(共48张PPT)
反比例函数的图象和性质的综合运用
学习目标
1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义,并将其灵活
运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)
2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重
点、难点)
3. 体会“数”与“形”的相互转化,学习数形结合的思想
方法,进一步提高对反比例函数相关知识的综合运
用能力. (重点、难点)
反比例函数的图象是什么?
反比例函数的性质与 k 有怎样的关系?
反比例函数的图象是双曲线
当 k > 0 时,两条曲线分别位于第一、三象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小;
当 k < 0 时,两条曲线分别位于第二、四象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大.
问题1
问题2
复习引入
用待定系数法求反比例函数的解析式
已知反比例函数的图象经过点 A (2,6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限?y 随 x 的增大如
何变化?
解:因为点 A (2,6) 在第一象限,
所以这个函数的图象位于第一、三象限;
在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小.
新课讲解
1
例1
(2) 点B(3,4),C( , ),D(2,5)是否在这个
函数的图象上?
解:设这个反比例函数的解析式为 ,因为点
A (2,6)在其图象上,所以有 ,解得 k =12.
因为点 B,C 的坐标都满足该解析式,而点 D的坐标不满足,所以点 B,C 在这个函数的图象上,点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为 .
新课讲解
已知反比例函数 的图象经过点 A (2,3).
(1) 求这个函数的表达式;
解:∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2,3),
∴ 把点 A 的坐标代入表达式,得 ,
解得 k = 6.
∴ 这个函数的表达式为 .
随堂即练
(2) 判断点 B (-1,6),C(3,2) 是否在这个函数的
图象上,并说明理由;
解:分别把点 B,C 的坐标代入反比例函数的解析
式,因为点 B 的坐标不满足该解析式,点 C
的坐标满足该解析式,
所以点 B 不在该函数的图象上,点 C 在该函
数的图象上.
随堂即练
(3) 当 -3< x <-1 时,求 y 的取值范围.
解:∵ 当 x = -3时,y =-2,
当 x = -1时,y =-6,且 k > 0,
∴ 当 x < 0 时,y 随 x 的增大而减小,
∴ 当 -3 < x < -1 时,-6 < y < -2.
随堂即练
反比例函数图象和性质的综合
(1) 图象的另一支位于哪个象限?常数 m 的取值范围
是什么?
O
x
y
如图,是反比例函数 图象的一支. 根据图象,回答下列问题:
解:因为这个反比例函数图象的一
支位于第一象限,所以另一支
必位于第三象限.
由因为这个函数图象位于第一、
三象限,所以m-5>0,
解得m>5.
新课讲解
2
例2
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1,y1) 和
点B (x2,y2). 如果x1>x2,那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系?
解:因为 m-5 > 0,所以在这个函数图象的任一支
上,y 都随 x 的增大而减小,因此当x1>x2时,
y1<y2.
新课讲解
如图,是反比例函数 的图象,则 k 的值可以是 ( )
A.-1 B.3
C.1 D.0
O
x
y
B
随堂即练
反比例函数解析式中 k 的几何意义
1. 在反比例函数 的图象上分别取点P,Q 向
x 轴、y 轴作垂线,围成面积分别为S1,S2的矩形,
填写下页表格:
新课讲解
3
5
1
2
3
4
-1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2,2)
Q (4,1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1,S2 与 k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
-5
-4
-3
-2
1
4
3
2
-3
-2
-4
-5
-1
Q
新课讲解
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与 k 的关系
P (-1,4) Q (-2,2)
2. 若在反比例函数 中也
用同样的方法分别取 P,Q
两点,填写表格:
4
4
S1=S2
S1=S2=-k
y
x
O
P
Q
S1
S2
新课讲解
由前面的探究过程,可以猜想:
若点P是 图象上的任意一点,作 PA 垂直于 x 轴,作 PB 垂直于 y 轴,矩形 AOBP 的面积与k
的关系是S矩形 AOBP=|k|.
新课讲解
y
x
O
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明:
设点 P 的坐标为 (a,b),
A
B
∵点 P (a,b) 在函数 的图
象上,
∴ ,即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k.
