北京市第四中学2021-2022学年八年级上学期数学开学考试试卷
1．（2021八上·北京开学考）在平面直角坐标系中，点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点A（-3，2）在第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可。
2．（2021八上·北京开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. ，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项不符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. ，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平方根、算术平方根即立方根的定义计算即可得出答案。
3．（2021八上·北京开学考）若 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.∵a＞b，
∴a+c＞b+c，故本选项符合题意；
B.∵a＞b，
∴-a＜-b，
∴c-a＜c-b，故本选项不符合题意；
C.不妨设c=0，
则ac2=bc2，故本选项不符合题意；
D.不妨设c＜0，
则 ，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用不等式的性质1，可对A作出判断；利用不等式的1和3，可对B作出判断；利用不等式的性质2，可对C、D作出判断.
4．（2021八上·北京开学考）下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：如图，
∵∵作△ABC边AC上的高，
∴过点B作BD⊥AC于点D.
故答案为：D.
【分析】利用三角形高的定义，观察图形，可得答案.
5．（2021八上·北京开学考）下列命题是假命题的是（ ）．
A．同一平面内，两直线不相交就平行
B．对顶角相等
C．互为邻补角的两角和为180°
D．相等的两个角一定是对顶角
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：同一平面内，两条不相交的直线平行，不符合题意；
B：对顶角相等，不符合题意；
C：互为邻补角的两角和为180°，不符合题意；
D：相等的两个角不一定是对顶角，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据两直线的位置关系、对顶角、邻补角的概念判断即可。
6．（2021八上·北京开学考）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOE=72°，则∠AOF的度数为（ ）
A．72° B．60° C．54° D．36°
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=72°，
∴∠BOC=2∠BOE=2×72°=144°，
∵∠BOC与∠AOC是邻补角，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-144°=36°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-36°=54°．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得出∠BOC=2∠BOE=2×72°=144°，由邻补角定义求出∠AOC=180°-∠BOC=180°-144°=36°，再根据垂直定义即可求出∠AOF的度数。
7．（2021八上·北京开学考）如图，五边形ABCDE中，AB//CD，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90° B．180° C．210° D．270°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF//AB，而
EF//AB//DC，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】过点E作EF//AB，而 AB//CD，得到EF//AB//DC，再利用平行线的性质求解即可。
8．（2021八上·北京开学考）如图，直线 与 相交于点 ，对于平面内任意一点 ，点 直线 ， 的距离分别为 ， ，则称有序实数对 是点 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是 的点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】定义新运算；平面中直线位置关系
【解析】【解答】如图，
∵到直线 的距离是5的点在与直线 平行且与 的距离是5的两条平行线a 、a 上，到直线 的距离是3的点在与直线 平行且与 的距离是3的两条平行线b 、b 上，
∴“距离坐标”是（5，3）的点是M 、M 、M 、M ，一共4个．
故答案为：C．
【分析】由于到直线 的距离是5的点在与直线 平行且与 的距离是5的两条平行线a 、a 上，到直线 的距离是3的点在与直线 平行且与 的距离是3的两条平行线b 、b 上，它们有4个交点，即为所求。
9．（2021八上·北京开学考）为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初一级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如图．由图中信息可知，下列结论错误的是（ ）
A．选“责任”的有120人
B．本次调查的样本容量是600
C．选“感恩”的人数最多
D．扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为64.8°
【答案】D
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：本次调查的样本容量为：108÷18%=600，B中的说法不符合题意；
选“责任”的有600× =120（人），A中的说法不符合题意；
选“感恩”的人数为：600-132-600×（16%+18%）-120=144， “感恩”的人数最多，C中的说法不符合题意；
扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为360°× =79.2°，D中的说法符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据条形统计图和扇形统计图的应用即可得出选项。
10．（2021八上·北京开学考）已知关于x，y的方程组 ，其中 ，下列命题正确的个数为（ ）
①当 时，x、y的值互为相反数；
② 是方程组的解；
③当 时，方程组的解也是方程 的解；
④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解方程组 得： ，
①当 时， ， ，
所以 、 互为相反数，故①符合题意；
②把 代入 得： ，
解得： ，
，
此时 不符合，故②不符合题意；
③当 时，
， ，
方程组的解是 ，
把 ， 代入方程 得：左边 右边，
即当 时，方程组的解也是方程 的解，故③符合题意；
④ ，
，
即 ，
，
，
，
，
，故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】解方程组得出x、y的表达式，根据a的取值范围确定x、y的取值范围，逐一判断即可。
11．（2021八上·北京开学考）-8的立方根是 ．
【答案】-2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】【详解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故答案为﹣2．
【分析】根据立方根的定义即可得出答案。
12．（2021八上·北京开学考）若点 在y轴上，则a的值是 ．
【答案】-3
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由题意得
a+3=0，
∴a=-3．
故答案为：-3．
【分析】根据点 在y轴上，可得a+3=0，再计算求解即可。
13．（2021八上·北京开学考）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，其它的边数为 ．
【答案】6
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：设这个正多边的每一个外角为x°，由题意得：
x+2x=180，
解得：x=60，
360°÷60°=6．
故答案为6．
【分析】设这个正多边的每一个外角为x°，根据题意列出方程，解之即可。
14．（2021八上·北京开学考）已知x＝1，y＝3是二元一次方程kx+2y＝5的一个解，则k＝ ．
【答案】-1
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把x＝1，y＝3代入二元一次方程kx+2y＝5得：
k+6＝5，
得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【分析】根据二元一次方程解的定义，直接把x＝1，y＝3代入二元一次方程kx+2y＝5中，得出关于k的方程，再接方程即可得出k的值。
15．（2021八上·北京开学考）如图，不添加辅助线，请添加一个能判定 的条件： ．
【答案】∠ADE=∠B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，添加一个条件：∠ADE=∠B，即能判定 .
