第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷（Word含答案）

第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷
（答卷时间：80分钟，满分：100分）
一、单选题（本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.若，则下列不等式中不正确的是 （ ）
A． B． C． D．
2.不等式的解集为R，则的所有取值集合为 （ ）
A． B．
C． D．
3.若正数满足，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
4.已知则下列说法正确的是 （ ）
A． B． C． D．
5.若则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
6.已知则的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
7.若是的
充分不必要条件,则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，
多个选项符合题目要求，完全正确得5分，选对部分得3分，出现错误选项得0分)
8.下列式子的最小值是4的有 （ ）
A． B．
C． D．
9.命题：是假命题,则实数可能是 　　
A． B． C． D．
10.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数
学家处理问题的重要依据,很多代数公理、定理都可以根据这一原理,实现证明,也
称为无字证明.如图所示,是圆的直径, 点为圆心, 点是线段上的一点,
且过点作垂直于的弦,连接过点作垂直于
于点,则根据该图形我们可以完成的无字证明有 　　
（第10题）
A. B．
C. D.
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分，其中13题第一个空3分，第二个空2分）
11.已知则与的大小关系是________.
12.已知那么使不等式等号成立的条件是_____________.
13.若不等式的解集为空集,则的取值范围为_____________, 此时不等式的解集为______________.
14. 已知,则的取值范围为_____________.
四、解答题（本题共 3道大题，每道大题 10分，共 30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 某工厂需要建造一个仓库,根据市场调研分析,运费（单位：万元）与工厂和仓库之间距离（单位：千米）成正比,工厂和仓库之间的距离为2千米时,运费为8万元,仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比,当工厂和仓库之间的距离为4千米时,仓储费为0.25万元.
（1）设工厂和仓库之间距离千米,运费与仓储费之和万元,写出与的关系式；
（2）当工厂和仓库之间的距离为多少千米时,运费与仓储费之和最小,最小值为多少万元？
16. （1）已知求的最小值；
（2）已知求的最小值.
17. （1）命题：是真命题时,求的取值范围；
（2）已知,命题：,是真命题, 求的取值范围.
第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试C卷参考答案
一、单选题（本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.C.解析：,则,由于则所以,所以
成立A选项说法正确；可知,且则,则所以,C选项说法不正确, 由可知,所以,即,D选项说法正确, 由可知,所以,当且仅当 即时等号成立, 由于因此等号不成立,所以成立, B选项说法正确,题目中要求选出不正确的一项,故选C.
方法指导：由已知判断不等式是否正确的题目,往往用作差法、不等式的变形、基本不等式、不等式的性质等知识得出正确结论.
2.C.解析：的解集为R,则二次函数的图象始终在轴上方.方法一：的最小值大于0,所以解得,故选C；
方法二：一元二次方程无实数解, ,所以
,解得,故选C.
方法指导：利用一元二次函数的图象,运用数形结合的思想是解决一元二次不等式问题的常见思路;将一元二次不等式恒成立问题转化为函数的最值问题是常见的解题策略, 设函数的最大值为,最小值为,即若恒成立只需,这一结论是解决这类问题的关键,也是解决恒成立问题的总的思考方向.
3.D.解析：则所以当且仅当时等号成立,并且所以即,当且仅当即时有最小值4,故选D.
方法指导：若正数满足,求的最小值,可以利用基本不等式将和转化为乘积的形式,得到的不等式,明确等号成立的条件,进而求出结果.
4.D.解析：由于则,所以即,选项A不正确,选项D正确; 由于只能推出,无法确定的正负,不能确定是否成立, 选项B不正确; ,由于则,所以,选项C不正确.故选D.
方法指导：由已知判断不等式是否正确的题目,往往用作差法、不等式的变形、基本不等式、不等式的性质等知识得出正确结论.
5.A. 解析：
方法一：则函数的最小值小于0,的对称轴为,图象开口方向向上,,则函数的最小值为,所以即,实数的取值范围是,故选A；
方法二：则在有解,则小于函数在的最大值, 函数的图象开口向下,对称轴为,且,因此函数在的最大值为,所以,实数的取值范围是,故选A.
方法指导：已知一元二次不等式在某区间有解时往往转化成一元二次函数在该区间的最值与0的大小关系,将一元二次不等式恒成立问题转化为函数的最值问题是常见的解题策略, 设函数的最大值为,最小值为,若有解,则只需,这一结论是解决这类问题的关键,也是解决有解问题的思考方向,另外也可以将所求参数移到不等式的一边,比较参数与函数的最大（小）值的大小关系,设参数为,函数为,如果参数满足有解,则,进而求出参数的取值范围.
6.B. 分析：已知求的最小值,往往很多同学会将加和
化成数字1乘以所求式子,利用基本不等式求解,但是 无法利用基本不等式求其最小值,出现这种情况的主要是
一些学生思维定式,导致思路局限,进而走入误区.由于上述思路无法求其最小值，要想利用基本不等式求其最小值,不妨考虑局部代换保留中的构造乘积
为定值的两项加和的形式，从而得出结果.
解析：则所以
,由于则所以,当且仅当即时等号成立, 且所以当且仅当时有最小值,故选B.
7.D. 解析：是的
充分不必要条件,即且,所以,解不等式,①时无实数解,则不符合题意；
②时,即不满足；③时
,即由于则,故选D.
