2021-2022学年北师大版九年级下册数学第三章圆综合压轴题（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级下册数学第三章圆综合压轴题（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-03 14:29:58 | ||
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文档简介
北师大版九年级下数学圆综合压轴题（一）
1.如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
（1）.判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）.若tan∠ADC＝ ，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）.如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE.求sin∠DBE的值.
2.如图，已知 ， 是 的直径， ， 与 的边 ， 分别交于点 ， ，连接 并延长，与 的延长线交于点 ， .
（1）.求证： 是 的切线；
（2）.若 ，求 的值；
（3）.在（2）的条件下，若 的平分线 交 于点 ，连接 交 于点 ，求 的值.
3.如图所示， 是 的直径，点 、 是 上不同的两点，直线 交线段 于点 ，交过点 的直线 于点 ，若 ，且 .
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）连接 、 、 、 ，若 .
①求证： ；
②过点 作 ，交线段 于点 ，点 为线段 的中点，若 ，求线段 的长度.
4.如图， 为 的直径，C为 上一点，连接 ，D为 延长线上一点，连接 ，且 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为 ， 的面积为 ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，E为 上一点，连接 交线段 于点F，若 ，求 的长.
5.如图，已知 是 的直径． 是 的弦，弦 垂直 于点F，交 于点G．过点C作 的切线交 的延长线于点P
（1）求证： ；
（2）判断 是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为 中点， ， ，求 的长．
6.如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作圆O
（1）.求证：AB是⊙O的切线；
（2）.已知AO交圆O于点E，延长AO交圆O于点D，tan∠D= ，求 的值；
（3）.如图2，在（2）条件下，若AB与⊙O的切点为点F，连接CF交AD于点G，设⊙O的半径为3，求CF的长.
7.如图，在 中， ， 是边 上一动点，且不与 ， 两点重合，连结 ，过点 作 交边 于点 ， 的外接圆交边 于另一点 ，连结 .
（1）.求证： .
（2）.当 ， 时.
①若 ，求 的长.
②当线段 ， ， 中有两条相等时，求出所有符合条件的 的值.
（3）.若 平分 ， ， ，则 .
8.如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D.
（1）.求证：AD⊥BC；
（2）.点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D.
①求证：AG与⊙O相切；
②当 ，CE＝4时，直接写出CG的长.
9.如图， 为 的直径， 为 延长线上一点，点 在 上，连接 交 于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）过点 作弦 ，垂足为 ， 交 于点 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，过点 作 ，垂足为 ，若 ， ，求 的半径．
10.如图1， 是 的直径，弦 于点 ， 是 上一点， ， 的延长线交于点 .
（1）求证： ∽ .
（2）若 是 的中点，当 与 的一边平行时，求 的值.
（3）如图2，点 是 的中点， ，连结 ， ， .当 时，求 的值.
11.如图. 为半圆 的直径，点 为半圆 上一点，过点 作半圆 的切线 交 的延长线于点 .过点 作 于点 ，交半圆 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ， ， .
（1）.求证： ；
（2）.填空：①连接 ，当 的度数为 时，四边形 为菱形；
②若 . ，则 的长为 .
12.如图， 为 直径，弦 交 于点E，G为 上一点，连接 交 于点F，交 于点H，连接 ，且 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，若 ，求 的半径．
13.如图，在 中， ， 的垂直平分线分别与 ， 及 的延长线相交于点D ， E ， F ， 且 ． 是 的外接圆， 的平分线交 于点G ， 交 于点H ， 连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）试判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）若 ，求 的值．
14.如图，四边形 内接于 ， 为 的直径， 是 的切线， 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，连接 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径；
（3）在（2）的条件下，求四边形 的面积.
15.如图， 与 的边 相切于点C ， 与 分别交于点D ， E ， 是 的直径，过点A作 交 于M ， N两点（点M在线段 上）．
（1）求证：直线 与 相切；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的长．
16.如图， 为 的切线， 为切点，过 作 的垂线 ，垂足为点 ，交 于点 .连接 并延长交 于点 ，交 的延长线于点 .
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径；
（3）若 ，求 的值.
17.如图，在 中， ， ， 是 的中点，以 为直径的⊙ 与 的三边分别交于点 、 、 ，连接 、 ， 与 交于点 ﹒
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求⊙ 的直径 的长；
（3）设 ， ，求 与 之间的函数关系式﹒
18.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC.
（1）求证：∠CGF＝∠AGD.
（2）已知∠DGF＝120°，AB＝4.
①求CD的长.
②若 ，求△ADG与△AFD的面积之比.
19.（提出问题）
如图1，直径 垂直弦 于点E， ， ，点P是 延长线上异于点D的一个动点，连结 交 于点Q，连结 交 于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变.
（1）（特殊位置探究）
当 时，求 和线段 的长；
（2）（一般规律探究）
如图2，连结 ， .在点P运动过程中，设 ， .
①求证： ；
②求y与x之间的函数关系式：
（3）（解决问题）
当 时，求 和 的面积之比.（直接写出答案）
20.如图，在 中，半径 直径 与 相切于点 连接 交 于点 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）若
①求证：四边形 是平行四边形；
②连接 ，当 的半径为 时，求 的长.
21.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD.
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO AE；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝ ，AF＝2 ，求BF的长.
答案解析部分
1.【答案】 （1）解：CD与⊙O相切，理由：
如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA＝∠ODB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADO＋∠ODB＝90°，
∴∠CDA＋∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切
（2）解：由（1）知，∠CBD＝∠ADC，
∵tan∠ADC＝ ，
∴tan∠CBD＝ ，
在Rt△ADB中，tan∠CBD＝ ＝ ，
∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴ ，
∴CD＝2CA＝4，
∴CB＝2CD＝8，
∴AB＝CB CA＝8 2＝6，
∴OA＝OB＝ AB＝3
（3）解：如图2，连接OE，过点E作EG⊥BD于G，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，
∴BE＝ =3 ，
在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2＝62 ，
∵ ＝ ，
∴AD＝ ，BD＝ ，
∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，
∴∠DEG＝∠BDE＝45°，
∴DG＝EG，
设DG＝EG＝x，则BG＝BD DG＝ x，
在Rt△BEG中，EG2＋BG2＝BE2＝（3 ）2＝18，
∴x2＋（ x）2＝18，
∴x＝ 或x＝ （舍），
∴EG＝ ，
∴sin∠DBE＝
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质结合已知条件可得∠CDA＝∠ODB，由圆周角定理可得∠ADB＝90°，推出∠CDO＝90°，据此判断；
（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，则tan∠ADC=tan∠CBD＝ ， 证明△CAD∽△CDB，由相似三角形的性质可得CD、CB的值，进而求出AB、OA的值；
（3）连接OE，过点E作EG⊥BD于G，由角平分线的概念可得∠ADE＝∠BDE＝45°，则∠BOE＝90°，由勾股定理求出BE、AD、BD的值，设DG＝EG＝x，则BG＝ x，然后在Rt△BEG中，应用勾股定理求出x的值，进而得到sin∠DBE的值.
2.【答案】 （1）证明：如图，连接DF，
∵ 是 的直径，
∴ .
∴DF∥AE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥OC.
∴DF∥OC.
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ 是 的切线
（2）解：∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
设 ，则 .
由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
∴ .
∵ ，
∴
（3）解：连接MN，并延长CO与AF， 分别相交于点P，点Q，连接AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，AB∥OC.
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ .
∴ .
∴ .
∵
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∵AB∥OC，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
在Rt△APO中，由勾股定理得 .
∴ .
在Rt△APH中，由勾股定理得 .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴
【解析】【分析】（1）连接DF，利用平行线的判定定理可证得DF∥AE，利用平行四边形的性质可证得AE∥OC，由此可证得DF∥OC；再利用平行线的性质及等腰三角形的性质可推出∠FAD=∠OCD，根据∠FDA+∠FAD=90°，可得到∠ODC=90°；然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用余角的性质可证得∠FDG=∠FAD，由此可推出△FDG∽△FAD，利用相似三角形的性质，可证得FD2=FG·FA，设DF=x，可表示出AF的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可求出DF的长；再利用锐角三角函数的定义及∠AEF=∠ADF，可求出cos∠AEF的值.