故答案是∠ADE=∠B
【分析】根据平行线的判定方法即可得出答案。
16．（2021八上·北京开学考）将一副三角板如图所示摆放，当 且点F落在 边上时，则 的度数为 ．
【答案】75°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：延长DF，与BC交于点G，
∵BC∥DE，
∴∠D=∠CGD=45°，
∵∠B=30°，
∴∠BFG=45°-30°=15°，
∴∠EFB=90°-15°=75°，
故答案为：75°．
【分析】延长DF，与BC交于点G，根据平行线的性质得出∠D=∠CGD=45°，再根据三角形外角性质即可得解。
17．（2021八上·北京开学考）已知关于x的不等式组 的整数解共有2个，则m的取值范围是
【答案】1＜m≤2
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：关于x的不等式组 的解集是：﹣1＜x＜m，
∵不等式组的整数解有2个
∴这2个整数解是：0，1，
∴1＜m≤2
故答案为：1＜m≤2．
【分析】利用数轴结合整数解有2个求解即可。
18．（2021八上·北京开学考）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的等边△OA1A2的一条边OA2在x的正半轴上，O为坐标原点；将△OA1A2沿x轴正方向依次向右移动2个单位，依次得到△A3A4A5，△A6A7A8…，则顶点A2021的坐标为 .
【答案】（1346.5， ）
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解： 是等边三角形，边长为1
， ， ， ， …
观察图形可知，3个点一个循环，每个循环向右移动2个单位
2021÷3＝673…1，
673×2＝1346，故顶点A2021的坐标是（1346.5， ）.
故答案为：（1346.5， ）.
【分析】根据等边三角形的性质以及边长可得点A1的纵坐标，进而表示出A1的坐标，同理表示出A2，A3，A4的坐标，发现：3个点一个循环，每个循环向右移动2个单位，据此解答.
19．（2021八上·北京开学考）
（1）计算： ；
（2）求等式中x的值： ．
【答案】（1）解：
=
= ；
（2）解： ，
∴ ，
解得： ．
【知识点】平方根；实数的运算
【解析】【分析】（1）利用绝对值的代数意义，平方根定义计算，合并即可得出结果；
（2）方程利用平方根定义即可得出。
20．（2021八上·北京开学考）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解： ，
由①得： ；
由②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
表示在数轴上，如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将解集在数轴上表示出来即可.
21．（2021八上·北京开学考）完成推理填空．
填写推理理由：
如图： ，把求 的过程填写完整．
∵ ，
∴ ▲ ，（ ▲ ）
又∵ ，
∴ ▲ ，（ ▲ ）
∴ ▲ ﹐（ ▲ ）
又∵ ，
∴ ．
【答案】解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠DGA=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°．
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】根据平行线的性质和平行线的判定即可得出答案。
22．（2021八上·北京开学考）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数.
【答案】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°
∵AE、BF是角平分线
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝∠EAB＝25°
又∵AD是高
∴∠ADC＝90°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°
又∵∠ABF＝35°，∠EAB＝25°
∴∠BOA＝180°-∠EAB-∠ABF＝180°-25°-35°＝120°
∴∠DAE＝5°，∠BOA＝120°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理可求出∠ABC；由AE、BF是角平分线，得到∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝∠EAB＝25°；由AD是高，得到∠DAC；从而计算得到∠DAE和∠BOA.
