13.3等腰三角形 期中复习测评 2021-2022学年人教版八年级数学上册（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 13.3等腰三角形 期中复习测评 2021-2022学年人教版八年级数学上册（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 383.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-03 11:57:28 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》期中复习测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD＝4，则DC的长为（ ）
A．7 B．6 C．8 D．5
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，点D、E分别在AB、AC上，连接BE、CD，相交于点F，BE＝BC，∠ABE＝∠BCD，若CE＝5，则CF的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．25° B．25°或35° C．25°或40° D．40°
4．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
7．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为 ．
10．已知等腰△ABC，AB＝AC，若AB边上的垂直平分线与直线AC所夹的锐角为40°，则等腰△ABC底角的度数为 ．
11．一个等腰三角形的三边长为x，2x﹣1，5x﹣3，则其周长为 ．
12．已知等腰△ABC中，一腰AC上的中线BD将△ABC的周长分成9cm和15cm两部分，则这个三角形的腰长和底边长分别为 ．
13．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜4）．当t＝ 时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形．
14．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线．BD＝4，DE＝3，则AB＝ ．
16．如图，在正△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝ ．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分线DE交AB、BC于点D、E．
（1）若∠C＝72°，求∠B、∠1的度数；
（2）若BD＝6，AC＝7，求△AEC的周长．
18．如图，△ABC中，点D在BC边上，且∠ADB＝90°∠CAD．
（1）求证：AD＝AC；
（2）点E在AB边上，连接CE交AD于点F，且∠CFD＝∠CAB，AE＝BD，
①求∠ABC的度数；
②若AB＝8，DF＝2AF，直接写出EF的长．
19．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．
（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
21．如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
22．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
23．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
24．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：过A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC，
∴BF＝CF＝BC，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴BD＝AD＝4，
设DF＝x，
∴BF＝4+x，
∵AF2＝AB2﹣BF2＝AD2﹣DF2，
即16﹣x2＝36﹣（4+x）2，
∴x＝0.5，
∴DF＝0.5，
∵AF⊥BC，AB＝AC，
∴BF＝CF，
∴CD＝CF+DF＝BF+DF＝BD+2DF＝4+0.5×2＝5，
故选：D．
2．解：∵AB＝AC，BE＝BC，
∴∠ABC＝∠ACB．∠BEC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BEC，
∵∠ABE＝∠BCD，
∴∠EBC＝∠ECD，
∵∠CFE为△CBF的外角，
∴∠CFE＝∠CBF+∠FCB，
∵∠ABE＝∠BCD，
∴∠CFE＝∠CBF+∠FCB＝∠ABC，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE＝5，
故选：B．
3．解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：C．
4．解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，
∴MB＝MO，NC＝NO，
∴MN＝MO+NO＝MB+NC，
∵AB＝4，AC＝6，
∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，
故选：D．
5．解：①∵CE平分∠ACE，
∴∠ACP＝∠MCP，
∵AM⊥CE，
∴∠APC＝∠MPC＝90°，
∴∠CAM＝∠CMA，
∴AC＝CM，
∴AP＝PM，
①正确；
②同理得：BN＝AB＝6，
∵CM＝AC＝5，
∴BC＝BN+CM﹣MN＝6+5﹣2＝9，
②正确；
③∵∠BAC＝∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，
由①知：∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，
△AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC，
∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，
∴∠MAN＝35°，
③正确；
④当∠AMN＝∠ANM时，AM＝AN，
∵AB＝6≠AC＝5
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，
④不正确；
所以本题不正确的有④，
故选：D．
6．解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
7．解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR＝PS，
∴P在∠A的平分线上，故①正确；
∵PA＝PA，PS＝PR，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS＝AR，故②正确；