若点 P 在第二象限,则 a<0,b>0,
若点 P 在第四象限,则 a>0,b<0,
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (-b)=-ab=-k.
B
P
A
综上,S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
新课讲解
点 Q 是其图象上的任意一
点,作 QA 垂直于 y 轴,作
QB 垂直于x 轴,矩形AOBQ
的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ= .
推理:△QAO与△QBO的
面积和 k 的关系是
S△QAO=S△QBO= .
Q
对于反比例函数 ,
A
B
|k|
y
x
O
归纳:
反比例函数的面积不变性
新课讲解
A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA如图,在函数 (x>0)的图像上有三点A,B ,C,过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线,过每一点所作
的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ,
SB,SC,则 ( )
y
x
O
A
B
C
C
随堂即练
如图所示,点A在反比例函数 的图象上,AC
垂直 x 轴于点 C,且 △AOC 的面积为 2,求该反比例
函数的表达式.
解:设点 A 的坐标为(xA,yA),
∵点 A 在反比例函数
的图象上,∴ xA·yA=k,
∴ S△AOC= ·k=2,
∴ k=4,
∴反比例函数的表达式为
新课讲解
例3
1. 如图,过反比例函数 图象上的一点 P,作
PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6,则 k = .
-12
提示:当反比例函数图象在第二、四象限时,注意
k<0.
y
x
O
P
A
随堂即练
2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点,过点 P 分别向
x 轴、y 轴作垂线,垂足分别为点 M,N,若四边形
PMON 的面积为 3,则这个反比例函数的关系式是
.
或
随堂即练
如图,P,C是函数 (x>0) 图像上的任意两点,
PA,CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1,则 S1 =
;梯形CEAD 的面积为 S2,则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2;△POE 的面
积 S3 和 S2 的大小关系是
S2 S3.
2
S1
S2
>
=
S3
新课讲解
例4
如图所示,直线与双曲线交于 A,B 两点,P 是AB 上的点,△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
解析:由反比例函数面积的不变
性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一
支交于点 F,连接 OF,易知,
S△OFE = S1 = S2,而 S3>S△OFE,
所以 S1,S2,S3的大小关系为
S1 = S2 < S3
F
S1
S2
S3
随堂即练
y
D
B
A
C
x
如图,点 A 是反比例函数 (x>0)的图象上
任意一点,AB//x 轴交反比例函数 (x<0) 的图象于点 B,以 AB 为边作平行四边形 ABCD,其中
点 C,D 在 x 轴上,则 S平行四边形ABCD =___.
3
2
5
方法总结:解决反比例函数有关的面积问题,可以把原图形通过切割、平移等变换,转化为较容易求面积的图形.
例5
新课讲解
如图,函数 y=-x 与函数 的图象相交于
A,B 两点,过点 A,B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别
为C,D,则四边形ACBD的面积为 ( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
D
y
x
O
C
A
B
D
4
4
随堂即练
反比例函数与一次函数的综合
在同一坐标系中,函数 和 y= k2 x+b 的图象大致如下,则 k1 、k2、b各应满足什么条件?
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
①
x
y
O
x
y
O
②
2
合作探究
新课讲解
k2 <0
b <0
k1 <0
k2 <0
b >0
③
x
y
O
k1 >0
④
x
y
O
新课讲解
函数 y=kx-k 与 的图象大致是 ( )
D.
x
y
O
C.
y
A.
y
x
B.
x
y
O
D
O
O
k<0
k>0
×
×
×
√
k>0
k<0
由一次函数增减性得k>0
由一次函数与y轴交点知-k>0,
则k<0
x
提示:由于两个函数解析式都含有相同的系数 k,可对 k 的正负性进行分类讨论,得出符合题意的答案.
新课讲解
例6
在同一直角坐标系中,函数 与 y = ax+1
(a≠0) 的图象可能是 ( )
A.
y
x
O
B.
y
x
O
C.
y
x
O
D.
y
x
O
B
随堂即练
如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象,观察图象,当 y1﹥y2 时,x 的取值范围为
.
-2
3
y
x
0
-2< x <0 或 x >3
解析:y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图,可知-2< x <0 或 x >3.