23．（2021八上·北京开学考）我国5G技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款5G产品，为了解用户对该产品的满意度，随机调查了30个用户，得到用户对该产品的满意度评分（满分为100分）如下：
83 92 64 55 77 87 75 95 73 95 82 84 76 87 53
85 75 96 86 97 79 67 81 74 88 85 86 78 89 98
将数据进行分组整理，并绘制不完整的统计表，频数分布直方图．
分组 成绩 人数
A 2
B a
C 8
D 12
E b
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：当 时为“不满意”，当 时为“满意”，当 时为“非常满意”，估计使用该公司这款5G产品的1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数．
【答案】（1）解：∵30个用户，得到用户对该产品的满意度评分（满分为100分）如下：
53，55，64，67，73，74，75，75，76，77，78，79，81，82，83，84，85，85，86，86，87，87，88，89，92，95，95，96，97，98，
∴a=2，b=6
（2）解：补全频数分布直方图如图所示：
（3）解：1500× =300（人），
答：满意度等级为“非常满意”的人数有300人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；统计表
【解析】【分析】（1）根据题意的数据即可统计B组、E组的频数；
（2）根据a、b的值即可补全分布直方图；
（3）样本估计总体，样本中“非常满意”的占调查人数的，因此估计1500个人的是“非常满意”的。
24．（2021八上·北京开学考）如图，在边长为 1 的正方形网格中，三角形 ABC 中任意一点 P（x0，y0）经平移后对应点为 P1（x0-4，y0＋3），已知 A（0，2），B（4，0），C（-1，-1），将三角形 ABC 作同样的平移得到三角形 A1B1C1
（1）直接写出坐标：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
（2）三角形
A1B1C1 的面积为 ；
（3）已知点
P 在 y 轴上，且三角形 PAC
的面积等于三角形 ABC 面积的一半，求 P 点坐标．
【答案】（1）-4，5；0，3；-5，2
（2）7
（3）解： ，
∴ ，
又∵A（0，2），
∴P（0，9）或P（0，-5）．
【知识点】点的坐标；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）0-4=-4，2+3=5，则A1 （-4，5），
4-4=0，0+3=3，则B1（0，3），
-1-4=-5，-1+3=2，则C1（-5，2）；
故答案为：-4，5，0，3，-5，2；
（2）如下图，
，
故答案为：7；
【分析】（1）利用点P的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律得出A1、B1、C1的坐标；
（2）用一个矩形的面积分别建区三个三角形的面积去计算三角形A1B1C1的面积；
（3）设P（0，t），利用三角形面积公式得出 ，再求出t得出P点坐标。
25．（2021八上·北京开学考）为方便教师利用多媒体进行教学，某学校计划一次性采购A、B两种类型的激光翻页笔，已知购买2支A型激光翻页笔和4支B型激光翻页笔共需180元，购买4支A型激光翻页笔和2支B型激光翻页笔共需210元．
（1）问购买一支A型激光翻页笔和一支B型激光翻页笔各需多少元？
（2）经过老师申报，学校调查研究，需要采购60支激光翻页笔以满足教育教学需要．根据该中学的财政预算情况，用于购买这批激光翻页笔的资金不超过2130元，并且A型激光翻页笔的数量不少于B型激光翻页笔的2倍，请设计出最省钱的购买方案．
【答案】（1）解：设购买一支A型激光翻页笔需x元，一支B型激光翻页笔需y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：购买一支A型激光翻页笔需40元，一支B型激光翻页笔需25元．
（2）解：设购买A型激光翻页笔m支，则购买B型激光翻页笔（60﹣m）支，
依题意得： ，
解得： ．
又∵m为正整数，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买A型激光翻页笔40支，B型激光翻页笔20支，购买资金为40×40+25×20＝1600+500＝2100（元）；
方案2：购买A型激光翻页笔41支，B型激光翻页笔19支，购买资金为40×41+25×19＝1640+475＝2115（元）；
方案3：购买A型激光翻页笔42支，B型激光翻页笔18支，购买资金为40×42+25×18＝1680+450＝2130（元）．
∵2100＜2115＜2130，
∴选择方案1最省钱，即购买A型激光翻页笔40支，B型激光翻页笔20支最省钱．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一支A型激光翻页笔需x元，一支B型激光翻页笔需y元， 根据题意列出方程组，再解之即可；
（2）设购买A型激光翻页笔m支，则购买B型激光翻页笔（60﹣m）支， 根据题意列出不等式组，解得出m的范围，因为m为正整数，即可得出所有方案，再比较即可得出最省钱的方案。
26．（2021八上·北京开学考）已知如图①， 、 分别是 的外角 、 的角平分线， 、 分别是 、 的角平分线， 、 分别是 、 的角平分线， ．
（1）当 时， °， °；
（2）当 °时， ；
（3）如图②，当 时， 、 所在直线交于点O，求 的度数；
（4）在 的条件下，直接写出 、 、 三角之间的数量关系： ．
【答案】（1）70；125
（2）60
（3）解：∵α=120°，
∴∠MBC+∠NCB= （∠DBC+∠BCE）= （180°+α）=225°，
∴∠BOC=225°-180°=45°；
（4）∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°
【知识点】角的运算；平行线的判定；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP= （∠DBC+∠BCE）=110°，