（3）连接MN，并延长CO与AF， 分别相交于点P，点Q，连接AQ，利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得OC=AB，AO=BC，∠CHB=∠ABH，再利用角平分线的定义去证明∠CHB=∠BCH，由此可求出CH的长；然后解直角三角形求出OC，AB的长，由此可求出MH的长及HQ的长，可推出HQ=AB；然后求出AP的长，利用勾股定理在Rt△APO中求出OP的长，可得到PH的长；在Rt△APH中，利用勾股定理求出AH的长；利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△MHN∽△AHQ，利用相似三角形的性质可求出AB与NH的比值.
3.【答案】 （1）证明：因为 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 是 的切线
（2）解：①∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴. ；
②∵ ，
∴ ，
设圆的半径为r，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∵点 为线段 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的长度为1
【解析】【分析】（1）由题意用勾股定理的逆定理易证∠ECF＝90°，然后根据圆的切线的判定可求解；
（2）①证明∠DAC＝∠EOB，∠DCA＝∠EBO，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
②由①中知：△ACD∽△OBE，再由相似三角形的性质可得比例式 ， 结合已知可求得AC的值，再由平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"可得比例式 ， 于是可求出CG的值，再根据线段的构成MG=CM-CG可求解．
4.【答案】 （1）证明：连接 ，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBO＝90°，
又∵OB＝OC，
∴∠CBO＝∠BCO，
∴∠CAB+∠BCO＝90°
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，
∴OC⊥CD
∴CD为⊙O切线
（2）解：过点C作 于点M，
∵ 的半径为 ，
∴AB= ，
∵ 的面积为 ，
∴CM=2，
在Rt△CMO中，CO= ，CM=2，
∴OM=1，
由（1）得∠OCD=∠CMO=90°，
∵∠COM=∠COD，
∴△COM∽△DOC，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：过点E作 于点N，连接 ，
∵ ， ，
∴△FCM∽△FEN，
∴ ，
由（2）得CM=2，OM=1，
∴EN=OM=1，
∵OC=OE，
∴Rt△COM≌Rt△OEN，
∴ON=CM=2，
∴MN=3，
∵ ，
∴FM=2，
∵OM=1，
∴OF=1，
∵BF=OB+OF，
∴
【解析】∴MN=3，
∵ ，
∴FM=2，
∵OM=1，
∴OF=1，
∵BF=OB+OF，
∴
【分析】（1）连接OC,由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠A＋∠ABC＝90°，由等边对等角得∠ABC＝∠BCO，结合已知可得∠ACB＝90°，然后根据圆的切线的判定可求解；
（2）过C作CM⊥AB于M，由△ABC的面积为2=AB×CM可求得CM的值，根据有两个角对应相等的两个三角形全等可得△COM∽△DOC，可得比例式 ， 则CD的值可求解；
（3） 过点E作于点N，连接OE，由CM⊥AB，EN⊥AB，可得△FCM∽△FEN，于是可得比例式 ， 由（2）得CM=2，OM=1，于是可得EN=OM，结合已知OC=OE根据HL定理可得Rt△COM≌Rt△OEN，则ON=CM，由MN=OM+ON可求得MN的值，结合已知可求得FM的值，再根据线段的构成BF=OB+OF可求解．
5.【答案】 （1）证明：如图：连接
为等腰三角形
， 切⊙O于点
（2）解：结论成立；理由如下；
如图：连接EC，CD， 并延长 交⊙O于点H，连接
为⊙O的直径
切⊙O于点
（3）解：如图：连接OD，OG，
为 中点
与点F
在 中有
【解析】【分析】（1）先求出∠B=∠OCB，再求出∠PGC=∠PCG，最后求解即可；
（2）先求出∠H=∠PCD，再证明三角形相似，最后证明求解即可；
（3）先求出∠BGO=90°，再求出OB=5，最后利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。
6.【答案】 （1）证明：如图，过点O作OF⊥AB于点F
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC=OF，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接CE，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠ECO+∠OCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECO=90°，
∴∠ACE=∠OCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACE=∠ODC，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴ ，
∵tan ，
∴ ；
（3）解：由（2）可知： ，
∴设AE=x，AC=2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴ ，
∴AC2=AE AD，
∴（2x）2=x（x+6），
解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），
∴AE=2，AC=4，
∴AO=AE+OE=2+3=5，
如图，连接CF交AD于点M
∵AC，AF是⊙O的切线，
∴AC=AF，∠CAO=∠OAF，
∴CF⊥AO，
∴∠ACO=∠CMO=90°，
∵∠COM=∠AOC，
∴△CMO∽△ACO，
∴ ，
∴OC2=OM OA，
∴OM= ，
∴CM= = ，
∴ .
【解析】【分析】（1）由题可过点O作OF⊥AB于点F，然后结合已知证OC＝OF即可求解；
（2）连接CE，先证∠ACE＝∠ODC，然后可证△ACE∽△ADC，于是可得比例式 ， 由锐角三角函数tan∠D＝即可求解；
（3）由（2）可设AE=x，AC=2x，由相似三角形的性质得AC2＝AE AD，于是可求出AE，AC的长，则AO=AE+OE可求得AO的值；连接CF交AD于点M，证△CMO∽△ACO，可得OC2＝OM OA，求出OM、CM的值，则CF＝2CM可求解．
7.【答案】 （1）证明：∵四边形 为圆内接四边形
∴
∵
∴
∵
∴
（2）解：①如图1过点 作 于点
∵
∴
∴
设 ，则
∵
∴
∴
∵
∴
∴ ，
∴
∴
∴
②（i）当 时，如图，
∵
∴
∴
∴设
∴ ，
∴
∴ ，
∴
∴
（ii）当 时，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（iii）当 时，如图，连结
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴ ，∴
设 ，则
在 中， ， ，
∴
综上所述，当线段 ， ， 中有两条相等时， 的值为 ， 或
（3）
【解析】【解答】解：（3）设 ，
∴
∴
∵ 平分∠
∴∠
∴△
∴
∴
∴
∵△
∴
∴
∴在△ 中：
∴
∵
∴
如图，过 作 于
∵ 平分∠ ，
且△ 高相等，
∴
∴
∴
【分析】（1）由圆内接四边形的性质可得∠BFD+∠BED=180°，结合邻补角的性质可得∠AFD=∠BED，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①过点D作DM⊥BC于点M，由相似三角形的性质可得∠DBE=∠ADF，设DM=3x，则BM=9x，根据∠C的正切函数可得CM=4x，由勾股定理求出BC的值，然后根据CM+BM=AB=10可得x，进而得到CD、AD的值；
②当DE=DF时，由弦、弧、圆周角的关系可得∠ABD=∠CBD，求出tanC的值，设AD=DM=3x，则CM=4x，CD=5x，表示出AC，求出tan∠ABD的值，据此解答；当DE=BF时，同理可得∠DBE=∠FDB，推出DF∥BC，得到∠ADF=∠C，据此解答；当DF=BF时，连接EF，易得AC∥
EF，得到∠BEF=∠C，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠BDF=∠BEF=∠C，求出∠ABD的正切值，设AF=y，则DF=BF=6-y，在Rt△ADF中，由勾股定理可得y的值，据此解答；
（3）设AF=t，根据△AFD的面积可得AD，由角平分线的概念可得∠ABD=∠DBE=∠ADF，证明△ADF∽△ABD，△ADF∽△DBE，由相似三角形的性质可得AB、BF、BD，然后在Rt△ABD中，应用勾股定理可得t的值，进而得到BE，过D作DK⊥BC于K，由角平分线的性质可得AD=KD，证明△BEF∽△BCA，然后结合相似三角形的性质进行解答.