二、多选题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，完全正确得5分，选对部分得3分，出现错误选项得0分)
8.CD.思路：注意构造基本不等式,明确利用基本不等式求最值时,取得最值的条件,注意必须满足“一正,二定,三相等”三个条件,从而选出正确答案.
解析：,所以,当且仅当即时等号成立,由于所以无最小值,选项A不正确；设函数,该函数的图象开口向下,对称轴为并且,所以函数有最大值,无最小值,所以选
项B不正确；,由于说明,,所以,当且仅当,即时
有最小值,因此当且仅当时有最小值4, 所以选项C正确；由于,所以,,所以,当且仅当即时等号成立,所以当且仅当时有最小值4,所以选项D正确. 综上所述正确答案是CD.
9.ABC.分析：命题：是假命题,由于直接利用该命题为假命题去得出结果比较困难，不妨由命题是假命题得出命题是真命题,将命题否定,从而得出结论.
解析：命题：,则命题：
由于命题是假命题,所以命题是真命题,所以在
恒成立,设函数,则只需和时对应的函数值都大于0
即可,所以解得,所以选项中可以是、和，故选ABC.
10.BD. 解析：有题目已知可知,由为直径可知⊥,利用初中所学的知识不难发现,所以.由于圆上任意弦的长度不大于真径,即,因为,那么,即,选项B正确,⊥,⊥可知, ,又,那么,选项D正确,综上所述正确选项为 BD.
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分，其中13题第一个空3分，第二个空2分）
11.
分析： 含有根号,直接作差很难得出结论，由于两个式子均为正数，不妨利用作差法先比较它们平方的大小关系,再进行适当处理得出结论.
解析：当且仅当时等号成立 由于且,因此即.
12.
分析：要找等号成立的条件,即判断取的最大值时的条件, 和都是乘积开平方的形式,并且因此可以往基本不等式方向考虑,注意两者等号都成立时必须要两者取等号的条件同时满足.
解析：由于则当且仅当即时等号成立,当且仅当时等号成立.由不等式的性质可知,当且仅当时等号成立,所以使不等式等号成立的条件是
13. 第一空：,第二空：
解析：第一问：的解集为空集,①时不等式化为,不可能成立,因此符合题意；②时一元二次不等式恒成立,由此可知二次函数图象开口向下（）,与轴最多有一个交点,则即,因此即.综上可知不等式的解集为空集时的取值范围为即.
第二问：不等式的等价不等式为,解方程得,由于则,所以,因此不等式的解集为
14.
分析：已知给出了和的取值范围去求的取值范围,因此可以用和的运算形式来表示,从而利用不等式的性质求出结果,特别注意不要随意将两个不等式进行消元,那样会将范围扩大,走入误区.
解析：设,其中.
整理得
所以有解得，所以
因为,所以 ①
因为,所以 ②
所以由①②两式可知
因此的取值范围为
四、解答题（本题共 3道大题，每道大题 10分，共 30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.解：（1）设运费为万元, 仓储费为万元, (是常数), (是常数),因此,,即,所以,,与的函数关系式为
,其中；
（2）则,当且仅当即等号成立,所以当且仅当工厂和仓库时间的距离为千米时,运费和仓储费之和最小,最小值为4万元.
方法指导：求实际问题中最值的一般思路
（1）先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式,注意变量的取值范围；（2）把实际问题抽象成求函数最大值或最小值问题.（3）在定义域内求函数的最大值或最小值,一般考虑应用基本不等式,当用基本不等式求最值的条件不具备时则考虑其他方法.
16. 解：（1）当且仅当时等号成立.因为,所以,当且仅当即时等号成立,
8,当且仅当即或时两个等号同时成立的最小值为8；
（2）
当且仅当即时等号成立
当且仅当即时等号成立
当且仅当即时等号成立
,
当且仅当时等号成立,因此的最小值为1.
方法指导：（1）已知求的最小值,当式子中出现,且要求最小值，可以联想到重要不等式, ,另外恰好,如果两个不等式的等号可以同时成立,即可求出的最小值,解决本道题要注意等号同时成立的条件是否能成立,能否成立都应说明理由；（2）已知并且求的最小值,由于为常数,并且的分母分别为所以可以将加上构造乘积为常数的形式,利用基本不等式求解,特别要注意等号成立的条件及不等式相关性质的应用.
17. 解：（1）命题：是真命题,由此可知不等式恒成立.
①时即或
（ⅰ）当时原不等式化为,不满足对于都成立,此时不符合题意；
（ⅱ）当时原不等式化为,满足对于都成立,此时符合题意.
所以此时.
②时,一元二次不等式的解集为,则二次函数的图象开口向下且与轴没有交点,则且一元二次方程没有实数根,所以有解得.
综上所述的取值范围为,即.
（2）当且仅当时等号成立. 且当且仅当时等号成立.因此时当且仅当即时有最小值4.
命题：,是真命题
,
即的取值范围为.
方法指导：（1）由已知可知恒成立,可以先对与0的大小关系进行分类讨论,当时代入即可简化不等式判断是否符合题意, 当时利用已知判断二次函数的图象特征或求出最值表达式,得出相关不等式求出的取值范围；（2）命题：,是真命题,要求的取值范围,可以进行移项变形,即当时有解,所以大于的最小值,因此本道题的核心是求的最小值,且,可以利用构造基本不等式的形式求最值,注意取得最值（等号成立及多个等号同时成立）的条件.