第一章 空间向量与立体几何 综合测评卷— 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word版，含解析）

第一章 空间向量与立体几何 综合测评卷
一、单选题
1．已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，，M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1=1∶4，用 ， ， 表示向量的结果是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以下结论错误的是（　　）
A．面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条
B．直线A1D与BC1垂直
C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A﹣A1CD的体积为a3
6．如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
7．在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，当AM、BN最短时，·=（ ）
A．- B． C．- D．
8．设=+，=+，=+，且{，，}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
9．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．A，B，M，N是空间中的四个点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
D．已知{}是空间的一个基底，若，则{}也是空间的一个基底
10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（ ）
A．PQ与EF一定不垂直
B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是
C．PEF的面积是
D．点P到平面QEF的距离是定值
11．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（ ）
A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等
12．设ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，以下结论为正确的有(　　)
A． a2 B． a2
C． a2 D． a2
三、填空题
13．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，到，，，的距离都等于2．给出以下结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确结论的序号是______．
14．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设，，，则向量用表示为________．
15．已知，，，
若，则λ=____.
16．如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直线CC'与平面PQC'所成的角为30°，则△PQC'的面积的最小值是__．
四、解答题
17．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，为棱上一点，为棱的中点，四棱锥的体积为.
（1）若为棱的中点，是的中点，求证：平面平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
18．如图，正三棱柱的棱长都为2，D为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）求点C到平面的距离．
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，是的中点，设，，.
（1）试用，，表示向量；
（2）求的长.
20．如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
21．如图所示，在直四棱柱中，为上靠近点的三等分点.
（1）若为的中点，试在上找一点，使平面；
（2）若四边形是正方形，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
22．如图，在四棱锥中，，，E为棱PA的中点，平面PCD．
（1）求AD的长；
（2）若，平面平面PBC，求二面角的大小的取值范围．
参考答案
1．A
【解析】由题意可知：，
所以 ，
则：，当且仅当时取等号．
即的最小值是.
故选：A
2．B
【解析】连接，如图所示：
因为，为中点，
所以.
故选：B
3．D
【解析】由题意可得，=-
=-(+).
∵，，
∴.
故选：D.
4．D
【解析】解：因为，所以，
所以，即，
解得.
故选：D.
5．C
【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），B1（a，a，a）．
C1（0，a，a），D1（0，0，a），
∴（﹣a，0，﹣a），（0，a，a），
∴，
∴异面直线A1D，AB1所成角为60°，
同理，正方体的六个面中，除了平面ADD1A1与平面BCC1B1的面对角线处其他的面对角线都与A1D所成角为60°，
∴面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条，故A正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，0，a），
∴ 0，∴直线A1D与BC1垂直，故B正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，﹣a，a），
∴0，∴直线A1D与BD1垂直，故C错误；
三棱锥A﹣A1CD的体积为：
a2×a．故D正确．
故选：C．
6．B
【解析】解：以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，
设，3，，则，3，，，，，
，，
，，
，
连接BP，在正四棱柱中，面，所以 就是与平面所成的角，即 ，
，的最大值为．
故选：B．
7．A
【解析】由共面向量定理和共线向量定理可知，M∈平面BCD，N∈直线AC，当AM、BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，
所以M为△BCD的中心，N为AC的中点，
此时，2||==，∴||=，
∵AM⊥平面BCD，MC 平面BCD，
∴AM⊥MC，
∴||=
==.
又=(+)，
∴·=(·+·)
=-||2=-.
故选：A.
8．C
【解析】结合长方体，如图可知：向量共面，不共面，不共面，，也不共面，
故选：C.
9．BCD
【解析】选项A中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，故A错误.
选项B中，根据基底的概念，知B正确.
选项C中，由不能构成空间的一个基底，知共面.又均过点B，所以A，B，M，N四点共面，故C正确.
选项D中，已知{ }是空间的一个基底，则基向量，可以与向量构成空间的另一个基底，故D正确.
故选:BCD.