8.【答案】 （1）证明：∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝90°，
∵∠AEF＝∠D，∠ABE＝∠D，
∴∠ABE+∠EAF＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AD⊥BC
（2）解：①证明：连接OA，AC.
∵AD⊥BC，
∴AE＝ED，
∴CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
∵∠GAE＝2∠D，
∴∠CAG＝∠CAD＝∠D，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵∠CEA＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠CAG+∠OAC＝90°，
∴OA⊥AG，
∴AG是⊙O的切线.
②解：过点C作CH⊥AG于H.设CG＝x，GH＝y.
∵CA平分∠GAE，CH⊥AG，CE⊥AE，
∴CH＝CE，
∵∠AEC＝∠AHC＝90°，AC＝AC，EC＝CH，
∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL），
∴AE＝AH，
∵EF⊥AB，BC是直径，
∴∠BFE＝∠BAC，
∴EF∥AC，
∴ ，
∵CE＝4，
∴BE＝10，
∵BC⊥AD，
∴ ，
∴∠CAE＝∠ABC，
∵∠AEC＝∠AEB＝90°，
∴△AEB∽△CEA，
∴ ，
∴AE2＝4×10，
∵AE＞0，
∴AE＝ ，
∴AH＝AE＝ ，
∵∠G＝∠G，∠CHG＝∠AEG＝90°，
∴△GHC∽△GEA，
∴ ，
∴ ，
解得x＝ .
经检验：x＝ 是原方程的根且符合题意，
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠AFE=90°，由圆周角定理可得∠ABE=∠D，结合已知条件可推出∠AEB=90°，据此证明；
（2）①连接OA，AC，由垂径定理可得AE＝ED，由等腰三角形的性质可得∠D＝∠CAD，∠OCA=∠OAC，结合已知条件可得∠CAG＝∠CAD＝∠D，推出OA⊥AG，据此证明；
②过点C作CH⊥AG于H，设CG＝x，GH＝y，由角平分线的性质可得CH＝CE，证明Rt△ACE≌Rt△ACH，推出EF∥AC，由平行线分线段成比例的性质可得BE，由弧、弦以及圆周角的关系可得∠CAE＝∠ABC，证明△AEB∽△CEA，△GHC∽△GEA，然后由相似三角形的性质求解即可.
9.【答案】 （1）证明：连接OC，如图：
∵OP=CP，
∴∠OCP=∠COP，
∵OA=OC，
∴∠PAC=∠ACO，
设∠PAC=α，则∠ACO=α，
∴∠COP=∠PAC+∠ACO=2α=∠OCP，
∴∠ACP=∠OCP+∠ACO=3α，
∴∠ACP=3∠PAC
（2）证明：连接OC、OE、BC，如图：
∵CE⊥AD，
∴∠CFD=90°，
∴∠FCD=90°-∠ADC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABC，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠FCD=∠CAB，
由（1）知：设∠CAB=α，则∠ACO=α，∠ACP=3α，
而∠FCD=∠CAB，
∴∠FCD=α，
∴∠OCE=∠ACP-∠FCD-∠ACO=α，
∴∠ACO=∠OCE，
∵OA=OC=OE，
∴∠OAC=∠ACO=∠OCE=∠E，
且OC=OC，
∴△AOC≌△EOC（AAS），
∴EC=AC
（3）解：连接OC、OE、BC，过O作OR⊥AC于R，过O作OS⊥CE于S，如图：
由（2）知：∠BAC=∠ACO=∠ECO=∠GCM=α，AC=EC，
∵∠ACB=∠CMG=90°，
∴△ACB∽△CMG，
∴ ，
设CG=x，⊙O的半径为r，则 ，
∴ ，
变形得： ①，
∵∠ACO=∠ECO，
∴CO是△ACG的角平分线，
∵OR⊥AC，OS⊥CE，
∴OR=OS，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵弦CE、AB交于G，
∴AG BG=CG EG，即 ，
变形得： ②，
由①②得： ，
变形整理得x2-2x-24=0，
解得x=6或x=-4（舍去），
∴ ，
∴r=
【解析】【分析】（1）先求出 ∠PAC=∠ACO， 再求出 ∠COP=∠PAC+∠ACO=2α=∠OCP， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ∠FCD=90°-∠ADC， 再求出 △AOC≌△EOC ，最后证明求解即可；
（3）先证明 △ACB∽△CMG， 再求出 ， 最后求解即可。
10.【答案】 （1）证明：∵四边形 内接于 ，
∴ ， ，
∵直径 ，
∴弧 弧 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ∽ .
（2）解：①当 时，∵ ，
∴ ，
∴ 为直径，即 ， ， 三点共线，
∴弧 弧 ，
∵ 是 中点，∴弧 弧 弧 ，
∴弧 ，
由（1）得 ∽ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②当 时，则 ，
∴弧 弧 弧 ，
∴ ，
∵ 是 中点，∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∽ ，∴ ，
设 ， ，则 ，解得 ，
即 ；
（3）解：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ，
四边形 为圆内接四边形，
≌ ，
∴ ，
过点 作 ，连接 ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ， 是等边三角形，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
由（1）得 ，
在 中， ；
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到 ， ，再根据直径 ，得到 ，即可得解；（2）分 和 两种情况进行讨论即可；（3）延长 至点 ，使 ，连接 ，易证 ≌ ，过点 作 ，连接 ，得到 是等边三角形，求出 ， ，再根据 即可得解；
11.【答案】 （1）证明：如图1，连接 .
∵ 是半圆 的切线，
∴ .
又∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ， ，
∴ .
∵ ，
∴ .
（2）30 ；
【解析】【解答】解：（2） ①如图2，连接
∵四边形 为菱形，
∴
∵
∴ 为等边三角形
∴
∴ .
② 由（1）中得 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴
即
∴
故答案为：30°，.
【分析】（1）连接OC，由切线的性质得OC⊥DE，推出OC∥AE，由平行线的性质可∠EAC=∠ACO，由等腰三角形的性质可得∠BAC=∠ACO，推出∠EAC=∠BAC，由垂直的概念可得∠AEC=∠AFC=90°，然后利用全等三角形的判定定理AAS进行证明；
（2）①连接OG，由菱形的性质可得OA=AG，推出△AOG为等边三角形，得到∠DAE=60°，据此求解；
② 由（1）中得∠EAC=∠BAC，推出BC=CG，由全等三角形的性质可得AE=AF，CE=CF，证明Rt△GCE≌Rt△BCF，得到GE=BF，推出AG+BF=AB-BF，据此求解.
12.【答案】 （1）证明：连接AC，BG，如图1所示
∵AB是 的直径，
（2）证明：如图2所示，
（3）解：连接AC、BC、BG，过点H作HM⊥AG于点M．
设AF=2k，BF=3k，则AB=5k．
∵AB是 的直径，
∴∠ACB=∠AGB=90°．
设
解得，
∴ 的半径
【解析】【分析】（1）连接AC，BG，由三角形的内角和知 ， 因为 ， 得到 ， 由AB是 的直径，即可得到 ；
（2）由 ， ， 得出 ， ， ；
（3）连接AC、BC、BG，过点H作HM⊥AG于点M．设AF=2k，BF=3k，则AB=5k． ， 得到
， 求得证出 ， 设 由 ， 解得证出因为得出 ， 由此得出 的半径。
13.【答案】 （1）证明：∵ ， 为 ，
∴
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ．
（2）解：结论： 与 相切．
理由：如下图，
连接 ，
∵ 是 的中垂线， ，
∴ ，
∴ ．
由（1） ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 与 相切．
（3）解：如下图，
连接 ， ，
∵ 是 的平分线，
∴ ． ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的内接圆，
∴ 为 的直径，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
∴
在 中
∴
∴
即
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再利用ASA证明三角形全等即可；
（2）先求出 ，再求出 ， 最后证明求解即可；
（3）先证明 ， 再求出 ，最后利用勾股定理计算求解即可。
14.【答案】 （1）证明：如图，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，延长 交 于点 ， 交 于点 ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为20；
（3）解：在 中， ，
∴ ，
∴
∴
在 中，
∴
∴ .