∴∠BPC=180°-110°=70°，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
∴∠QBC= ∠PBC，∠QCB= ∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB=55°，
∴∠BQC=180°-55°=125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB=180°，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC=α，
∴ （∠DBC+∠BCE）=180°，
即 （180°+α）=180°，
解得α=60°；
（4）∵α＞60°，
∠BPC=90°- α，∠BQC=135°- α，∠BOC= α-45°．
∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：
∠BPC+∠BQC+∠BOC=（90°- α）+（135°- α）+（ α-45°）=180°．
故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°．
【分析】（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质，可求出∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC= ∠PBC，∠QCB= ∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；
（3）根据题意得出∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角性质和三角形内角和定理得出∠BOC的度数；
（4）分别表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加即可求解。
27．（2021八上·北京开学考）对于实数x，y我们定义一种新运算 （其中a，b均为非零常数）．等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为 ，其中x，y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．
（1）若 ，则 ， ；
（2）已知 ，若 为正格线性数，则满足不等式组 的所有m的值为 ．
【答案】（1）5；3
（2）3，4，5，6，7，8
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵L（x，y）=x+3y，
∴L（2，1）=2+3×1=5，L（ ， ）= =3，
故答案为：5，3；
（2）∵L（x，y）=x+3y，
∴L（m，m-2）=m+3（m-2）=4m-6，
∴ ，
解得： ，
∵m和m-2均为为正整数，
∴m的值有3，4，5，6，7，8．
【分析】（1）根据已知条件，分别代入x、y的值，从而求解；
（2）根据题意先求的L（m，m-2）=m+3（m-2）=4m-6，在列出关于m的一元一次不等式组，从而确定m的值。
28．（2021八上·北京开学考）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．
（1）当∠B＝72°时；
①若∠CPB＝54°，则△ACP
▲
“倍角三角形”（填“是”或“否”）；
②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；
（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．
【答案】（1）解：①∵∠ACB=90°，∠B=72°，
∴∠C=90°-72°=18°，
∵∠CPB=54°，
∴∠A+∠ACP=54°，
∴∠ACP=36°，
∴∠ACP=2∠A，
∴△ACP是“倍角三角形”，
故答案为：是．
②∵∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”，
∴△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，
∴∠BCP=36°或72°，
∴∠ACP=54°或18°
（2）解：如图2-1中，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=45°．
如图2-2中，当∠A=60°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=60°．
如图2-3中，当∠A=60°，∠BPC=100°时，满足条件，此时∠BCP=50°．
如图2-4中，当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条件，此时∠BCP=40°．
如图2-5中，当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条件，此时∠BCP=30°．
综上所述，满足条件的∠BC的值为30°或40°或45°或50°或60°．
【知识点】角的运算；定义新运算；三角形的综合
【解析】【分析】（1）①求出△ACP中各个内角的度数，即可判断；②由∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”，推出△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，由此得出结论；
（2）先确定△ABC是“倍角三角形”时分当∠A=60°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=60°．当∠A=60°，∠BPC=100°时，满足条件，此时∠BCP=50°．当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条件，此时∠BCP=40°．当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条件，此时∠BCP=30°．分起来讨论即可。
29．（2021八上·北京开学考）在平面直角坐标系中，我们把到两坐标轴距离相等的点叫做“等轴距点”．
如图1，P，Q为两个“等轴距点”．作PE∥x轴，QE∥y轴，E为交点；作PF∥y轴，QF∥x轴，F为交点．我们把由此得到的长方形PEQF叫做P，Q两点的“轴距长方形”．
请根据上述定义，解答下面的题目：