10．BCD
【解析】解：对于A，当与点重合时，，故选项A错误；
对于B，由于点是棱上的动点，是棱上的一条线段，所以平面即平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，4，，
所以，平面即平面，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，
同理可求得平面的法向量为，设二面角为，
所以，
故，故选项B正确；
对于C，由于平面，又平面，
所以，所以，所以是的高，
所以，故选项C正确；
对于D，由于，且平面，平面，所以平面，
又点在上，所以点到平面的距离为常量，故选项D正确．
故选：BCD．
11．BC
【解析】对于A中，若，
因为且，所以平面，
所以，所以，此时不成立，所以A错误；
对于B中，如图所示，取的中点，连接，
由条件可知：，且,
所以平面平面，
又因为平面，所以平面，所以B正确；
对于C中，连接，
因为为的中点，所以，
所以四点共面，所以截面即为梯形，
由题得该等腰梯形的上底下底，腰长为，所以梯形面积为，故选项C正确；
对于D中，假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故选项D错误．
故选：BC．
12．BC
【解析】以为坐标原点，、、所示的空间直角坐标系，如下图:
则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，
D1(0，0，a)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，B1(a，a，a)，
对于A，(0，a，0)，(﹣a，a，0)，则 a2，A错误；
对于B，(0，a，0)，(a，﹣a，﹣a)，则 a2，B正确；
对于C，(﹣a，0，0)，(﹣a，0，﹣a)，则 a2，C正确；
对于D，(0，a，0)，(a，﹣a，0)，则 a2，D错误；
故选：BC．
13．③④
【解析】由图象可知，①错误.
，②错误.
，所以③正确；
底面是边长为1的正方形，，所以，，而，，因此④正确.
由于数量积是数量，不是向量，所以⑤错误.
故答案为：③④
14．.
【解析】解：因为＝－2，∴，∴，
∴.
故答案为：.
15．
【解析】，
，
，
解得.
故答案为：
16．8
【解析】解：设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，
由长方体性质知两两垂直，所以，，，，
，
所以，
由得，
所以，
∵直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，
∴h＝2，
∴，，
∴xy≥8，
再由体积可知：VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，
得，S△C′PQ＝xy，
∴△PQC'的面积的最小值是8．
故答案为：8．
17．（1）证明见解析；（2）存在，点位于上靠近点的三等分点.
【解析】（1）证明：在等边三角形中，为的中点，于是，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以是四棱锥的高，
设，则，
所以，
所以，如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，设是平面的法向量，
则，即令，则，
同理可得平面的一个法向量，
平面平面.
（2）存在.理由如下：设,
，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
易知平面的一个法向量，
，
因为，所以，
所以存在点，位于上靠近点的三等分点.
18．（1）详见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）以BC的中点O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
因为，且，
所以平面；
（2）由（1）知：是平面的一个法向量，又，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，
所以；
（3）因为，
则点C到平面的距离为．
19．（1）；（2）.
【解析】（1）是的中点，，
，，
，
结合，，，得；
（2），，即，，
，，
所以，，
由（1）知，
，
，即的长等于.
20．（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）证明：以为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图
则，，，，，
∵，，，
∴，，
即，，∵，∴平面；
（2）由（1）可知为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，而，，
则，令，可得，
设二面角的平面角为，经观察为锐角，
∴，即二面角的余弦值为；
（3），平面的法向量为，
设点到平面的距离为，
∴，即点到平面的距离为.
21．（1）点为的中点；（2）.
【解析】（1）当点为的中点时平面，证明如下：
连接，∵ 分别为 的中点，∴，
在直四棱柱中，，
∴，∵平面，平面，∴平面；
（2）以为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方形的边长为，，则 ，
则 ，设为平面的法向量，
则，即，令，则 ，即，
∵与平面所成角的正弦值为，且，
∴，解得，∴，
又平面的一个法向量为，
∴，
设二面角的平面角为，经观察为锐角，则．
22．（1）4；（2）
【解析】（1）如图所示：
过E作，交PD于点M，连接，
因为平面PCD．平面BCME，
平面PCD平面BCME=MC，
所以，
又因为，
所以，
所以四边形BCME是平行四边形，
所以，又因为，
所以.
（2）因为，E为棱PA的中点，
所以，且 ，
所以，又因为平面平面PBC，平面平面PBC=BP，
所以平面PBC，
又因为平面PBC，
所以，
则以点B为原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴，以经过点B且垂直与平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，由题意设，
则，设平面CDP的一个法向量为，
则，即，
令，得，则，
易知平面BCP的一个法向量为，
则，
因为，
所以，
所以二面角的大小的取值范围是.