2021-2022学年度北师大版九年级数学上册课件 4.6 利用相似三角形测高(共26张PPT)

(共26张PPT)
BS九(上)
教学课件
第四章 图形的相似
4.6 利用相似三角形测高
1.通过测量旗杆的高度的活动，复习巩固相似三角形有
关知识.（重点）
2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）
学习目标
世界上最高的树
—— 红杉
乐山大佛
台北101大楼
怎样测量这些非常高大物体的高度？
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？
运用相似三角形解决高度（长度）测量问题
如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.
我们来试着用学过的知识解决前面提出的问题．
例1
解：∵BF∥ED，∴∠BAO=∠EDF.
又∵∠AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF，
∴ = ，∴ = ，
∴BO=134.
即金字塔高134 m.
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
测高方法一：
如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24 m处
立了一根高为2 m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当
他与树相距27 m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6 m，求树的高度.
A
E
C
D
F
B
N
例2
A
E
C
D
F
B
N
解：过点A作AN∥BD交CD于点N，交EF于的M.
∵人、标杆、树都垂直于地面，
∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,
∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA.
∵∠EAM=∠CAN,
∴△AEM∽△ACN ,
∴ .
∵AB=1.6 m , EF=2 m , BD=27 m , FD=24 m ,
∴ , ∴CN=3.6（m），
∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.
故树的高度为5.2 m.
M
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决.
测高方法二：
如图，为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：
①在距离树AB底部15 m的E处放下镜子；
②该同学站在距离镜子1.2 m的C处，目高CD为1.5 m；
③观察镜面，恰好看到树的顶端.
你能帮助他计算出大树的大约高度吗？
解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,
∴△DCE∽△BAE.
解得 BA=18.75 m.
即树高约为18.75 m.
D
B
A
C
E
2
1
例3
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
测高方法三：
45m
90m
60m
解：∵ QR∥ST，
∴△PQR∽△PST，
解得PQ=90 m.
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ.
即河的宽度PQ为90 m.
例4
（1）根据题意画出___________;
（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的
_____________________;
（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出__________;
（4）写出___________.
示意图
已知线段、已知角
未知量
答案
★利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：
★利用三角形相似测高的模型：
1. 铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 m,当短臂端点下降0.5 m时,长臂端点升高______m.
8
O
B
D
C
A
┏
┛
1m
16m
0.5m
？
2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为______.
4米
∴ EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
解得CD=10.5 m.
解：∵EB⊥AC , CD⊥AC，
1.2m
12.4m
1.6m
3.如图 ，利用标杆BE测量建筑物的高度.如果标杆BE高1.2 m，测得AB=1.6 m，BC=12.4 m，楼高CD是多少？
即楼高CD为10.5 m.
4.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己的眼睛距地面 1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了？
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端 A、C 恰在一条直线上．
　　∵　AB⊥l， CD⊥l，
　　∴　AB∥CD，
　　∴　△AEH∽△CEK，
　　∴　　　=　　 ，
　　即　　　　 =　 　　=　　 ．
　　
解得EH=8 m．
由此可知如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端 C．
解：∵∠ADB=∠EDC ，∠ABD=∠ECD=90゜，
即河的宽度AB约为96.7米.
∴⊿ABD∽⊿ECD（两角分别相等的两个三角形相似），
A
D
C
E
B
5.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB.（精确到0.1米）
6.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米
E
D
6.4
1.2
？
1.5
1.4
A
B
C
解：作DE⊥AB于点E，则
∴AE=8米，
∴AB=8+1.4=9.4米
即这棵大树高9.4米.
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
相似三角形的应用
测量高度问题
测量河宽问题