如图2，在平面直角坐标系中，A（2，2），B（﹣1，1）都是“等轴距点”，长方形ACBD为A，B两点的“轴距长方形”．
（1）A，B两点的“轴距长方形”ACBD的周长为 ；
（2）点M为“等轴距点”，B，M两点的“轴距长方形”为周长等于8的正方形，求M点的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在“等轴距点”N，使得A，N两点的“轴距长方形”的周长为12？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）8
（2）解：∵B，M两点的“轴距长方形”为周长等于8的正方形，
∴正方形的边长为2，
∴点M的横坐标为﹣1+2=1或﹣1﹣2=﹣3，点M的纵坐标为1+2=3或1﹣2=﹣1，
∵点M为“等轴距点”，
∴点M（﹣3，3）或（1，﹣1）；
（3）解：当点N的坐标为（a，a）时，
∵A，N两点的“轴距长方形”的周长为12，
∴2（|a﹣2|+|a﹣2|）=12
∴a=﹣1或a=5，
∴点N的坐标为（﹣1，﹣1）或（5，5）；
当点N的坐标为（a，﹣a）时，
∵A，N两点的“轴距长方形”的周长为12，
∴2（|a﹣2|+|a+2|）=12
∴a=﹣3或a=3，
∴点N的坐标为（﹣3，﹣3）或（3，3）；
综上所述：点N的坐标为（﹣1，﹣1）或（5，5）或（﹣3，﹣3）或（3，3）
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】（1）∵A（2，2），B（﹣1，1），长方形ACBD为A，B两点的“轴距长方形”，
∴AD=BC=3，AC=BD=1，
∴“轴距长方形”ACBD的周长=2×（1+3）=8，
故答案为：8；
【分析】（1）由“轴距长方形”的定义可求解；
（2）由“轴距长方形”的定义可求点M的横坐标、纵坐标，由“等轴距点”的定义可求解；
（3）分两种情况讨论：由“轴距长方形”的定义和长方形的性质可求解。
1 / 1北京市第四中学2021-2022学年八年级上学期数学开学考试试卷
1．（2021八上·北京开学考）在平面直角坐标系中，点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2021八上·北京开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·北京开学考）若 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·北京开学考）下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021八上·北京开学考）下列命题是假命题的是（ ）．
A．同一平面内，两直线不相交就平行
B．对顶角相等
C．互为邻补角的两角和为180°
D．相等的两个角一定是对顶角
6．（2021八上·北京开学考）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOE=72°，则∠AOF的度数为（ ）
A．72° B．60° C．54° D．36°
7．（2021八上·北京开学考）如图，五边形ABCDE中，AB//CD，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90° B．180° C．210° D．270°
8．（2021八上·北京开学考）如图，直线 与 相交于点 ，对于平面内任意一点 ，点 直线 ， 的距离分别为 ， ，则称有序实数对 是点 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是 的点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2021八上·北京开学考）为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初一级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如图．由图中信息可知，下列结论错误的是（ ）
A．选“责任”的有120人
B．本次调查的样本容量是600
C．选“感恩”的人数最多
D．扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为64.8°
10．（2021八上·北京开学考）已知关于x，y的方程组 ，其中 ，下列命题正确的个数为（ ）
①当 时，x、y的值互为相反数；
② 是方程组的解；
③当 时，方程组的解也是方程 的解；
④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2021八上·北京开学考）-8的立方根是 ．
12．（2021八上·北京开学考）若点 在y轴上，则a的值是 ．
13．（2021八上·北京开学考）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，其它的边数为 ．
14．（2021八上·北京开学考）已知x＝1，y＝3是二元一次方程kx+2y＝5的一个解，则k＝ ．
15．（2021八上·北京开学考）如图，不添加辅助线，请添加一个能判定 的条件： ．
16．（2021八上·北京开学考）将一副三角板如图所示摆放，当 且点F落在 边上时，则 的度数为 ．
17．（2021八上·北京开学考）已知关于x的不等式组 的整数解共有2个，则m的取值范围是
18．（2021八上·北京开学考）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的等边△OA1A2的一条边OA2在x的正半轴上，O为坐标原点；将△OA1A2沿x轴正方向依次向右移动2个单位，依次得到△A3A4A5，△A6A7A8…，则顶点A2021的坐标为 .
19．（2021八上·北京开学考）
（1）计算： ；
（2）求等式中x的值： ．
20．（2021八上·北京开学考）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．
21．（2021八上·北京开学考）完成推理填空．
填写推理理由：
如图： ，把求 的过程填写完整．
∵ ，
∴ ▲ ，（ ▲ ）
又∵ ，
∴ ▲ ，（ ▲ ）
∴ ▲ ﹐（ ▲ ）
又∵ ，
∴ ．
22．（2021八上·北京开学考）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数.
