第二章 一元二次函数、方程与不等式 综合测评卷— 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版，含解析）

第二章 一元二次函数、方程与不等式 综合测评卷
一、单选题
1．若，，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知正实数，满足等式，若对任意满足条件的，，求的最小值（ ）
A． B． C． D．
3．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a<2} B．{a|a≤2}
C．{a|－25．设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木 ”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）
A．里 B．里 C．里 D．里
二、多选题
9．小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（ ）
A． B．
C． D．
10．与不等式的解集相同的不等式有（ ）
A． B．
C． D．
11．设为正实数，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．已知x，y为正数，且，，，下列选项中正确的有（ ）
A．a的最小值为2 B．b的最小值为4
C．的最小值为5 D．ab的最小值为9
三、填空题
13．二次不等式的解集是，则=_______；
14．已知，，且，则的最小值为______．
15．若关于的不等式的解为非空集合，则实数的取值范围为_______.
16．若，，则实数的取值范围为___________.
四、解答题
17．已知，，均为正数.
（1）若，求的最小值；
（2）若，求证：.
18．已知一元二次方程的解集为.
（1）求实数的取值范围；
（2）求的最大值.
19．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
20．已知不等式．
（1）若对于所有的实数不等式恒成立，求的取值范围；
（2）设不等式对于满足的一切的值都成立，求的取值范围．
21．设.
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
22．设函数，已知不等式的解集为.
（1）求和的值；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】解：对于，若，则，故错误；
对于，取，，则，故错误．
对于，若时，，故错误；
对于，因为，所以，又，所以，故正确；
故选：．
2．A
【解析】解：正实数，满足等式
（当且仅当时取等号）
令
则
或（舍弃）
故选：．
3．D
【解析】由，
则即，
所以恒成立，
在上的最小值为，
所以，
整理可得，
解得，
实数的最大值为，
故选：D
4．D
【解析】当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立，符合题意；
当a－2≠0时，由题意知，，解得－2故选:D．
5．D
【解析】已知,对各选项逐一判断：
选项A：因为,由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得,所以选项A错误.
选项B：取,,,,则,,此时,所以选项B错误.
选项C：取,,,,则,,此时,所以选项C错误.
选项D：因为,所以,所以,即,所以选项D正确.
故选：D.
6．A
【解析】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：A．
7．A
【解析】因为，所以，
因为，，所以，得，
所以，
记，所以，
所以，且，
所以
，当且仅当即等号成立，
此时 ， .
故选：A.
8．D
【解析】因为1里=300步，
则由图知步=4里，步=2.5里．
由题意，得，
则，
所以该小城的周长为，
当且仅当时等号成立.
故选:D．
9．AD
【解析】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，
.
，由基本不等式可得，
，
另一方面，
，
，则.
故选：AD.
10．CD
【解析】对于不等式，，故不等式的解集为.
对于A选项，不等式可变形为，解得或；
对于B选项，不等式即为，，故不等式的解集为；
对于C选项，不等式等价于，C选项满足条件；
对于D选项，对于不等式，，故不等式的解集为.
故选：CD.
11．AD
【解析】A．由为正实数，，故，故正确；
B．因为，所以（取等号时），故错误；
C．取，则，但不成立，故错误；
D．，
因为且，所以，所以，故正确，
故选：AD.
12．ABD
【解析】当且仅当时取等号，则a的最小值为2
当且仅当时取等号，则b的最小值为4
，当且仅当取等号，由于，则无最小值
当且仅当时，取等号，则ab的最小值为9
故选：ABD
13．
【解析】依题意一元二次不等式的解集是,
所以，
所以
故答案为：
14．18
【解析】解：已知，，且．
，即：．
则，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为18．
故答案为：18．
15．
【解析】当时，原不等式为：，即，符合题意.
当时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意.
当时，只需，解得，
16．
【解析】，，则，
由基本不等式可得，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
17．（1）9；（2）证明见解析.
【解析】（1）由得，
所，
当且仅当时，等号成立，即，.故的最小值为9，此时，；
（2）因为，所以又因为，，均为正数，所以，，.
所以，故，
当且仅当时，等号成立.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）由题知，所以或且，
即实数的取值范围是.
（2）由根与系数的关系知，，，
所以.
当时，，当且仅当时，等号成立；
当时，.
综上所述，的最大值为，此时.
19．（1）该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
【解析】（1）由题意可知：，
于是得每吨二氧化碳的平均处理成本为，
由基本不等式可得：(元)，当且仅当，即x=400时，等号成立，
所以该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；
（2）该单位每月的获利f(x)=100xx2+300x-80000，
因300≤x≤600，函数f(x)在区间[300，600]上单调递减，
从而得当x=300时，函数f(x)取得最大值，即=f(300)=-35000，
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
20．（1），；（2）或，
【解析】解:（1）时，恒成立，
时，，解得：，
综上，的范围是，；
（2）由题意易知，设，
因为不等式对于满足的一切的值都成立，所以，
，
或，
21．（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）由题意可得对一切实数成立，
当时，不满足题意；
当时，可得.
所以实数a的取值范围为.
（2）由题意可得，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为,
当时，,
当时，,
①当，解集为,
②当，解集为或,
③当，解集为或.
综上所述,
当，不等式的解集为或,
当，不等式的解集为,
当，不等式的解集为或,
当时, 不等式的解集为,
当时, 不等式的解集为.
22．（1）；（2）.
【解析】（1）有题意得是关于的方程的两个根，
所以，故；
（2）由（1）得，则对任意恒成立，
即，对任意恒成立.
又因为（当且仅当时，等号成立），
所以，
所以.
试卷第1页，共3页