与∠1互余的角是＿＿＿.
180°
90°
①图中∠1，∠2，∠3，∠4中，相等的角分别是∠＿= ∠ ＿， ∠ ＿ = ∠ ＿
1
2
3
4
图中与∠2互余的角是＿＿＿.
图中互余的角共有＿＿对.
∠3,∠4
∠3,∠4
4
例2 如图，点O在直线AB上，射线 OD 平分∠AOC ， 射线OE 平分∠BOC。填空：
O
A
B
C
D
E
合作交流，应用新知
1
2
3
4
解：因为∠AOB=180°，
所∠1+∠2+∠3+∠4=180°
因为∠1=∠2，∠3=∠4
所以2∠2+2∠3=180°
所以∠2+∠3=90°
例2 如图，点O在直线AB上，射线 OD 平分∠AOC ， 射线OE 平分∠BOC。填空：
O
A
B
C
D
E
拓展升华
1
2
3
4
④图中互补的角是共有
＿＿对
？
总结提升“223”
3种思想方法：特殊——一般，类比、化归
2条基本性质：余角的性质、补角的性质
2种数学核心素养：直观想象，逻辑推理
2.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是_______.
150°
3. ∠1 与 ∠2 互补，∠1 = (6x + 8)°，∠2 =
(4x－8)°， 则∠1= ，∠2= .
18°
64°
课堂检测
课后作业：课本P139习题的2,3,4题
1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
A
谢谢同学们的认真参与！4.3.3余角与补角
教学内容：
人教版义务教课书七年级上册第137 页至第138页第四章《余角与补角》
教材分析：
本节是继“角”及“角的比较和运算”之后的内容，是进一步认识角，并认识互为余角、互为补角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本节认识做好了铺垫；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大。
教学目标：
1、理解余角和补角的定义，通过简单的逻辑推理，掌握余角和补角的性质.
2、通过独立思考，小组合作能运用余角、补角的性质解决一些简单的问题.
3、通过余角、补角性质的探索，渗透从特殊到一般、类比、化归的数学思想方法，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化.
教学重点：认识角的互余、互补关系及其性质
教学难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，用规范的语言描述性质。
教学过程：
（教师首先和学生们做小游戏，拉近距离）
创设情景，引入新课
1、观看北京2022年冬奥会视频。
师：第24届冬奥会将会在2022年2月在北京和张家口举行，有些项目是起源于非常古老的生活生产活动，比如说高山滑雪，滑雪就要有合适的滑雪场，滑雪场和雪地的坡角有关。
2、如图雪地是由雪堆积在土地而成的，要知道坡面和地平面夹角的度数，目前没办法直接量出来，但是学习了今天的知识就能解决。点题—《余角和补角》
【设计意图】：由生活中的数学引入，使学生思考和探究，并点题。
二、分析问题，探究新知
（一）探究一：互为余角
1、问题1：如图，A、 B两组角中，和为90°的是哪些？请连线.
A 组 B 组
2、问题2：如图，将三角板（尺）的直角顶点放在直线l上,绕该顶点在同一平面内转动三角板（三角板始终在直线上方），∠1与∠2的和是否会发生变化？
预设：学生回答没有变，都是90°
师生总结互为余角的定义：如果两个角的和是90°(直角)，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。
3、同学们读一遍定义，找满足互余的条件。
两个角的和为90°，这两个角才互为余角，类比互为相反数来理解互为余角。
4、老师将手中的两个角改变位置，和变不变？
学生：这两个角加起来是90°，所以还是互余关系，总结互余只表示数量关系，和位置无关。
师:如图∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1与∠2互余。表示同样的关系,是成对出现的。
教师应关注：学生的语言表达；学生是否能独立思考并积极参与到数学的问题中；学生是否真正理解了这个概念。
【设计意图】：从特殊的角关系，推导出具有的共同特征，得到余角的定义，体现了从特殊到一般的数学思想。让学生类比前面所学的“互为相反数”，体会“互为余角”的意义。
5、小试牛刀1：图中给出的各角，那些互为余角？
小试牛刀2：判断
①32°与58°互为余角。 （ ）
②∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，∠2，∠3互为余角。 （ ）
③两个锐角一定互为余角。 （ ）
【设计意图】：通过此题理解互余的定义，根据定义会判断余角。
（二）探究二：互为补角
1、展示两个角之和为180°的动画。
2、定义：如果两个角的和是180°(平角)，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。即:∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角，或∠3与∠4互补。
【设计意图】：类比互为余角的概念得到互为补角的概念.举一反三，加深印象。并用语言去表达这个概念，培养口语表达能力。
3、小试牛刀3：填表并思考：
一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
70°
110°
x （0°＜x＜90°）
总结： 一个锐角的补角比这个角的余角大90°。
【设计意图】：进一步明确互余与互补的角是哪类角，让学生进一步理解补角与余角的关系，教师强调注意事项。
（三）探究三：余角与补角的性质
1、小游戏：老师拿出一张卡片，说要找余角（补角）朋友时，拿到它的余角（补角）的同学请起立，举起角，并说我是你的朋友。
2、问题3：刚刚有2位同学站起来，说明∠1和∠2互余，∠1与∠3也互余，那请问∠2与∠3是什么关系？引导：同一个角的余角相等。
学生根据直观想象得到同角的余角相等，教师用几何语言进行验证。
3、问题4：若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2和∠4相等吗？为什么？
通过验证：等角的余角相等。
4、总结：同角（等角）的余角相等
5、问题5：对于补角是否也有类似性质？
学生说过程，并总结：同角（等角）的补角相等
【设计意图】：通过直观感受与几何验证，让学生理解余角与补角的性质。
6、解决问题：如图雪地是由雪堆积在土地而成的，要知道斜面和地平面的夹角，聪明的你有什么简单的方法吗？
三、合作交流，应用新知
1、例1若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°，
余角是 ( 90－x )° .