∵AQ＝PQ，
∴∠PQC＝2∠PAC＝60°＝∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，
∵①②③④都正确，
故选：D．
8．解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：如图所示，
△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
10．解：①DE与线段AC相交时，如图1，
∵DE是AB的垂直平分线，∠AED＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠AED＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣50°）＝65°；
②DE与CA的延长线相交时，如图2，
∵DE是AB的垂直平分线，∠AED＝40°，
∴∠EAD＝90°﹣∠AED＝90°﹣40°＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠EAD＝180°﹣50°＝130°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣130°）＝25°，
综上所述，等腰△ABC的底角∠B的大小为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
11．解：∵等腰三角形三边的长分别是x，2x﹣1，5x﹣3，
∴①如果x＝2x﹣1，则x＝1，三边为：1，1，2；
不能组成三角形，舍去；
②如果x＝5x﹣3，则x＝，三边为：，，
∴周长为×2+＝2；
③如果2x﹣1＝5x﹣3，则x＝，三边为：，，，
不能构成三角形，即它三角形的周长是2．
故答案为：2．
12．解：设腰长为xcm，
①腰长与腰长的一半是9cm时，x+x＝9，
解得x＝6，
所以，底边＝15﹣×6＝12，
∵6+6＝12，
∴6cm、6cm、12cm不能组成三角形；
②腰长与腰长的一半是15cm时，x+x＝15，
解得x＝10，
所以，底边＝9﹣×10＝4，
所以，三角形的三边为10cm、10cm、4cm，能组成三角形，
综上所述，三角形的腰长为10cm，底边为4cm，
故答案为10cm，4cm．
13．解：连接PB，过点Q作QE⊥CD，
若△PQB是以PQ为腰的等腰三角形，则有两种情况：
①当PQ＝PB时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝EQ，
∴△PEQ≌△PCB（HL），
∴PE＝PC．
由题意得：PD＝2t，AQ＝t，
四边形ADEQ是矩形，
∴PE＝2t﹣t＝t，PC＝t，
∵PD+PC＝8，
∴2t+t＝8，解得t＝．
②当PQ＝QB时，
PQ＝QB＝8﹣t，
Rt△PQE中，PQ＝8﹣t，PE＝t，EQ＝4，
∴（8﹣t）2＝t2+42，解得t＝3．
故答案为：或3．
14．解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
15．解：延长DB到F，使BF＝BA，连接AF，
∵BF＝BA，
∴∠F＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠F+∠BAF，
∴∠ABC＝2∠F，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠F＝∠C，
∴AF＝AC，
∵AD⊥BC于点D，
∴FD＝CD，即FB+BD＝CE+DE，
∵BF＝BA，BE＝CE，
∴BE+DE＝AB+BD；
∵BD＝4，DE＝3，
∴（4+3）+3＝AB+4，
∴AB＝6．
故答案为6．
16．解：∵△ABC为正三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵折叠
∴△ADE≌△FDE
∴∠DFE＝∠A＝60°
∵∠B+∠BDF+∠BFD＝180°，∠DFE+∠BFD+∠CFE＝180°
∴∠BDF+∠BFD＝120°，∠BFD+∠CFE＝120°
∴∠BDF＝∠CFE
∵∠CFE+∠CEF+∠C＝180°
∴∠CFE+∠CEF＝120°
∴∠BDF+∠CEF＝120°
故答案为：120°．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．解：∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，
∴BE＝AE，∠ADE＝∠BDE，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝∠3+∠4＝72°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠3＝∠B＝36°，
∴∠1＝90°﹣∠3＝54°；
（2）∵BD＝6，
∴AB＝2BD＝2×6＝12，
∴BC＝12，
∵AE＝BE，
∴AE+CE+AC＝BC+AC＝12+7＝19．
即△AEC的周长为19．
18．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB+∠CAD，∠ADB＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADB﹣∠CAD＝90°∠CAD，
∵∠ADB+∠CDA＝180°，
∴∠CDA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣（90°∠CAD）＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G，
∵∠CFD＝∠CAB，∠CFD＝∠CAD+∠ACE，∠CAB＝∠CAD+∠DAB，
∴∠ACE＝∠DAB，
又∵∠ACD＝∠ADC，∠ECB＝∠ACD﹣∠ACE，∠B＝∠ADC﹣∠DAB，
∴∠ECB＝∠B，
∴CE＝BE，
∵DG∥CE，
∴∠ECB＝∠BDG，
∴∠BDG＝∠B，
∴DG＝BG，
∵∠AEC＝∠DGA，AC＝DA，∠ACE＝∠DAG，
∴△AEC≌△DGA(AAS)，
∴DG＝AE，
又∵AE＝BD，
∴DG＝BD＝BG，
∴△BDG为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
②EF＝．
过点D作DH∥AB交CE于点H，
由①知△EBC和△HDC均为等边三角形，
设AE＝BD＝x，则BE＝BC＝8﹣x，
∴DH＝CD＝8﹣2x，
∵DH∥AB，
∴x＝2，
∵∠ACE＝∠DAB，
∵AC＝AD＝3AF，
∴EF＝AE＝．
19．（1）证明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO，
∴∠CAO＝∠CBD．
在△ACD和△BCD中，
∴△ACD≌△BCD（AAS）．
∴AC＝BC；
（2）由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO，
∴BD＝AD＝DE，过D作DN⊥AC于N点，如右图所示：
∵∠ACD＝∠BCD，
∴DO＝DN，
在Rt△BDO和Rt△EDN中，
∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），
∴BO＝EN．
在△DOC和△DNC中，
∴△DOC≌△DNC（AAS），
可知：OC＝NC；
∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．
20．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
21．解：（1）图中有5个等腰三角形，
EF＝BE+CF，
∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，
可得EF＝EO+FO＝BE+CF；
（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，
如下图所示：∵EF∥BC，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．
∴EF＝BE+CF存在．
（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF＝BE﹣CF，
∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5＝∠6，
又∠4＝∠5，∴∠4＝∠6，
∴△BEO是等腰三角形，
在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，
∵BE＝EO，OF＝FC，
∴BE＝EF+FO＝EF+CF，
∴EF＝BE﹣CF
22．解：（1）由△ABC是等边三角形可得，
∠ABC＝∠C＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠EBC，∠AEB＝∠CDA，
∴∠BAD＝∠EBC，
∵∠BPD＝∠ABE+∠BAD，
∴∠BPD＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°；
（2）∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BQP＝90°，
∵∠BPD＝60°，
∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°，
在Rt△BPQ中，
∵PQ＝3，∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．
23．解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形
∴AC＝BC，EC＝DC
∠ACB＝∠ECD＝60°
∴∠ACD＝∠ECB
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE；
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CBH＝∠CAG
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上
∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
又∵AC＝BC
∴△ACG≌△BCH；
（3）△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH
∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）
又∵∠ACG＝60°
∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；
24．解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
x×1+12＝2x，
解得：x＝12；
（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD＝4，则DC的长为（ ）
A．7 B．6 C．8 D．5
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，点D、E分别在AB、AC上，连接BE、CD，相交于点F，BE＝BC，∠ABE＝∠BCD，若CE＝5，则CF的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．25° B．25°或35° C．25°或40° D．40°
4．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
7．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为 ．
10．已知等腰△ABC，AB＝AC，若AB边上的垂直平分线与直线AC所夹的锐角为40°，则等腰△ABC底角的度数为 ．
11．一个等腰三角形的三边长为x，2x﹣1，5x﹣3，则其周长为 ．
12．已知等腰△ABC中，一腰AC上的中线BD将△ABC的周长分成9cm和15cm两部分，则这个三角形的腰长和底边长分别为 ．
13．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜4）．当t＝ 时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形．
14．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线．BD＝4，DE＝3，则AB＝ ．
16．如图，在正△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝ ．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分线DE交AB、BC于点D、E．
（1）若∠C＝72°，求∠B、∠1的度数；
（2）若BD＝6，AC＝7，求△AEC的周长．
18．如图，△ABC中，点D在BC边上，且∠ADB＝90°∠CAD．
（1）求证：AD＝AC；
（2）点E在AB边上，连接CE交AD于点F，且∠CFD＝∠CAB，AE＝BD，
①求∠ABC的度数；
②若AB＝8，DF＝2AF，直接写出EF的长．
19．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．
（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
21．如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
22．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
23．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
24．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：过A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC，