方法总结:对于一些题目,借助函数图象比较大小更加简洁明了.
新课讲解
例7
如图,一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比例函数 的图象交于 A,B 两点,观察图象,当
y1>y2时,x 的取值范围是 .
-1
2
y
x
0
A
B
-1< x <0 或 x >2
随堂即练
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (-3,4).试求出它们的解析式,并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (-3,4),则点 P (-3,4) 是这两个函数图象上的点, 即点 P 的坐标分别满足这两个解析式.
解:设正比例函数、反比例函数的解析式分别为
y=k1x 和 .
所以 , .
解得 , .
例8
新课讲解
P
则这两个函数的解析式分别为 和 ,
它们的图象如图所示.
这两个图象有何共同特点?你能求出另外一个交点的坐标吗?说说你发现了什么?
想一想:
新课讲解
反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 .
(2,6),(-2,-6)
解析:联立两个函数解析式,解方程即可.
随堂即练
已知 A(-4, ),B(-1,2)是一次函数 y= kx+b与反比例函数 图象的两个交点,求一次函数
解析式及 m 的值.
解:把A(-4, ),B(-1,2)代入 y = kx + b中,得
-4k + b = ,
-k + b =2,
k = ,
解得
b = ,
所以一次函数的解析式为 y = x + .
新课讲解
例9
把 B (-1,2)代入 中,得 m =-1×2=-2.
新课讲解
A. 4 B. 2
C. -2 D.不确定
1. 如图所示, P 是反比例函数 的图象上一点,
过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B,点 A 在 y 轴上,
△ABP 的面积为 2,则 k 的值为 ( )
O
B
A
P
x
y
A
随堂即练
2. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的
图象的一个交点是 (1,k),则反比例函数的解析
式是_______.
随堂即练
3. 如图,直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x>0)交于A,B两点,其横坐标分别为1和5,则不等式k1x +b > 的解集是___________.
1<x<5
O
B
A
x
y
1
5
随堂即练
4. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2,-4).
(1) 求 k 的值;
解:∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2,-4),
∴ 把点 A 的坐标代入表达式,得 ,
解得k = -8.
随堂即练
(2) 这个函数的图象分布在哪些象限?y 随 x 的增大
如何变化
解:这个函数的图象位于第二、四象限,在每一个
象限内,y 随 x 的增大而增大.
随堂即练
(3) 画出该函数的图象;
O
x
y
解:如图所示.
随堂即练
(4) 点 B (1,-8) ,C (-3,5)是否在该函数的图象上?
因为点 B 的坐标满足该解析式,而点 C 的坐标
不满足该解析式,
所以点 B 在该函数的图象上,点 C 不在该函数
的图象上.
解:该反比例函数的解析式为 .
随堂即练
x
y
O
B
A
5. 如图,直线 y=ax + b 与双曲线 交于两点
A(1,2),B(m,-4)两点,
(1) 求直线与双曲线的解析式;
所以一次函数的解析式为 y = 4x-2.
把A,B两点坐标代入一次函数解析式中,得到a =4,b =-2.
解:把 B(1,2)代入双曲线解析式中,
得 k = 2,故其解析式为 .
当y =-4时,m= .
随堂即练
(2) 求不等式 ax + b> 的解集.
x
y
O
B
A
解:根据图象可知,若 ax + b> ,
则 x>1或 <x<0.
随堂即练
6. 如图,反比例函数 与一次函数 y =-x + 2 的图象交于 A,B 两点.
(1) 求 A,B 两点的坐标;
A
y
O
B
x
解:
y=-x + 2 ,
解得
x = 4,
y =-2
所以A(-2,4),B(4,-2).
或
x = -2,
y = 4.
随堂即练
作AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D,
则AC=4,BD=2.
(2) 求△AOB的面积.
解:一次函数与x轴的交点为M (2,0),
∴OM=2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2,
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4,
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
随堂即练
面积问题
面积不变性
与一次函数的综合
判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象,要对系数进行分类讨论,并注意b 的正负
反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形,其与正比例函数的交点关于原点中心对称
反比例函数图象和性质的综合运用
课堂小结