2021-2022学年苏科版九年级数学上册第2章对称图形圆期中复习测评（word版含解析）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《第2章对称图形—圆》期中复习测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠CAB＝24°，则∠ADC的度数为（　　）
A．124° B．114° C．116° D．126°
3．⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆上到弦AB所在直线距离为2的点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，直径为10的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A优弧上一点，∠OBC＝30°，则点C的坐标为（　　）
A．（0，10） B．（0，5） C．（0，5） D．（0，5）
5．如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB＝CD＝8，则OP的长为（　　）
A． B． C．4 D．2
6．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝120°，则∠AGB的度数为（　　）
A．96° B．105° C．107° D．114°
7．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影面积等于（　　）
A． B． C．π﹣1 D．π﹣2
8．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
9．如图，在一张圆形纸片上剪下一个面积最大的正六边形纸片ABCDEF，它的边长是24cm，的长度是（　　）
A．6πcm B．8πcm C．36πcm D．96πcm
10．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（　　）
A．120° B．125° C．135° D．140°
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，的度数为 　 　．
12．若方程x2﹣7x+12＝0的两个根分别是直角三角形两直角边的长，则这个直角三角形的内切圆半径为　 　 　．
13．已知在直角坐标平面内，以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是 　 　．
14．已知圆的直径为2，弦AB＝，则弦AB所对的圆周角的度数是 　 　．
15．如图，矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，连接CO，以B为圆心，BO为半径画弧，弧线刚好过点A，以O为圆心，OC为半径画弧CD，若BD＝2，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留π）
16．如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，E为线段CD上一个动点，连接OE，则OE的最小值为 　 　．
17．如图，A、B、C为⊙O上三点（O在∠ABC内部），延长AO交BC于D，OD＝BD，∠BAO＝x，∠AOC＝y．则y关于x的函数关系式为 　 　．
18．已知⊙O的直径AB＝10，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为点E，若CD＝6，则线段AE的长为 　 　．
19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝54°，则∠2＝　 　°．
20．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．
（1）若∠B＝40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD＝DE；
（3）若AD＝4，求CE的长度．
22．如图，AB为⊙O的直径，PQ是⊙O的切线，E为切点，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若AD＝EC＝2，求⊙O的半径．
23．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若CE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．
24．如图，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC＝BC，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求GF的长．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB于点F，直线CF与直线BD于点G．
（1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；
（2）连接AG，若AG＝BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠ABC的度数．
26．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D．点E为CA延长线上的一点，且∠ADE＝∠BCD．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为2cm，且AB＝2BC，求阴影部分的面积．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：当P为AB的中点时，
AP＝BP＝4，
由垂径定理得：OP⊥AB，此时OP最短，
在RtAOP中，OA＝5，AP＝4，
由勾股定理得：OP＝＝＝3，
即OP的最小值为3，
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，
∴3≤OP＜5，
若线段OP的长度为正整数，
∴OP＝3或OP＝4．
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个，
故选：A．
2．解：连接BD，如图：
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CAB＝∠BDC＝24°，
∴∠ADC＝∠BDC﹣∠ADB＝24°+90°＝114°．
故选：B．
3．解：作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，
∵AB＝8，
∴AD＝4．
∵OA＝5，
∴OD＝＝3，
∴CD＝OC﹣3＝5﹣3＝2，即C到弦AB所在的直线距离为2，
∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为2的点只有C点；
∵DE＝5+3＝8＞2，
∴在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有3个．
故选：C．