根据题意，得
180－x = 4 ( 90－x ) .
解得 x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.
2、例2如图，点O在直线AB上，射线 OD 平分∠AOC ， 射线OE 平分∠BOC。填空：
①图中∠1，∠2，∠3，∠4中相等的角是＿＿＿＿＿＿＿＿
②∠AOC+∠COB=＿＿＿＿°, ∠EOD=＿＿＿＿°
③图中与∠1互余的角是＿＿＿＿，
与∠2互余的角是＿＿＿＿，图中互余的角共有＿＿对.
④拓展：图中互补的角共有＿＿对.
四、课堂小结
1、师：通过本节课的学习，你有哪些收获呢？
2、总结升华
师：通过同学们的直观想象，逻辑推理，知道了什么是余角和补角，以及余角和补角的2条基本性质，从而体现出了从特殊到一般、类比、化归的数学思想方法。华罗庚曾说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学，数学和我们的生活息息相关，希望大家能够学好数学。
五、课堂检测
1、一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2、已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，
则∠C的度数是_______.
3、 ∠1 与 ∠2 互补，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°，
则∠1= ，∠2= .
六、布置作业
七、板书设计
4.3.3余角与补角
一、定义： 例1、
余角：如果两个角的和等于90°，
那么这两个角互余。
补角：如果两个角的和等于180°，
那么这两个角互补。
注意: 1、余角、补角成对出现
2、互余（互补）指数量关系
3、一个锐角的补角比它的余角大90°。
二、性质： 例2、
同角（等角）的余角相等
同角（等角）的补角相等4.3.3余角与补角
一、分析问题，探究新知
探究一：互为余角
1、小试牛刀1：图中给出的各角，那些互为余角？
2、小试牛刀2：判断。
①32°与58°互为余角。 （ ） ②∠1＋∠2 ＋∠3= 90°，则∠1、∠2 、∠3 互为余角。 （ ）
③两个锐角一定互为余角。 （ ）
探究二：互为补角
3、小试牛刀3：填表格，并思考以下问题 ：
一个锐角的补角比它的余角大多少度？
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
70°
110°
X（0°＜x＜90°）
探究三：余角、补角的性质
4、问题3：∠1和∠2互余，∠1也与∠3互余，请问∠2与∠3是什么关系？
5、问题4：若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2和∠4相等吗？为什么？
6、问题5：对于补角是否也有类似性质？
二、合作交流，应用新知
1、例1：若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
2、例2 ： 如图，点O在直线AB上，射线 OD 平分∠AOC ，射线OE 平分∠BOC。回答以下问题：
①图中∠1，∠2，∠3，∠4中，相等的角分别是
∠＿＿＿=∠＿＿＿， ∠＿＿＿=∠＿＿＿
②∠AOC+∠COB=＿＿＿＿°
∠EOD=＿＿＿＿°
③图中与∠1互余的角是＿＿＿＿，与∠2互余的角是＿＿＿＿，图中互余的角共有＿＿对.
④拓展：图中互补的角共有＿＿对.
三、课堂小结
师：通过本节课的学习，你有哪些收获呢？
四、课堂检测
1、一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2、已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是_______.
3、∠1 与 ∠2 互补，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= ，
∠2=