23．（2021八上·北京开学考）我国5G技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款5G产品，为了解用户对该产品的满意度，随机调查了30个用户，得到用户对该产品的满意度评分（满分为100分）如下：
83 92 64 55 77 87 75 95 73 95 82 84 76 87 53
85 75 96 86 97 79 67 81 74 88 85 86 78 89 98
将数据进行分组整理，并绘制不完整的统计表，频数分布直方图．
分组 成绩 人数
A 2
B a
C 8
D 12
E b
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：当 时为“不满意”，当 时为“满意”，当 时为“非常满意”，估计使用该公司这款5G产品的1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数．
24．（2021八上·北京开学考）如图，在边长为 1 的正方形网格中，三角形 ABC 中任意一点 P（x0，y0）经平移后对应点为 P1（x0-4，y0＋3），已知 A（0，2），B（4，0），C（-1，-1），将三角形 ABC 作同样的平移得到三角形 A1B1C1
（1）直接写出坐标：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
（2）三角形
A1B1C1 的面积为 ；
（3）已知点
P 在 y 轴上，且三角形 PAC
的面积等于三角形 ABC 面积的一半，求 P 点坐标．
25．（2021八上·北京开学考）为方便教师利用多媒体进行教学，某学校计划一次性采购A、B两种类型的激光翻页笔，已知购买2支A型激光翻页笔和4支B型激光翻页笔共需180元，购买4支A型激光翻页笔和2支B型激光翻页笔共需210元．
（1）问购买一支A型激光翻页笔和一支B型激光翻页笔各需多少元？
（2）经过老师申报，学校调查研究，需要采购60支激光翻页笔以满足教育教学需要．根据该中学的财政预算情况，用于购买这批激光翻页笔的资金不超过2130元，并且A型激光翻页笔的数量不少于B型激光翻页笔的2倍，请设计出最省钱的购买方案．
26．（2021八上·北京开学考）已知如图①， 、 分别是 的外角 、 的角平分线， 、 分别是 、 的角平分线， 、 分别是 、 的角平分线， ．
（1）当 时， °， °；
（2）当 °时， ；
（3）如图②，当 时， 、 所在直线交于点O，求 的度数；
（4）在 的条件下，直接写出 、 、 三角之间的数量关系： ．
27．（2021八上·北京开学考）对于实数x，y我们定义一种新运算 （其中a，b均为非零常数）．等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为 ，其中x，y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．
（1）若 ，则 ， ；
（2）已知 ，若 为正格线性数，则满足不等式组 的所有m的值为 ．
28．（2021八上·北京开学考）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．
（1）当∠B＝72°时；
①若∠CPB＝54°，则△ACP
▲
“倍角三角形”（填“是”或“否”）；
②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；
（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．
29．（2021八上·北京开学考）在平面直角坐标系中，我们把到两坐标轴距离相等的点叫做“等轴距点”．
如图1，P，Q为两个“等轴距点”．作PE∥x轴，QE∥y轴，E为交点；作PF∥y轴，QF∥x轴，F为交点．我们把由此得到的长方形PEQF叫做P，Q两点的“轴距长方形”．
请根据上述定义，解答下面的题目：
如图2，在平面直角坐标系中，A（2，2），B（﹣1，1）都是“等轴距点”，长方形ACBD为A，B两点的“轴距长方形”．
（1）A，B两点的“轴距长方形”ACBD的周长为 ；
（2）点M为“等轴距点”，B，M两点的“轴距长方形”为周长等于8的正方形，求M点的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在“等轴距点”N，使得A，N两点的“轴距长方形”的周长为12？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点A（-3，2）在第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可。
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. ，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项不符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. ，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平方根、算术平方根即立方根的定义计算即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.∵a＞b，
∴a+c＞b+c，故本选项符合题意；
B.∵a＞b，
∴-a＜-b，
∴c-a＜c-b，故本选项不符合题意；
C.不妨设c=0，
则ac2=bc2，故本选项不符合题意；
D.不妨设c＜0，
则 ，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用不等式的性质1，可对A作出判断；利用不等式的1和3，可对B作出判断；利用不等式的性质2，可对C、D作出判断.
4．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：如图，
∵∵作△ABC边AC上的高，
∴过点B作BD⊥AC于点D.
故答案为：D.
【分析】利用三角形高的定义，观察图形，可得答案.
