1.1 集 合（精讲）
考点一 数集的基本运算
【例1】（1）（2021·四川高三三模）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·广东高三二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·广东广州市·高三二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·河南焦作市）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山东青岛市·高三三模）集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
考点二 点集的基本运算
【例2】（2021·全国高三其他模拟（理））已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·辽宁朝阳市·高三一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·山东高三其他模拟）集合，，则的元素个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点三 （真）子集的个数
【例3】（1）（2021年广东湛江）已知集合，则的真子集个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2）（2021·新疆乌鲁木齐市）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【一隅三反】
1．（2021年广东韶关）已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A．个 B． 个 C． 个 D． 个
2．（2021年广东佛山）已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
3．已知集合，则满足的集合的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点四 韦恩图的运用
【例4】（2021·全国高三三模）已知全集为且为的子集，，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·北京高三其他模拟）已知全集，集合，那么下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高三其他模拟）已知全集，，，为的非空子集，且，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟）设集合,是全集的两个不同子集，且，则下列关系错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·山东临沂市·高三二模）若集合，，满足，则下面选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
考点五 求参数
【例5】（1）（2021·江西高三其他模拟）已知集合，若，则实数（ ）
A． B．2 C． D．
（2）（2021·山西临汾市）已知，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·全国高三其他模拟）集合，.若，则实数（ ）
A．-4 B．4 C．8 D．-8
2．（2021·安徽高三）若集合，且满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江高三三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高三其他模拟）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．1.1 集 合（精讲）
考点一 数集的基本运算
【例1】（1）（2021·四川高三三模）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·广东高三二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·广东广州市·高三二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）D（3）B
【解析】（1）因为，所以.故选：A．
（2）,,故选：D
（3）因为，，所以，，.故选：B.
【一隅三反】
1．（2021·河南焦作市）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以.
故选：A.
2．（2021·山东青岛市·高三三模）集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，为实数集中去掉除1和2以外的所有正整数的实数组成的集合．，
所以．故选：D．
3．（2021·全国高三其他模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以.故选：C.
考点二 点集的基本运算
【例2】（2021·全国高三其他模拟（理））已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得或或或．故中含有个元素．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，所以．故选：B．
2．（2021·辽宁朝阳市·高三一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解得，或，．故选：A．
3．（2021·山东高三其他模拟）集合，，则的元素个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】直线恒过定点，点在圆内，
所以直线与圆有两个交点，集合有两个元素.故选：B
考点三 （真）子集的个数
【例3】（1）（2021年广东湛江）已知集合，则的真子集个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2）（2021·新疆乌鲁木齐市）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）因为，所以的真子集个数是故选：C．
（2）圆心到直线的距离为，
即直线与圆相交，直线与圆有2个交点，中元素的个数为2个，
所以集合的真子集的个数为3个，故选：A.
【一隅三反】
1．（2021年广东韶关）已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A．个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【解析】因为，，
所以，所以其真子集个数为，故选：B
2．（2021年广东佛山）已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】，，，的子集的个数为8，故选C
3．已知集合，则满足的集合的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由题题意可知，满足条件的集合Q有，，，共4个.故选：D．
考点四 韦恩图的运用
【例4】（2021·全国高三三模）已知全集为且为的子集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，全集为，为的子集，且，如图所示，可得.
故选：C．
【一隅三反】
1．（2021·北京高三其他模拟）已知全集，集合，那么下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知全集，集合，，，
，则，.故选：C.
2．（2021·全国高三其他模拟）已知全集，，，为的非空子集，且，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，作出Venn图，如图所示，由图易知，，故A错误，D正确；由，故B错误；由定不成立，故C错误.故选：D.
3．（2021·全国高三其他模拟）设集合,是全集的两个不同子集，且，则下列关系错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由集合,是全集的两个不同子集，且，
当时，可得，所以A正确；
当时，可得，所以B正确；
由，可得，所以C正确，D不正确.
故选：D.
4．（2021·山东临沂市·高三二模）若集合，，满足，则下面选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由知：，即A错误，
∴，即B错误；仅当时，即C错误；，即D正确.
故选：D.
考点五 求参数
【例5】（1）（2021·江西高三其他模拟）已知集合，若，则实数（ ）
A． B．2 C． D．
（2）（2021·山西临汾市）已知，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A
【解析】（1）因为，所以方程组无实数解．所以，故选：A．
（2），，
因为，所以实数的取值范围是，故选：C
【一隅三反】
1．（2021·全国高三其他模拟）集合，.若，则实数（ ）
A．-4 B．4 C．8 D．-8
【答案】C
【解析】因为集合，所以.又，
，所以4是方程的一个根，即，
解得.当时，，此时，
符合题意，所以.故选:C.
2．（2021·安徽高三）若集合，且满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，，由，可得，所以.故选：B.
3．（2021·浙江高三三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知，又，
则，解得故选：A
4．（2021·全国高三其他模拟）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，即，解得，则.
因为，所以.因为，所以.
故选:B.1.1 集 合（精练）
【题组一 数集的运算】
1．（2021·天津耀华中学高三二模）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，所以，
所以，故选：C
2．（2021·天津高三一模）已知集合，，集合为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【解析】由题意，，则，所以．
故选：C．
3．（2021·全国高三其他模拟）已知集合，，则（ ）
A．或 B．或或
C． D．
【答案】D
【解析】，，因此， .
故选：D.
4．（2021·贵州高三二模）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解不等式得或,
所以,所以.故选：B.
5．（2021·全国高三）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为或，又，所以.
故选：B.