【解析】【分析】（1） 连接 ， 由切线的性质可得 ， 即可得 ， 由垂径定理可得结果；
（2） 延长 交 于点 ， 交 于点 ， 由垂径定理和弧、弦、圆心角定理可得 ， 根据 可得 ， 即可得GE的长度，由勾股定理可得BE的长度，即可得CE的长度，易证 ， 即可得AE的长度，可得结果；
（3）由 可得AD的长度，即可得BD的长度，由垂径定理可得DM的长度，由勾股定理可得OM的长度，即可得四边形的面积.
15.【答案】 （1）证明：如图，连接 ．
∵ 是直径，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ 为 的垂直平分线．
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴ ．
∵ 是 的切线，
∴ ．
∴ ．
∴直线 与 相切
（2）证明：由（1）知 为 的切线，
∴ ．
∴ 为 的切线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）解：如图，延长 交 于点H，连接 ．
∵ ，
∴ ．
易得 ．
∴ ．
即 ．
设 ，则 ．
解得 或0（舍去）．
∴ ．
∵ ，
．
∴ ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴
【解析】【分析】（1）连接OE，在利用垂直平分线的性质证出 ， 再利用全等三角形的性质可得 ， 即可证出直线 与 相切；
（2）先利用相似三角形的判定方法证出 ， 再利用相似三角形的性质列出比例式化简即可；
（3）延长 交 于点H，连接 ，利用锐角三角函数求出 ，再证明 ， 利用相似的性质列出比例式求解即可。
16.【答案】 （1）证明：连接 ，如图1所示：
为 的切线，
，
， 于 ，
， ，
在 和 中， ，
，
，
为 的切线；
（2）解：设 的半径为
由（1）可知
在 中，
则
，即 的半径为 .
（3）解：连接 ，如图2所示：
是直径，
由（1）知
，
，
，
， ，
是 的中位线，
，
，
设 ，则 ， .
， ，
，
，
，
，即 ，
， .
，
设 ， ，则 .
，
，
.
【解析】【分析】(1)连接OA，利用边边边定理证明△PBO≌△PAO，可得∠PBO=∠PAO =90°，即可得证；
(2)设 的半径为r，在Rt△OAE中根据勾股定理构建方程求解即可；
(3)连接AD，证明△ADE∽△POE，列出比例式得到OC是△ABD的中位线，然后由三角形中位线定理得出AD=2OC，根据已知条件设OC=2t，则BC=3t, AD=4t，再证明△PBC∽△BOC，推出EA和EP的比，设EA=8m，分别把EP和PA表示出来，再求出PB，最后根据三角函数定义求sin∠E的值.
17.【答案】 （1）证明： ，
为⊙ 的直径，
，
为 斜边上的中线，
，
，
，
.
（2）解：如图，将点 、 连接起来，
，
设 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
是 斜边上的中线，
， ，
又 ，
，
，
为⊙ 的直径， ，
，
，
，
在 和 中，
， ，
，
即 ，
，
.
（3）解：在 中， ，
设 ， ，则 ，
由（2）得 ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 .
【解析】【分析】(1)先由圆周角定理求出DF为直径，得出∠OCF=∠OFC，再由直角三角形斜边上中线的性质得出CM=MB，根据等边对等角得出∠MCB=∠B，从而得出∠B=∠OFC，最后根据同位角相等，两直线平行得出结论；
(2) 设MP=a，CP=4a，再证出△DOP∽△EMP，根据相似三角形的性质求出EP、则可得出DE的长， EM=a，根据直角三角形斜边上中线的性质求出AC=2DE=20 ， 在Rt△ACE和Rt△MCE中利用勾股定理建立方程求出a，即可求解；
(3)设AE=m，CM=2r，由题意得出CE=xm，在Rt△MCE中运用勾股定理求出得到 ， 再利用用△DOP∽△EMP，列比例式得出得出， ， 代入即可得出函数关系式.
18.【答案】 （1）证明：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴DE＝CE，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵四边形ADCG是圆内接四边形，
∴∠CGF＝∠ADC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠CGF＝∠AGD；
（2）解：如图，
①连接BD，
∵∠DGF＝120°，
∴∠AGD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝∠ABD＝∠AGD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴sin∠ABD ，
∵AB＝4，
∴CD＝AD＝2 ；
②∵∠DAG＝∠FAD，∠AGD＝∠ADC，
∴△ADG∽△AFD，
∴ ，
∵ ，AD＝CD＝2 ，
∴ ，DF＝3 ，AF AG＝AD2＝12，
∴CF＝DF﹣CD ，
∵∠GCF＝∠DAF，∠F＝∠F，
∴△FCG∽△FAD，
∴ ，
∴FG FA＝FC FD 9，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）连接AC，利用垂径定理可证得DE=EC，再利用等边对等角可证得∠ADC＝∠ACD，利用圆内接四边形的性质，张凯德∠CGF＝∠ADC，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠AGD＝∠ACD，由此可证得结论；
（2）①连接BD，利用邻补角的定义求出∠AGD的度数，利用圆周角定理可证得∠ACD＝∠ABD＝∠AGD＝60°，可推出△ACD是等边三角形，利用圆周角定理可证得∠ADB=90°，然后利用解直角三角形求出CD的长；②利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ADG∽△AFD，利用相似三角形的性质可求出DF，CF的长及AF AG的值；再证明△FCG∽△FAD，利用相似三角形的性质可得到FC FD 的值，然后求出FG与AG的比值，从而可求出△ADG与△AFD的面积之比.
19.【答案】 （1）解：连结 ，
∵直径 .
，
.
，
连结 ，则
在 中，
.
（2）解：①连结 ，
，
为直径，
.
②连结 ，过点A作 的垂线交 的延长线于点N，
为直径，
.
， .
.
（3）当 时， 和 的面积之比为 或
【解析】【解答】解：（3）当 时，F在O的右边时， ；当F在O的左边时， ；
当 时，则
，
解得 .
经检验： 是原方程的根且符合题意，
如图，连接
四边形 为 的内接四边形，
.
当 时， ，解得 .同理可得 .
∴当 时， 和 的面积之比为 或 .
【分析】（1）连接OD、BQ，先由勾股定理可求得OE的值，再由锐角三角形函数tan∠P=可求得tan∠P的值；在直角三角形ABQ中，由锐角三角形函数cos∠BAQ=可求得AQ的值；
（2）①连接BQ、AC，由圆周角定理可求解；
②连接BC，过点A作AC的垂线交CQ的延长线于点N，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”可得△FCB∽△FNA，由相似三角形的性质可得比例式可求解；
（3）由相似三角形的性质可求解．
20.【答案】 （1）证明: 与 相切于点 ，
，
半径 直径 ，
，
，
，
；
（2）解:①证明： ，
设 的半径为 ，
在 中，
在 中，
，
，
而 ，
四边形 是平行四边形：
作直径 连接 ，如图，
∵ ，半径为3
∴
∵四边形 是平行四边形，OD⊥CD，
∴ ，
为直径，
，
，
，
，
，
而
，
，即
.
【解析】【分析】（1）先利用切线的性质得到OD⊥CD，再证明AB∥CD，然后利用平行线的性质和圆周角定理得到结论；（2）①设⊙O的半径为r，利用正切的定义得到OG＝ r，则DG＝ r，则CD＝3DG＝2r，然后根据平行线的判定得到结论；②作直径DH，连接HE，如图，先计算出AG＝ ，CG＝2 ，再证明△CDE∽△CAD，然后利用相似比计算DE的长.
21.【答案】 （1）证明：连接 .
是直径，
，
，
， ，
，
，
，
为 的切线
（2）证明： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：：如图，过点 作 于 .
是直径，
，
，
可以假设 ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
， ， ，
， ，
【解析】【分析】（1）欲证明 是 的切线，只要证明 即可.（2）证明 ，可得结论.（3）过点 作 于 .由题意 ，可以假设 ， ，证明 ，可得 ，推出 ， ，再证明 ，推出 ，推出 ， ，由 ，推出 ，可得 ，利用勾股定理求出 ， ，可得结论
1.如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
（1）.判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）.若tan∠ADC＝ ，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）.如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE.求sin∠DBE的值.