5．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：同一平面内，两条不相交的直线平行，不符合题意；
B：对顶角相等，不符合题意；
C：互为邻补角的两角和为180°，不符合题意；
D：相等的两个角不一定是对顶角，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据两直线的位置关系、对顶角、邻补角的概念判断即可。
6．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=72°，
∴∠BOC=2∠BOE=2×72°=144°，
∵∠BOC与∠AOC是邻补角，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-144°=36°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-36°=54°．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得出∠BOC=2∠BOE=2×72°=144°，由邻补角定义求出∠AOC=180°-∠BOC=180°-144°=36°，再根据垂直定义即可求出∠AOF的度数。
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF//AB，而
EF//AB//DC，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】过点E作EF//AB，而 AB//CD，得到EF//AB//DC，再利用平行线的性质求解即可。
8．【答案】C
【知识点】定义新运算；平面中直线位置关系
【解析】【解答】如图，
∵到直线 的距离是5的点在与直线 平行且与 的距离是5的两条平行线a 、a 上，到直线 的距离是3的点在与直线 平行且与 的距离是3的两条平行线b 、b 上，
∴“距离坐标”是（5，3）的点是M 、M 、M 、M ，一共4个．
故答案为：C．
【分析】由于到直线 的距离是5的点在与直线 平行且与 的距离是5的两条平行线a 、a 上，到直线 的距离是3的点在与直线 平行且与 的距离是3的两条平行线b 、b 上，它们有4个交点，即为所求。
9．【答案】D
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：本次调查的样本容量为：108÷18%=600，B中的说法不符合题意；
选“责任”的有600× =120（人），A中的说法不符合题意；
选“感恩”的人数为：600-132-600×（16%+18%）-120=144， “感恩”的人数最多，C中的说法不符合题意；
扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为360°× =79.2°，D中的说法符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据条形统计图和扇形统计图的应用即可得出选项。
10．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解方程组 得： ，
①当 时， ， ，
所以 、 互为相反数，故①符合题意；
②把 代入 得： ，
解得： ，
，
此时 不符合，故②不符合题意；
③当 时，
， ，
方程组的解是 ，
把 ， 代入方程 得：左边 右边，
即当 时，方程组的解也是方程 的解，故③符合题意；
④ ，
，
即 ，
，
，
，
，
，故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】解方程组得出x、y的表达式，根据a的取值范围确定x、y的取值范围，逐一判断即可。
11．【答案】-2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】【详解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故答案为﹣2．
【分析】根据立方根的定义即可得出答案。
12．【答案】-3
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由题意得
a+3=0，
∴a=-3．
故答案为：-3．
【分析】根据点 在y轴上，可得a+3=0，再计算求解即可。
13．【答案】6
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：设这个正多边的每一个外角为x°，由题意得：
x+2x=180，
解得：x=60，
360°÷60°=6．
故答案为6．
【分析】设这个正多边的每一个外角为x°，根据题意列出方程，解之即可。
14．【答案】-1
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把x＝1，y＝3代入二元一次方程kx+2y＝5得：
k+6＝5，
得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【分析】根据二元一次方程解的定义，直接把x＝1，y＝3代入二元一次方程kx+2y＝5中，得出关于k的方程，再接方程即可得出k的值。
15．【答案】∠ADE=∠B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，添加一个条件：∠ADE=∠B，即能判定 .
故答案是∠ADE=∠B
【分析】根据平行线的判定方法即可得出答案。
16．【答案】75°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：延长DF，与BC交于点G，
∵BC∥DE，
∴∠D=∠CGD=45°，
∵∠B=30°，
∴∠BFG=45°-30°=15°，
∴∠EFB=90°-15°=75°，
故答案为：75°．
【分析】延长DF，与BC交于点G，根据平行线的性质得出∠D=∠CGD=45°，再根据三角形外角性质即可得解。
17．【答案】1＜m≤2
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：关于x的不等式组 的解集是：﹣1＜x＜m，
∵不等式组的整数解有2个
∴这2个整数解是：0，1，
∴1＜m≤2
故答案为：1＜m≤2．
【分析】利用数轴结合整数解有2个求解即可。
18．【答案】（1346.5， ）
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解： 是等边三角形，边长为1
， ， ， ， …
观察图形可知，3个点一个循环，每个循环向右移动2个单位
2021÷3＝673…1，
673×2＝1346，故顶点A2021的坐标是（1346.5， ）.
故答案为：（1346.5， ）.
【分析】根据等边三角形的性质以及边长可得点A1的纵坐标，进而表示出A1的坐标，同理表示出A2，A3，A4的坐标，发现：3个点一个循环，每个循环向右移动2个单位，据此解答.
19．【答案】（1）解：
=
= ；
（2）解： ，
∴ ，
解得： ．
【知识点】平方根；实数的运算
【解析】【分析】（1）利用绝对值的代数意义，平方根定义计算，合并即可得出结果；
（2）方程利用平方根定义即可得出。
20．【答案】解： ，
由①得： ；
由②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
表示在数轴上，如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将解集在数轴上表示出来即可.
21．【答案】解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠DGA=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°．
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】根据平行线的性质和平行线的判定即可得出答案。
22．【答案】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°
∵AE、BF是角平分线
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝∠EAB＝25°
又∵AD是高
∴∠ADC＝90°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°
又∵∠ABF＝35°，∠EAB＝25°
∴∠BOA＝180°-∠EAB-∠ABF＝180°-25°-35°＝120°
∴∠DAE＝5°，∠BOA＝120°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理可求出∠ABC；由AE、BF是角平分线，得到∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝∠EAB＝25°；由AD是高，得到∠DAC；从而计算得到∠DAE和∠BOA.