∴BF＝CF＝BC，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴BD＝AD＝4，
设DF＝x，
∴BF＝4+x，
∵AF2＝AB2﹣BF2＝AD2﹣DF2，
即16﹣x2＝36﹣（4+x）2，
∴x＝0.5，
∴DF＝0.5，
∵AF⊥BC，AB＝AC，
∴BF＝CF，
∴CD＝CF+DF＝BF+DF＝BD+2DF＝4+0.5×2＝5，
故选：D．
2．解：∵AB＝AC，BE＝BC，
∴∠ABC＝∠ACB．∠BEC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BEC，
∵∠ABE＝∠BCD，
∴∠EBC＝∠ECD，
∵∠CFE为△CBF的外角，
∴∠CFE＝∠CBF+∠FCB，
∵∠ABE＝∠BCD，
∴∠CFE＝∠CBF+∠FCB＝∠ABC，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE＝5，
故选：B．
3．解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：C．
4．解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，
∴MB＝MO，NC＝NO，
∴MN＝MO+NO＝MB+NC，
∵AB＝4，AC＝6，
∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，
故选：D．
5．解：①∵CE平分∠ACE，
∴∠ACP＝∠MCP，
∵AM⊥CE，
∴∠APC＝∠MPC＝90°，
∴∠CAM＝∠CMA，
∴AC＝CM，
∴AP＝PM，
①正确；
②同理得：BN＝AB＝6，
∵CM＝AC＝5，
∴BC＝BN+CM﹣MN＝6+5﹣2＝9，
②正确；
③∵∠BAC＝∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，
由①知：∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，
△AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC，
∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，
∴∠MAN＝35°，
③正确；
④当∠AMN＝∠ANM时，AM＝AN，
∵AB＝6≠AC＝5
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，
④不正确；
所以本题不正确的有④，
故选：D．
6．解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
7．解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR＝PS，
∴P在∠A的平分线上，故①正确；
∵PA＝PA，PS＝PR，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS＝AR，故②正确；
∵AQ＝PQ，
∴∠PQC＝2∠PAC＝60°＝∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，
∵①②③④都正确，
故选：D．
8．解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：如图所示，
△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
10．解：①DE与线段AC相交时，如图1，
∵DE是AB的垂直平分线，∠AED＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠AED＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣50°）＝65°；
②DE与CA的延长线相交时，如图2，
∵DE是AB的垂直平分线，∠AED＝40°，
∴∠EAD＝90°﹣∠AED＝90°﹣40°＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠EAD＝180°﹣50°＝130°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣130°）＝25°，
综上所述，等腰△ABC的底角∠B的大小为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
11．解：∵等腰三角形三边的长分别是x，2x﹣1，5x﹣3，
∴①如果x＝2x﹣1，则x＝1，三边为：1，1，2；
不能组成三角形，舍去；
②如果x＝5x﹣3，则x＝，三边为：，，
∴周长为×2+＝2；
③如果2x﹣1＝5x﹣3，则x＝，三边为：，，，
不能构成三角形，即它三角形的周长是2．
故答案为：2．
12．解：设腰长为xcm，
①腰长与腰长的一半是9cm时，x+x＝9，
解得x＝6，
所以，底边＝15﹣×6＝12，
∵6+6＝12，
∴6cm、6cm、12cm不能组成三角形；
②腰长与腰长的一半是15cm时，x+x＝15，
解得x＝10，
所以，底边＝9﹣×10＝4，
所以，三角形的三边为10cm、10cm、4cm，能组成三角形，
综上所述，三角形的腰长为10cm，底边为4cm，
故答案为10cm，4cm．
13．解：连接PB，过点Q作QE⊥CD，
若△PQB是以PQ为腰的等腰三角形，则有两种情况：
①当PQ＝PB时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝EQ，
∴△PEQ≌△PCB（HL），
∴PE＝PC．
由题意得：PD＝2t，AQ＝t，
四边形ADEQ是矩形，
∴PE＝2t﹣t＝t，PC＝t，
∵PD+PC＝8，
∴2t+t＝8，解得t＝．
②当PQ＝QB时，
PQ＝QB＝8﹣t，
Rt△PQE中，PQ＝8﹣t，PE＝t，EQ＝4，
∴（8﹣t）2＝t2+42，解得t＝3．
故答案为：或3．
14．解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
15．解：延长DB到F，使BF＝BA，连接AF，
∵BF＝BA，
∴∠F＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠F+∠BAF，
∴∠ABC＝2∠F，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠F＝∠C，
∴AF＝AC，
∵AD⊥BC于点D，
∴FD＝CD，即FB+BD＝CE+DE，
∵BF＝BA，BE＝CE，
∴BE+DE＝AB+BD；
∵BD＝4，DE＝3，
∴（4+3）+3＝AB+4，
∴AB＝6．
故答案为6．
16．解：∵△ABC为正三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵折叠
∴△ADE≌△FDE
∴∠DFE＝∠A＝60°
∵∠B+∠BDF+∠BFD＝180°，∠DFE+∠BFD+∠CFE＝180°