6．（2021·江苏扬州市·高三其他模拟）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，集合，
所以,故选:C
7．（2021·千阳县中学高三二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可解得，，
，，.故选：D.
8．（2021·安徽省舒城中学高三二模）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因此，.故选：D.
【题组二 点集的基本运算】
1．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中的元素必满足，且，
中的元素必在这七个元素中，
，为中的元素，
故选：B.
2．（2021·广德市实验中学高三月考）已知集合，，则集合中含有的元素有（ ）
A．零个 B．一个 C．两个 D．无数个
【答案】D
【解析】集合表示直线上的点，集合表示以坐标原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，
如图所示．表示两图形的交点的集合，该集合有无数个元素．
故选：D.
3．（2021·北京人大附中高三其他模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，或，所以，故选：D
4．（2021·全国高三专题练习）已知集合，集合，则集合的子集个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由题意得，直线与抛物线有2个交点，故的子集有4个.
【题组三 （真）子集的个数】
1．（2021年河北）设全集，且，则集合A的子集共有（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
【答案】D
【解析】根据题意可得集合，所以集合A的子集共有个.故选：D
2．（2021四川）设集合，，若集合满足，则集合的个数有多少个（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】由题意，其子集有4个，即有4个．故选：B．
3．（2021年河北）已知集合，，若，则集合可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，则，所以，对照各边项，只有．
故选：A．
4．（2021年湖北）已知集合，，则集合的子集的个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】解得，或；
,即中有2个元素；
子集个数为4．
故选：B．
5．（2021湖南）设集合，，则的子集的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】集合，，
则，画出图形如图：
由图可知，的元素有2个，则的子集有个，故选：A
6．已知集合，且有16个子集，则实数a可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】A
【解析】集合，且有16个子集，则有个元素，
由，由元素的互异性可得.故选：A
【题组四 韦恩图的运用】
1．（2021·湖北高三其他模拟）已知全集为，集合为的子集，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，.故选：C.
2．（2021·河北张家口市·高三三模）已知均为的子集，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，，其韦恩图如图所示，
∴只有正确.故选：
3．（2021·辽宁锦州市·高三一模）设集合，都是实数集的子集，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，∴C正确.故选：C.
4．（2021·全国高三专题练习）已知M，N均为R的子集，且，则＝（ ）
A． B．M C．N D．R
【答案】C
【解析】用图示法表示题意，如下图，
故＝N，故选:C．
5．（多选）（2021·山东济南市·高三二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为或，
故选：AD
【题组五 求参数】
1．（2021·河北石家庄市·高三二模）已知集合，，（，），若，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】∵集合，，且，
∴，或，
先考虑，解得，
此时，，满足题意，
∴；
再考虑，解得，
此时，，不满足题意，
综上，
故选：D
2．（2021·安徽安庆市·高三二模）已知集合，，若，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由知，故，解得．故选：C．
3．（2021·安徽高三二模）设集合，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若的两个根分别为且，
∴且，，
∵，且，∴，综上，可得：.故选：A.
4．（2021·湖南高三月考）已知集合，，若，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【解析】∵，，，
∴，解得.故选：A.
5．（2021·全国高三专题练习）已知集合，．若有且仅有个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
结合有且仅有个元素知，所以，故选：C．
6．（2021·全国高三专题练习）已知集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解不等式得，要使，
当集合时，，解得；
当集合时，，解得.
综上：.
故选：D.
7．（2021·全国高三专题练习）设常数，集合，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合，，由，可知
当时，或，，
结合数轴知：，解得，即得；
当时，，，满足，故符合；
当时，或，，
结合数轴知：，解得，即得由①②③知.故选：B.1.1 集 合（精练）
【题组一 数集的运算】
1．（2021·天津耀华中学高三二模）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·天津高三一模）已知集合，，集合为（ ）
A． B． C． D．不确定
3．（2021·全国高三其他模拟）已知集合，，则（ ）
A．或 B．或或
C． D．
4．（2021·贵州高三二模）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国高三）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·江苏扬州市·高三其他模拟）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·千阳县中学高三二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·安徽省舒城中学高三二模）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【题组二 点集的基本运算】
1．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广德市实验中学高三月考）已知集合，，则集合中含有的元素有（ ）
A．零个 B．一个 C．两个 D．无数个
3．（2021·北京人大附中高三其他模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高三专题练习）已知集合，集合，则集合的子集个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
个.
【题组三 （真）子集的个数】
1．（2021年河北）设全集，且，则集合A的子集共有（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
2．（2021四川）设集合，，若集合满足，则集合的个数有多少个（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（2021年河北）已知集合，，若，则集合可以为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021年湖北）已知集合，，则集合的子集的个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．（2021湖南）设集合，，则的子集的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知集合，且有16个子集，则实数a可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【题组四 韦恩图的运用】
1．（2021·湖北高三其他模拟）已知全集为，集合为的子集，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北张家口市·高三三模）已知均为的子集，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·辽宁锦州市·高三一模）设集合，都是实数集的子集，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高三专题练习）已知M，N均为R的子集，且，则＝（ ）
A． B．M C．N D．R
5．（多选）（2021·山东济南市·高三二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题组五 求参数】
1．（2021·河北石家庄市·高三二模）已知集合，，（，），若，则（ ）
A． B．2 C． D．1
2．（2021·安徽安庆市·高三二模）已知集合，，若，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·安徽高三二模）设集合，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·湖南高三月考）已知集合，，若，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
5．（2021·全国高三专题练习）已知集合，．若有且仅有个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高三专题练习）已知集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·全国高三专题练习）设常数，集合，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