2.如图，已知 ， 是 的直径， ， 与 的边 ， 分别交于点 ， ，连接 并延长，与 的延长线交于点 ， .
（1）.求证： 是 的切线；
（2）.若 ，求 的值；
（3）.在（2）的条件下，若 的平分线 交 于点 ，连接 交 于点 ，求 的值.
3.如图所示， 是 的直径，点 、 是 上不同的两点，直线 交线段 于点 ，交过点 的直线 于点 ，若 ，且 .
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）连接 、 、 、 ，若 .
①求证： ；
②过点 作 ，交线段 于点 ，点 为线段 的中点，若 ，求线段 的长度.
4.如图， 为 的直径，C为 上一点，连接 ，D为 延长线上一点，连接 ，且 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为 ， 的面积为 ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，E为 上一点，连接 交线段 于点F，若 ，求 的长.
5.如图，已知 是 的直径． 是 的弦，弦 垂直 于点F，交 于点G．过点C作 的切线交 的延长线于点P
（1）求证： ；
（2）判断 是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为 中点， ， ，求 的长．
6.如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作圆O
（1）.求证：AB是⊙O的切线；
（2）.已知AO交圆O于点E，延长AO交圆O于点D，tan∠D= ，求 的值；
（3）.如图2，在（2）条件下，若AB与⊙O的切点为点F，连接CF交AD于点G，设⊙O的半径为3，求CF的长.
7.如图，在 中， ， 是边 上一动点，且不与 ， 两点重合，连结 ，过点 作 交边 于点 ， 的外接圆交边 于另一点 ，连结 .
（1）.求证： .
（2）.当 ， 时.
①若 ，求 的长.
②当线段 ， ， 中有两条相等时，求出所有符合条件的 的值.
（3）.若 平分 ， ， ，则 .
8.如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D.
（1）.求证：AD⊥BC；
（2）.点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D.
①求证：AG与⊙O相切；
②当 ，CE＝4时，直接写出CG的长.
9.如图， 为 的直径， 为 延长线上一点，点 在 上，连接 交 于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）过点 作弦 ，垂足为 ， 交 于点 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，过点 作 ，垂足为 ，若 ， ，求 的半径．
10.如图1， 是 的直径，弦 于点 ， 是 上一点， ， 的延长线交于点 .
（1）求证： ∽ .
（2）若 是 的中点，当 与 的一边平行时，求 的值.
（3）如图2，点 是 的中点， ，连结 ， ， .当 时，求 的值.
11.如图. 为半圆 的直径，点 为半圆 上一点，过点 作半圆 的切线 交 的延长线于点 .过点 作 于点 ，交半圆 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ， ， .
（1）.求证： ；
（2）.填空：①连接 ，当 的度数为 时，四边形 为菱形；
②若 . ，则 的长为 .
12.如图， 为 直径，弦 交 于点E，G为 上一点，连接 交 于点F，交 于点H，连接 ，且 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，若 ，求 的半径．
13.如图，在 中， ， 的垂直平分线分别与 ， 及 的延长线相交于点D ， E ， F ， 且 ． 是 的外接圆， 的平分线交 于点G ， 交 于点H ， 连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）试判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）若 ，求 的值．
14.如图，四边形 内接于 ， 为 的直径， 是 的切线， 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，连接 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径；
（3）在（2）的条件下，求四边形 的面积.
15.如图， 与 的边 相切于点C ， 与 分别交于点D ， E ， 是 的直径，过点A作 交 于M ， N两点（点M在线段 上）．
（1）求证：直线 与 相切；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的长．
16.如图， 为 的切线， 为切点，过 作 的垂线 ，垂足为点 ，交 于点 .连接 并延长交 于点 ，交 的延长线于点 .
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径；
（3）若 ，求 的值.
17.如图，在 中， ， ， 是 的中点，以 为直径的⊙ 与 的三边分别交于点 、 、 ，连接 、 ， 与 交于点 ﹒
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求⊙ 的直径 的长；
（3）设 ， ，求 与 之间的函数关系式﹒
18.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC.
（1）求证：∠CGF＝∠AGD.
（2）已知∠DGF＝120°，AB＝4.
①求CD的长.
②若 ，求△ADG与△AFD的面积之比.
19.（提出问题）
如图1，直径 垂直弦 于点E， ， ，点P是 延长线上异于点D的一个动点，连结 交 于点Q，连结 交 于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变.
（1）（特殊位置探究）
当 时，求 和线段 的长；
（2）（一般规律探究）
如图2，连结 ， .在点P运动过程中，设 ， .
①求证： ；
②求y与x之间的函数关系式：
（3）（解决问题）
当 时，求 和 的面积之比.（直接写出答案）
20.如图，在 中，半径 直径 与 相切于点 连接 交 于点 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）若
①求证：四边形 是平行四边形；
②连接 ，当 的半径为 时，求 的长.
21.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD.
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO AE；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝ ，AF＝2 ，求BF的长.
答案解析部分
1.【答案】 （1）解：CD与⊙O相切，理由：
如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA＝∠ODB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADO＋∠ODB＝90°，
∴∠CDA＋∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切
（2）解：由（1）知，∠CBD＝∠ADC，
∵tan∠ADC＝ ，
∴tan∠CBD＝ ，
在Rt△ADB中，tan∠CBD＝ ＝ ，
∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴ ，
∴CD＝2CA＝4，
∴CB＝2CD＝8，
∴AB＝CB CA＝8 2＝6，
∴OA＝OB＝ AB＝3
（3）解：如图2，连接OE，过点E作EG⊥BD于G，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，
∴BE＝ =3 ，
在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2＝62 ，
∵ ＝ ，
∴AD＝ ，BD＝ ，
∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，
∴∠DEG＝∠BDE＝45°，
∴DG＝EG，
设DG＝EG＝x，则BG＝BD DG＝ x，
在Rt△BEG中，EG2＋BG2＝BE2＝（3 ）2＝18，
∴x2＋（ x）2＝18，
∴x＝ 或x＝ （舍），
∴EG＝ ，
∴sin∠DBE＝
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质结合已知条件可得∠CDA＝∠ODB，由圆周角定理可得∠ADB＝90°，推出∠CDO＝90°，据此判断；
（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，则tan∠ADC=tan∠CBD＝ ， 证明△CAD∽△CDB，由相似三角形的性质可得CD、CB的值，进而求出AB、OA的值；
（3）连接OE，过点E作EG⊥BD于G，由角平分线的概念可得∠ADE＝∠BDE＝45°，则∠BOE＝90°，由勾股定理求出BE、AD、BD的值，设DG＝EG＝x，则BG＝ x，然后在Rt△BEG中，应用勾股定理求出x的值，进而得到sin∠DBE的值.
2.【答案】 （1）证明：如图，连接DF，
∵ 是 的直径，
∴ .
∴DF∥AE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥OC.
∴DF∥OC.
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ 是 的切线
（2）解：∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
设 ，则 .
由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
∴ .
∵ ，
∴
（3）解：连接MN，并延长CO与AF， 分别相交于点P，点Q，连接AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，AB∥OC.
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ .
∴ .
∴ .
∵
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∵AB∥OC，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
在Rt△APO中，由勾股定理得 .
∴ .
在Rt△APH中，由勾股定理得 .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴
【解析】【分析】（1）连接DF，利用平行线的判定定理可证得DF∥AE，利用平行四边形的性质可证得AE∥OC，由此可证得DF∥OC；再利用平行线的性质及等腰三角形的性质可推出∠FAD=∠OCD，根据∠FDA+∠FAD=90°，可得到∠ODC=90°；然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用余角的性质可证得∠FDG=∠FAD，由此可推出△FDG∽△FAD，利用相似三角形的性质，可证得FD2=FG·FA，设DF=x，可表示出AF的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可求出DF的长；再利用锐角三角函数的定义及∠AEF=∠ADF，可求出cos∠AEF的值.