4．解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，
∵∠COD＝90°，
∴CD是⊙A的直径，
即CD＝10，
∵∠OBC＝30°，
∴∠ODC＝30°，
∴OC＝CD＝5，
∴点C的坐标为：（0，5）．
故选：B．
5．解：连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，则∠OFP＝∠OEP＝∠CEO＝∠AFO＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠EPF＝90°，
∴四边形OFPE是矩形，
∴OE＝FP，EP＝OF，
∵OF⊥AB，OF过O，AB＝8，
∴AF＝BF＝4，
由勾股定理得：OF＝＝＝2，
同理OE＝2，
即FP＝OE＝2，
在Rt△OFP中，由勾股定理得：OP＝＝＝2，
故选：B．
6．解：∵BD是⊙O的直径，∠COD＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣∠COD＝60°，
∴∠BAC＝∠BOC＝30°，
∵BD是⊙O的直径，＝，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴∠AGB＝180°﹣∠B﹣∠BAG＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故选：B．
7．解：两扇形的面积和为：＝π，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，
则四边形EMCN是矩形，
∵点C是的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM＝CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，
∴∠MCG＝∠NCH，
在△CMG与△CNH中，
，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，
∴空白区域的面积为：××＝1，
∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．
故选：D．
8．解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，
设圆心角的度数是n度，
则＝2π，
解得：n＝120．
故选：C．
9．解：连接OB、OA，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB＝AB＝24cm，
∴的长度为＝8π，
故选：B．
10．解：∵点O是△ABC的外心，
∴∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝∠AOB，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，
∴2∠AIB＝180°+∠C，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠AIB＝90°+∠AOB，
∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°．
∵∠AIB＝125°，
∴∠AOB＝140°．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：连接OB，如图，
∵OB＝OC，OC＝AB，
∴OB＝AB，
∴∠A＝∠BOA，
∴∠EBO＝∠A+∠BOA＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠E＝∠EBO＝2∠A，
∵∠EOD＝∠E+∠A，
∴2∠A+∠A＝84°，解得∠A＝28°，
∴∠E＝∠EBO＝56°，
∴∠BOE＝180°﹣∠E﹣∠EBO＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
∴的度数为68°．
故答案为68°．
12．解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC，⊙O是Rt△ABC的内切圆，与AC、AB、BC边的切点分别为D、E、F，
设方程x2﹣7x+12＝0的两个根分别是AC、BC边的长，连接OD、OF，则AC⊥OD，BC⊥OF，
∴∠ODC＝∠OFC＝∠C＝90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵OD＝OF，
∴四边形ODCF是正方形；
∵AD＝AE，BF＝BE，
∴CD+CF＝AC﹣AD+BC﹣BF＝AC﹣AE+BC﹣BE＝AC+BC﹣（AE+BE）＝AC+BC﹣AB；
解方程x2﹣7x+12＝0得x1＝3，x2＝4，
∴AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴CD+CF＝AC+BC﹣AB＝3+4﹣5＝2，
∵CD＝CF＝OD，
∴2OD＝2，
∴OD＝1，
∴这个直角三角形的内切圆半径为1，
故答案为：1．
13．解：∵以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，
∴⊙P与x轴相切（如图1）或⊙P过原点（如图2），
当⊙P与x轴相切时，r＝4，
当⊙P过原点时，r＝OP＝＝5．
∴r＝4或5．
故答案为：4或5．
14．解：如图所示，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，即AC＝BC＝AB＝，
在Rt△AOC中，OA＝1，AC＝，
根据勾股定理得：OC＝＝，即OC＝AC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠AOC＝45°，
同理∠BOC＝45°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，
∵∠AOB与∠ADB都对，
∴∠ADB＝∠AOB＝45°，
∵大角∠AOB＝270°，
∴∠AEB＝135°，
∴弦AB所对的圆周角为45°或135°．
故答案为：45°或135°．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AB＝BO，
∴△ABO和△CDO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，∠COD＝60°
∵BD＝2，
∴OB＝OD＝1，
∴图中阴影部分的面积为：2S扇形ABO﹣S△COD＝2×﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
16．解：过O点作OF⊥CD于F，如图，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠CAB）＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠BOC＝2∠A＝60°，
∴∠OCD＝180°﹣∠DOC﹣∠ODC＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∴△COF为等腰直角三角形，
∴OF＝OC＝×2＝，
∴OE的最小值为．
故答案为．
17．解：连接OB，
∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝y，
∴∠ABC＝y，
∵OB＝OC，OA＝OB，
∴∠C＝∠OBC＝∠ABD﹣∠ABO＝y﹣x，
∵∠DOC＝180°﹣∠AOC，
∴∠DOC＝180°﹣y，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠C，∠BOC＝∠DOC+∠BOD，
∵OD＝BD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴180°﹣（y﹣x）﹣（y﹣x）＝180°﹣y+（y﹣x），
∴y＝6x，
故答案为：y＝6x．
18．解：分两种情况：
①当点E在OB上时，连接OC，如图所示：
∵⊙O的直径AB＝10，弦CD⊥AB于E，
∴OC＝OA＝OB＝5，CE＝DE＝CD＝3，
∴OE＝＝＝4，
∴AE＝OA+OE＝5+4＝9；
②当点E在OA上时，
同①得：O4＝4，
∴AE＝OA﹣OE＝5﹣4＝1；
综上所述，AE的长为9或1，
故答案为：9或1．
19．解：连接OE，如图，
∵∠AOE＝2∠1＝2×54°＝108°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣108°＝72°，
∵∠BOE＝2∠2，
∴∠2＝×72°＝36°．
故答案为：36．
20．解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝5，MQ＝12，
∴OM＝13，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18，
故答案是：18．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．（1）解：∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A，
∴∠A＝；
（2）证明：∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B，∠DEC＝∠A，
∴∠CDE＝∠AOD，
∵∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠DEC，
∠ADO＝180°﹣∠A﹣∠AOD，
∴∠C＝∠ADO＝∠A，
∴∠C＝∠DEC，
∴CD＝DE；
（3）解：连接OE，AE，由（2）得AB＝BC＝12，
∴∠AOE＝2∠B，∠B＝∠AOD，
∴∠AOE＝2∠AOD，
∴∠AOD＝∠DOE，
∴AD＝DE，
∴AC＝2AD＝8，
∵AB是直径：∠AEB＝90°，
设CE＝x，则BE＝12﹣x，
∵AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，
∴82﹣x2＝122﹣（12﹣x）2，
解得：，
∴CE＝．
22．（1）证明：连接OE，
∴OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE，
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ，
∵AC⊥PQ，
∴OE∥AC，
∴∠OEA＝∠EAC，
∴∠OAE＝∠EAC，
∴AE平分∠BAC；
（2）解：过点O作OM⊥AC于M，
∴AM＝MD＝AD，
∵AD＝EC＝2，
∴AM＝MD＝1，
又∠OEC＝∠ACE＝∠OMC＝90°，
∴四边形OECM为矩形，
∴OM＝EC＝2，
在Rt△AOM中，OA＝＝＝，
即⊙O的半径为．
23．（1）证明：连接AC，CD，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴＝，
∴AC＝CD；
（2）由（1）可知＝，
∴OC⊥AD，
又∵AD＝8，
∴AE＝AD＝4，
设⊙O的半径为r，
∵CE＝2，
∴OE＝r﹣2，
由勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，
即42+（r﹣2）2＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
24．解：（1）∵G为弦AE的中点，OD是半径，
∴OD⊥AE，
即∠DGF＝90°，
∴∠DFG+∠GDF＝90°，
又∵BC＝FC，
∴∠CBF＝∠CFB，
又∵∠CFB＝∠DFG，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD+∠CBF＝90°，
即OB⊥BC，
∵OB是半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵G为弦AE的中点，
∴AG＝GE＝AE＝4，
∵OD是半径，
∴OD⊥AE，
在Rt△AOG中，
OG＝＝3，
又∵∠OGA＝∠CBA＝90°，∠OAG＝∠CAB，
∴△AOG∽△ABC，
∴＝＝，
即＝＝，
解得BC＝＝CF，AC＝，
∴GF＝AC﹣AG﹣FC
＝﹣4﹣
＝1．
25．解：（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ABD＝∠ACF，
又∵＝，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACG＝∠ACD，
又∵∠GEC＝∠DEC＝90°，CE＝CE，
∴△CEG≌△CED（ASA），
∴DE＝GE，
又CE⊥GD，
∴点G和D关于直线AC成轴对称；
（2）延长CB交AG于点H，连接OA，OB，OC，EF，
如图，∵BE⊥AC，AF⊥CG，
∴A、G、F、E四点共圆，B、F、C、E四点共圆，
∴∠GAF＝∠GEF＝∠BCF，
∴∠AHB＝∠BFC＝90°，
又∵∠AFG＝∠CFB＝90°，AG＝CB，
∴△AGF≌△CBF（AAS），
∴AF＝CF，
∴△AFC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
又OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∵AG与⊙O相切，
∴OA⊥AG，
∴BC∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC＝45°，
∴，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝112.5°．
26．解：（1）DE与⊙O相切；
理由：连接OD，BD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴BD＝AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝∠ABD＝45°，
∵AO＝BO，
∴∠ADO＝45°，
∵∠ADE＝∠BCD＝∠DAB＝45°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝2BC，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∵⊙O的半径为2cm，
∴AB＝4cm，AC＝2cm，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOC﹣S△AOC＝﹣1×2＝﹣．