∴∠BDF+∠BFD＝120°，∠BFD+∠CFE＝120°
∴∠BDF＝∠CFE
∵∠CFE+∠CEF+∠C＝180°
∴∠CFE+∠CEF＝120°
∴∠BDF+∠CEF＝120°
故答案为：120°．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．解：∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，
∴BE＝AE，∠ADE＝∠BDE，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝∠3+∠4＝72°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠3＝∠B＝36°，
∴∠1＝90°﹣∠3＝54°；
（2）∵BD＝6，
∴AB＝2BD＝2×6＝12，
∴BC＝12，
∵AE＝BE，
∴AE+CE+AC＝BC+AC＝12+7＝19．
即△AEC的周长为19．
18．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB+∠CAD，∠ADB＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADB﹣∠CAD＝90°∠CAD，
∵∠ADB+∠CDA＝180°，
∴∠CDA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣（90°∠CAD）＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G，
∵∠CFD＝∠CAB，∠CFD＝∠CAD+∠ACE，∠CAB＝∠CAD+∠DAB，
∴∠ACE＝∠DAB，
又∵∠ACD＝∠ADC，∠ECB＝∠ACD﹣∠ACE，∠B＝∠ADC﹣∠DAB，
∴∠ECB＝∠B，
∴CE＝BE，
∵DG∥CE，
∴∠ECB＝∠BDG，
∴∠BDG＝∠B，
∴DG＝BG，
∵∠AEC＝∠DGA，AC＝DA，∠ACE＝∠DAG，
∴△AEC≌△DGA(AAS)，
∴DG＝AE，
又∵AE＝BD，
∴DG＝BD＝BG，
∴△BDG为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
②EF＝．
过点D作DH∥AB交CE于点H，
由①知△EBC和△HDC均为等边三角形，
设AE＝BD＝x，则BE＝BC＝8﹣x，
∴DH＝CD＝8﹣2x，
∵DH∥AB，
∴x＝2，
∵∠ACE＝∠DAB，
∵AC＝AD＝3AF，
∴EF＝AE＝．
19．（1）证明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO，
∴∠CAO＝∠CBD．
在△ACD和△BCD中，
∴△ACD≌△BCD（AAS）．
∴AC＝BC；
（2）由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO，
∴BD＝AD＝DE，过D作DN⊥AC于N点，如右图所示：
∵∠ACD＝∠BCD，
∴DO＝DN，
在Rt△BDO和Rt△EDN中，
∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），
∴BO＝EN．
在△DOC和△DNC中，
∴△DOC≌△DNC（AAS），
可知：OC＝NC；
∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．
20．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
21．解：（1）图中有5个等腰三角形，
EF＝BE+CF，
∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，
可得EF＝EO+FO＝BE+CF；
（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，
如下图所示：∵EF∥BC，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．
∴EF＝BE+CF存在．
（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF＝BE﹣CF，
∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5＝∠6，
又∠4＝∠5，∴∠4＝∠6，
∴△BEO是等腰三角形，
在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，
∵BE＝EO，OF＝FC，
∴BE＝EF+FO＝EF+CF，
∴EF＝BE﹣CF
22．解：（1）由△ABC是等边三角形可得，
∠ABC＝∠C＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠EBC，∠AEB＝∠CDA，
∴∠BAD＝∠EBC，
∵∠BPD＝∠ABE+∠BAD，
∴∠BPD＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°；
（2）∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BQP＝90°，
∵∠BPD＝60°，
∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°，
在Rt△BPQ中，
∵PQ＝3，∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．
23．解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形
∴AC＝BC，EC＝DC
∠ACB＝∠ECD＝60°
∴∠ACD＝∠ECB
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE；
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CBH＝∠CAG
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上
∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
又∵AC＝BC
∴△ACG≌△BCH；
（3）△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH
∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）
又∵∠ACG＝60°
∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；
24．解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
x×1+12＝2x，
解得：x＝12；
（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．