（3）连接MN，并延长CO与AF， 分别相交于点P，点Q，连接AQ，利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得OC=AB，AO=BC，∠CHB=∠ABH，再利用角平分线的定义去证明∠CHB=∠BCH，由此可求出CH的长；然后解直角三角形求出OC，AB的长，由此可求出MH的长及HQ的长，可推出HQ=AB；然后求出AP的长，利用勾股定理在Rt△APO中求出OP的长，可得到PH的长；在Rt△APH中，利用勾股定理求出AH的长；利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△MHN∽△AHQ，利用相似三角形的性质可求出AB与NH的比值.
3.【答案】 （1）证明：因为 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 是 的切线
（2）解：①∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴. ；
②∵ ，
∴ ，
设圆的半径为r，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∵点 为线段 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的长度为1
【解析】【分析】（1）由题意用勾股定理的逆定理易证∠ECF＝90°，然后根据圆的切线的判定可求解；
（2）①证明∠DAC＝∠EOB，∠DCA＝∠EBO，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
②由①中知：△ACD∽△OBE，再由相似三角形的性质可得比例式 ， 结合已知可求得AC的值，再由平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"可得比例式 ， 于是可求出CG的值，再根据线段的构成MG=CM-CG可求解．
4.【答案】 （1）证明：连接 ，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBO＝90°，
又∵OB＝OC，
∴∠CBO＝∠BCO，
∴∠CAB+∠BCO＝90°
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，
∴OC⊥CD
∴CD为⊙O切线
（2）解：过点C作 于点M，
∵ 的半径为 ，
∴AB= ，
∵ 的面积为 ，
∴CM=2，
在Rt△CMO中，CO= ，CM=2，
∴OM=1，
由（1）得∠OCD=∠CMO=90°，
∵∠COM=∠COD，
∴△COM∽△DOC，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：过点E作 于点N，连接 ，
∵ ， ，
∴△FCM∽△FEN，
∴ ，
由（2）得CM=2，OM=1，
∴EN=OM=1，
∵OC=OE，
∴Rt△COM≌Rt△OEN，
∴ON=CM=2，
∴MN=3，
∵ ，
∴FM=2，
∵OM=1，
∴OF=1，
∵BF=OB+OF，
∴
【解析】∴MN=3，
∵ ，
∴FM=2，
∵OM=1，
∴OF=1，
∵BF=OB+OF，
∴
【分析】（1）连接OC,由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠A＋∠ABC＝90°，由等边对等角得∠ABC＝∠BCO，结合已知可得∠ACB＝90°，然后根据圆的切线的判定可求解；
（2）过C作CM⊥AB于M，由△ABC的面积为2=AB×CM可求得CM的值，根据有两个角对应相等的两个三角形全等可得△COM∽△DOC，可得比例式 ， 则CD的值可求解；
（3） 过点E作于点N，连接OE，由CM⊥AB，EN⊥AB，可得△FCM∽△FEN，于是可得比例式 ， 由（2）得CM=2，OM=1，于是可得EN=OM，结合已知OC=OE根据HL定理可得Rt△COM≌Rt△OEN，则ON=CM，由MN=OM+ON可求得MN的值，结合已知可求得FM的值，再根据线段的构成BF=OB+OF可求解．
5.【答案】 （1）证明：如图：连接
为等腰三角形
， 切⊙O于点
（2）解：结论成立；理由如下；
如图：连接EC，CD， 并延长 交⊙O于点H，连接
为⊙O的直径
切⊙O于点
（3）解：如图：连接OD，OG，
为 中点
与点F
在 中有
【解析】【分析】（1）先求出∠B=∠OCB，再求出∠PGC=∠PCG，最后求解即可；
（2）先求出∠H=∠PCD，再证明三角形相似，最后证明求解即可；
（3）先求出∠BGO=90°，再求出OB=5，最后利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。
6.【答案】 （1）证明：如图，过点O作OF⊥AB于点F
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC=OF，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接CE，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠ECO+∠OCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECO=90°，
∴∠ACE=∠OCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACE=∠ODC，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴ ，
∵tan ，
∴ ；
（3）解：由（2）可知： ，
∴设AE=x，AC=2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴ ，
∴AC2=AE AD，
∴（2x）2=x（x+6），
解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），
∴AE=2，AC=4，
∴AO=AE+OE=2+3=5，
如图，连接CF交AD于点M
∵AC，AF是⊙O的切线，
∴AC=AF，∠CAO=∠OAF，
∴CF⊥AO，
∴∠ACO=∠CMO=90°，
∵∠COM=∠AOC，
∴△CMO∽△ACO，
∴ ，
∴OC2=OM OA，
∴OM= ，
∴CM= = ，
∴ .
【解析】【分析】（1）由题可过点O作OF⊥AB于点F，然后结合已知证OC＝OF即可求解；
（2）连接CE，先证∠ACE＝∠ODC，然后可证△ACE∽△ADC，于是可得比例式 ， 由锐角三角函数tan∠D＝即可求解；
（3）由（2）可设AE=x，AC=2x，由相似三角形的性质得AC2＝AE AD，于是可求出AE，AC的长，则AO=AE+OE可求得AO的值；连接CF交AD于点M，证△CMO∽△ACO，可得OC2＝OM OA，求出OM、CM的值，则CF＝2CM可求解．
7.【答案】 （1）证明：∵四边形 为圆内接四边形
∴
∵
∴
∵
∴
（2）解：①如图1过点 作 于点
∵
∴
∴
设 ，则
∵
∴
∴
∵
∴
∴ ，
∴
∴
∴
②（i）当 时，如图，
∵
∴
∴
∴设
∴ ，
∴
∴ ，
∴
∴
（ii）当 时，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（iii）当 时，如图，连结
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴ ，∴
设 ，则
在 中， ， ，
∴
综上所述，当线段 ， ， 中有两条相等时， 的值为 ， 或
（3）
【解析】【解答】解：（3）设 ，
∴
∴
∵ 平分∠
∴∠
∴△
∴
∴
∴
∵△
∴
∴
∴在△ 中：
∴
∵
∴
如图，过 作 于
∵ 平分∠ ，
且△ 高相等，
∴
∴
∴
【分析】（1）由圆内接四边形的性质可得∠BFD+∠BED=180°，结合邻补角的性质可得∠AFD=∠BED，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①过点D作DM⊥BC于点M，由相似三角形的性质可得∠DBE=∠ADF，设DM=3x，则BM=9x，根据∠C的正切函数可得CM=4x，由勾股定理求出BC的值，然后根据CM+BM=AB=10可得x，进而得到CD、AD的值；
②当DE=DF时，由弦、弧、圆周角的关系可得∠ABD=∠CBD，求出tanC的值，设AD=DM=3x，则CM=4x，CD=5x，表示出AC，求出tan∠ABD的值，据此解答；当DE=BF时，同理可得∠DBE=∠FDB，推出DF∥BC，得到∠ADF=∠C，据此解答；当DF=BF时，连接EF，易得AC∥
EF，得到∠BEF=∠C，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠BDF=∠BEF=∠C，求出∠ABD的正切值，设AF=y，则DF=BF=6-y，在Rt△ADF中，由勾股定理可得y的值，据此解答；
（3）设AF=t，根据△AFD的面积可得AD，由角平分线的概念可得∠ABD=∠DBE=∠ADF，证明△ADF∽△ABD，△ADF∽△DBE，由相似三角形的性质可得AB、BF、BD，然后在Rt△ABD中，应用勾股定理可得t的值，进而得到BE，过D作DK⊥BC于K，由角平分线的性质可得AD=KD，证明△BEF∽△BCA，然后结合相似三角形的性质进行解答.
8.【答案】 （1）证明：∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝90°，
∵∠AEF＝∠D，∠ABE＝∠D，
∴∠ABE+∠EAF＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AD⊥BC
（2）解：①证明：连接OA，AC.
∵AD⊥BC，
∴AE＝ED，
∴CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
∵∠GAE＝2∠D，
∴∠CAG＝∠CAD＝∠D，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵∠CEA＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠CAG+∠OAC＝90°，
∴OA⊥AG，
∴AG是⊙O的切线.
②解：过点C作CH⊥AG于H.设CG＝x，GH＝y.
∵CA平分∠GAE，CH⊥AG，CE⊥AE，
∴CH＝CE，
∵∠AEC＝∠AHC＝90°，AC＝AC，EC＝CH，
∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL），
∴AE＝AH，
∵EF⊥AB，BC是直径，
∴∠BFE＝∠BAC，
∴EF∥AC，
∴ ，
∵CE＝4，
∴BE＝10，
∵BC⊥AD，
∴ ，
∴∠CAE＝∠ABC，
∵∠AEC＝∠AEB＝90°，
∴△AEB∽△CEA，
∴ ，
∴AE2＝4×10，
∵AE＞0，
∴AE＝ ，
∴AH＝AE＝ ，
∵∠G＝∠G，∠CHG＝∠AEG＝90°，
∴△GHC∽△GEA，
∴ ，
∴ ，
解得x＝ .
经检验：x＝ 是原方程的根且符合题意，
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠AFE=90°，由圆周角定理可得∠ABE=∠D，结合已知条件可推出∠AEB=90°，据此证明；
（2）①连接OA，AC，由垂径定理可得AE＝ED，由等腰三角形的性质可得∠D＝∠CAD，∠OCA=∠OAC，结合已知条件可得∠CAG＝∠CAD＝∠D，推出OA⊥AG，据此证明；
②过点C作CH⊥AG于H，设CG＝x，GH＝y，由角平分线的性质可得CH＝CE，证明Rt△ACE≌Rt△ACH，推出EF∥AC，由平行线分线段成比例的性质可得BE，由弧、弦以及圆周角的关系可得∠CAE＝∠ABC，证明△AEB∽△CEA，△GHC∽△GEA，然后由相似三角形的性质求解即可.
9.【答案】 （1）证明：连接OC，如图：
∵OP=CP，
∴∠OCP=∠COP，
∵OA=OC，
∴∠PAC=∠ACO，
设∠PAC=α，则∠ACO=α，
∴∠COP=∠PAC+∠ACO=2α=∠OCP，
∴∠ACP=∠OCP+∠ACO=3α，
∴∠ACP=3∠PAC
（2）证明：连接OC、OE、BC，如图：
∵CE⊥AD，
∴∠CFD=90°，
∴∠FCD=90°-∠ADC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABC，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠FCD=∠CAB，
由（1）知：设∠CAB=α，则∠ACO=α，∠ACP=3α，
而∠FCD=∠CAB，
∴∠FCD=α，
∴∠OCE=∠ACP-∠FCD-∠ACO=α，
∴∠ACO=∠OCE，
∵OA=OC=OE，
∴∠OAC=∠ACO=∠OCE=∠E，
且OC=OC，
∴△AOC≌△EOC（AAS），
∴EC=AC
（3）解：连接OC、OE、BC，过O作OR⊥AC于R，过O作OS⊥CE于S，如图：
由（2）知：∠BAC=∠ACO=∠ECO=∠GCM=α，AC=EC，
∵∠ACB=∠CMG=90°，
∴△ACB∽△CMG，
∴ ，
设CG=x，⊙O的半径为r，则 ，
∴ ，
变形得： ①，
∵∠ACO=∠ECO，
∴CO是△ACG的角平分线，
∵OR⊥AC，OS⊥CE，
∴OR=OS，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵弦CE、AB交于G，
∴AG BG=CG EG，即 ，
变形得： ②，
由①②得： ，
变形整理得x2-2x-24=0，
解得x=6或x=-4（舍去），
∴ ，
∴r=
【解析】【分析】（1）先求出 ∠PAC=∠ACO， 再求出 ∠COP=∠PAC+∠ACO=2α=∠OCP， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ∠FCD=90°-∠ADC， 再求出 △AOC≌△EOC ，最后证明求解即可；
（3）先证明 △ACB∽△CMG， 再求出 ， 最后求解即可。
10.【答案】 （1）证明：∵四边形 内接于 ，
∴ ， ，
∵直径 ，
∴弧 弧 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ∽ .
（2）解：①当 时，∵ ，
∴ ，
∴ 为直径，即 ， ， 三点共线，
∴弧 弧 ，
∵ 是 中点，∴弧 弧 弧 ，
∴弧 ，
由（1）得 ∽ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②当 时，则 ，
∴弧 弧 弧 ，
∴ ，
∵ 是 中点，∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∽ ，∴ ，
设 ， ，则 ，解得 ，
即 ；
（3）解：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ，
四边形 为圆内接四边形，
≌ ，
∴ ，
过点 作 ，连接 ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ， 是等边三角形，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
由（1）得 ，
在 中， ；
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到 ， ，再根据直径 ，得到 ，即可得解；（2）分 和 两种情况进行讨论即可；（3）延长 至点 ，使 ，连接 ，易证 ≌ ，过点 作 ，连接 ，得到 是等边三角形，求出 ， ，再根据 即可得解；
11.【答案】 （1）证明：如图1，连接 .
∵ 是半圆 的切线，
∴ .
又∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ， ，
∴ .
∵ ，
∴ .
（2）30 ；
【解析】【解答】解：（2） ①如图2，连接
∵四边形 为菱形，
∴
∵
∴ 为等边三角形
∴
∴ .
② 由（1）中得 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴
即
∴
故答案为：30°，.
【分析】（1）连接OC，由切线的性质得OC⊥DE，推出OC∥AE，由平行线的性质可∠EAC=∠ACO，由等腰三角形的性质可得∠BAC=∠ACO，推出∠EAC=∠BAC，由垂直的概念可得∠AEC=∠AFC=90°，然后利用全等三角形的判定定理AAS进行证明；
（2）①连接OG，由菱形的性质可得OA=AG，推出△AOG为等边三角形，得到∠DAE=60°，据此求解；
② 由（1）中得∠EAC=∠BAC，推出BC=CG，由全等三角形的性质可得AE=AF，CE=CF，证明Rt△GCE≌Rt△BCF，得到GE=BF，推出AG+BF=AB-BF，据此求解.
12.【答案】 （1）证明：连接AC，BG，如图1所示
∵AB是 的直径，
（2）证明：如图2所示，
（3）解：连接AC、BC、BG，过点H作HM⊥AG于点M．
设AF=2k，BF=3k，则AB=5k．
∵AB是 的直径，
∴∠ACB=∠AGB=90°．
设
解得，
∴ 的半径
【解析】【分析】（1）连接AC，BG，由三角形的内角和知 ， 因为 ， 得到 ， 由AB是 的直径，即可得到 ；
（2）由 ， ， 得出 ， ， ；
（3）连接AC、BC、BG，过点H作HM⊥AG于点M．设AF=2k，BF=3k，则AB=5k． ， 得到
， 求得证出 ， 设 由 ， 解得证出因为得出 ， 由此得出 的半径。
13.【答案】 （1）证明：∵ ， 为 ，
∴
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ．
（2）解：结论： 与 相切．
理由：如下图，
连接 ，
∵ 是 的中垂线， ，
∴ ，
∴ ．
由（1） ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 与 相切．
（3）解：如下图，
连接 ， ，
∵ 是 的平分线，
∴ ． ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的内接圆，
∴ 为 的直径，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
∴
在 中
∴
∴
即
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再利用ASA证明三角形全等即可；
（2）先求出 ，再求出 ， 最后证明求解即可；
（3）先证明 ， 再求出 ，最后利用勾股定理计算求解即可。
14.【答案】 （1）证明：如图，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，延长 交 于点 ， 交 于点 ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为20；
（3）解：在 中， ，
∴ ，
∴
∴
在 中，
∴
∴ .
【解析】【分析】（1） 连接 ， 由切线的性质可得 ， 即可得 ， 由垂径定理可得结果；
（2） 延长 交 于点 ， 交 于点 ， 由垂径定理和弧、弦、圆心角定理可得 ， 根据 可得 ， 即可得GE的长度，由勾股定理可得BE的长度，即可得CE的长度，易证 ， 即可得AE的长度，可得结果；
（3）由 可得AD的长度，即可得BD的长度，由垂径定理可得DM的长度，由勾股定理可得OM的长度，即可得四边形的面积.
15.【答案】 （1）证明：如图，连接 ．
∵ 是直径，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ 为 的垂直平分线．
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴ ．
∵ 是 的切线，
∴ ．
∴ ．
∴直线 与 相切
（2）证明：由（1）知 为 的切线，
∴ ．
∴ 为 的切线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）解：如图，延长 交 于点H，连接 ．
∵ ，
∴ ．
易得 ．
∴ ．
即 ．
设 ，则 ．
解得 或0（舍去）．
∴ ．
∵ ，
．
∴ ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴
【解析】【分析】（1）连接OE，在利用垂直平分线的性质证出 ， 再利用全等三角形的性质可得 ， 即可证出直线 与 相切；
（2）先利用相似三角形的判定方法证出 ， 再利用相似三角形的性质列出比例式化简即可；
（3）延长 交 于点H，连接 ，利用锐角三角函数求出 ，再证明 ， 利用相似的性质列出比例式求解即可。
16.【答案】 （1）证明：连接 ，如图1所示：
为 的切线，
，
， 于 ，
， ，
在 和 中， ，
，
，
为 的切线；
（2）解：设 的半径为
由（1）可知
在 中，
则
，即 的半径为 .
（3）解：连接 ，如图2所示：
是直径，
由（1）知
，
，
，
， ，
是 的中位线，
，
，
设 ，则 ， .
， ，
，
，
，
，即 ，
， .
，
设 ， ，则 .
，
，
.
【解析】【分析】(1)连接OA，利用边边边定理证明△PBO≌△PAO，可得∠PBO=∠PAO =90°，即可得证；
(2)设 的半径为r，在Rt△OAE中根据勾股定理构建方程求解即可；
(3)连接AD，证明△ADE∽△POE，列出比例式得到OC是△ABD的中位线，然后由三角形中位线定理得出AD=2OC，根据已知条件设OC=2t，则BC=3t, AD=4t，再证明△PBC∽△BOC，推出EA和EP的比，设EA=8m，分别把EP和PA表示出来，再求出PB，最后根据三角函数定义求sin∠E的值.
17.【答案】 （1）证明： ，
为⊙ 的直径，
，
为 斜边上的中线，
，
，
，
.
（2）解：如图，将点 、 连接起来，
，
设 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
是 斜边上的中线，
， ，
又 ，
，
，
为⊙ 的直径， ，
，
，
，
在 和 中，
， ，
，
即 ，
，
.
（3）解：在 中， ，
设 ， ，则 ，
由（2）得 ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 .
【解析】【分析】(1)先由圆周角定理求出DF为直径，得出∠OCF=∠OFC，再由直角三角形斜边上中线的性质得出CM=MB，根据等边对等角得出∠MCB=∠B，从而得出∠B=∠OFC，最后根据同位角相等，两直线平行得出结论；
(2) 设MP=a，CP=4a，再证出△DOP∽△EMP，根据相似三角形的性质求出EP、则可得出DE的长， EM=a，根据直角三角形斜边上中线的性质求出AC=2DE=20 ， 在Rt△ACE和Rt△MCE中利用勾股定理建立方程求出a，即可求解；
(3)设AE=m，CM=2r，由题意得出CE=xm，在Rt△MCE中运用勾股定理求出得到 ， 再利用用△DOP∽△EMP，列比例式得出得出， ， 代入即可得出函数关系式.
18.【答案】 （1）证明：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴DE＝CE，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵四边形ADCG是圆内接四边形，
∴∠CGF＝∠ADC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠CGF＝∠AGD；
（2）解：如图，
①连接BD，
∵∠DGF＝120°，
∴∠AGD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝∠ABD＝∠AGD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴sin∠ABD ，
∵AB＝4，
∴CD＝AD＝2 ；
②∵∠DAG＝∠FAD，∠AGD＝∠ADC，
∴△ADG∽△AFD，
∴ ，
∵ ，AD＝CD＝2 ，
∴ ，DF＝3 ，AF AG＝AD2＝12，
∴CF＝DF﹣CD ，
∵∠GCF＝∠DAF，∠F＝∠F，
∴△FCG∽△FAD，
∴ ，
∴FG FA＝FC FD 9，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）连接AC，利用垂径定理可证得DE=EC，再利用等边对等角可证得∠ADC＝∠ACD，利用圆内接四边形的性质，张凯德∠CGF＝∠ADC，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠AGD＝∠ACD，由此可证得结论；
（2）①连接BD，利用邻补角的定义求出∠AGD的度数，利用圆周角定理可证得∠ACD＝∠ABD＝∠AGD＝60°，可推出△ACD是等边三角形，利用圆周角定理可证得∠ADB=90°，然后利用解直角三角形求出CD的长；②利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ADG∽△AFD，利用相似三角形的性质可求出DF，CF的长及AF AG的值；再证明△FCG∽△FAD，利用相似三角形的性质可得到FC FD 的值，然后求出FG与AG的比值，从而可求出△ADG与△AFD的面积之比.
19.【答案】 （1）解：连结 ，
∵直径 .
，
.
，
连结 ，则
在 中，
.
（2）解：①连结 ，
，
为直径，
.
②连结 ，过点A作 的垂线交 的延长线于点N，
为直径，
.
， .
.
（3）当 时， 和 的面积之比为 或
【解析】【解答】解：（3）当 时，F在O的右边时， ；当F在O的左边时， ；
当 时，则
，
解得 .
经检验： 是原方程的根且符合题意，
如图，连接
四边形 为 的内接四边形，
.
当 时， ，解得 .同理可得 .
∴当 时， 和 的面积之比为 或 .
【分析】（1）连接OD、BQ，先由勾股定理可求得OE的值，再由锐角三角形函数tan∠P=可求得tan∠P的值；在直角三角形ABQ中，由锐角三角形函数cos∠BAQ=可求得AQ的值；
（2）①连接BQ、AC，由圆周角定理可求解；
②连接BC，过点A作AC的垂线交CQ的延长线于点N，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”可得△FCB∽△FNA，由相似三角形的性质可得比例式可求解；
（3）由相似三角形的性质可求解．
20.【答案】 （1）证明: 与 相切于点 ，
，
半径 直径 ，
，
，
，
；
（2）解:①证明： ，
设 的半径为 ，
在 中，
在 中，
，
，
而 ，
四边形 是平行四边形：
作直径 连接 ，如图，
∵ ，半径为3
∴
∵四边形 是平行四边形，OD⊥CD，
∴ ，
为直径，
，
，
，
，
，
而
，
，即
.
【解析】【分析】（1）先利用切线的性质得到OD⊥CD，再证明AB∥CD，然后利用平行线的性质和圆周角定理得到结论；（2）①设⊙O的半径为r，利用正切的定义得到OG＝ r，则DG＝ r，则CD＝3DG＝2r，然后根据平行线的判定得到结论；②作直径DH，连接HE，如图，先计算出AG＝ ，CG＝2 ，再证明△CDE∽△CAD，然后利用相似比计算DE的长.
21.【答案】 （1）证明：连接 .
是直径，
，
，
， ，
，
，
，
为 的切线
（2）证明： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：：如图，过点 作 于 .
是直径，
，
，
可以假设 ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
， ， ，
， ，
【解析】【分析】（1）欲证明 是 的切线，只要证明 即可.（2）证明 ，可得结论.（3）过点 作 于 .由题意 ，可以假设 ， ，证明 ，可得 ，推出 ， ，再证明 ，推出 ，推出 ， ，由 ，推出 ，可得 ，利用勾股定理求出 ， ，可得结论