23．【答案】（1）解：∵30个用户，得到用户对该产品的满意度评分（满分为100分）如下：
53，55，64，67，73，74，75，75，76，77，78，79，81，82，83，84，85，85，86，86，87，87，88，89，92，95，95，96，97，98，
∴a=2，b=6
（2）解：补全频数分布直方图如图所示：
（3）解：1500× =300（人），
答：满意度等级为“非常满意”的人数有300人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；统计表
【解析】【分析】（1）根据题意的数据即可统计B组、E组的频数；
（2）根据a、b的值即可补全分布直方图；
（3）样本估计总体，样本中“非常满意”的占调查人数的，因此估计1500个人的是“非常满意”的。
24．【答案】（1）-4，5；0，3；-5，2
（2）7
（3）解： ，
∴ ，
又∵A（0，2），
∴P（0，9）或P（0，-5）．
【知识点】点的坐标；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）0-4=-4，2+3=5，则A1 （-4，5），
4-4=0，0+3=3，则B1（0，3），
-1-4=-5，-1+3=2，则C1（-5，2）；
故答案为：-4，5，0，3，-5，2；
（2）如下图，
，
故答案为：7；
【分析】（1）利用点P的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律得出A1、B1、C1的坐标；
（2）用一个矩形的面积分别建区三个三角形的面积去计算三角形A1B1C1的面积；
（3）设P（0，t），利用三角形面积公式得出 ，再求出t得出P点坐标。
25．【答案】（1）解：设购买一支A型激光翻页笔需x元，一支B型激光翻页笔需y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：购买一支A型激光翻页笔需40元，一支B型激光翻页笔需25元．
（2）解：设购买A型激光翻页笔m支，则购买B型激光翻页笔（60﹣m）支，
依题意得： ，
解得： ．
又∵m为正整数，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买A型激光翻页笔40支，B型激光翻页笔20支，购买资金为40×40+25×20＝1600+500＝2100（元）；
方案2：购买A型激光翻页笔41支，B型激光翻页笔19支，购买资金为40×41+25×19＝1640+475＝2115（元）；
方案3：购买A型激光翻页笔42支，B型激光翻页笔18支，购买资金为40×42+25×18＝1680+450＝2130（元）．
∵2100＜2115＜2130，
∴选择方案1最省钱，即购买A型激光翻页笔40支，B型激光翻页笔20支最省钱．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一支A型激光翻页笔需x元，一支B型激光翻页笔需y元， 根据题意列出方程组，再解之即可；
（2）设购买A型激光翻页笔m支，则购买B型激光翻页笔（60﹣m）支， 根据题意列出不等式组，解得出m的范围，因为m为正整数，即可得出所有方案，再比较即可得出最省钱的方案。
26．【答案】（1）70；125
（2）60
（3）解：∵α=120°，
∴∠MBC+∠NCB= （∠DBC+∠BCE）= （180°+α）=225°，
∴∠BOC=225°-180°=45°；
（4）∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°
【知识点】角的运算；平行线的判定；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP= （∠DBC+∠BCE）=110°，
∴∠BPC=180°-110°=70°，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
∴∠QBC= ∠PBC，∠QCB= ∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB=55°，
∴∠BQC=180°-55°=125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB=180°，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC=α，
∴ （∠DBC+∠BCE）=180°，
即 （180°+α）=180°，
解得α=60°；
（4）∵α＞60°，
∠BPC=90°- α，∠BQC=135°- α，∠BOC= α-45°．
∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：
∠BPC+∠BQC+∠BOC=（90°- α）+（135°- α）+（ α-45°）=180°．
故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°．
【分析】（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质，可求出∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC= ∠PBC，∠QCB= ∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；
（3）根据题意得出∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角性质和三角形内角和定理得出∠BOC的度数；
（4）分别表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加即可求解。
27．【答案】（1）5；3
（2）3，4，5，6，7，8
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵L（x，y）=x+3y，
∴L（2，1）=2+3×1=5，L（ ， ）= =3，
故答案为：5，3；
（2）∵L（x，y）=x+3y，
∴L（m，m-2）=m+3（m-2）=4m-6，
∴ ，
解得： ，
∵m和m-2均为为正整数，
∴m的值有3，4，5，6，7，8．
【分析】（1）根据已知条件，分别代入x、y的值，从而求解；
（2）根据题意先求的L（m，m-2）=m+3（m-2）=4m-6，在列出关于m的一元一次不等式组，从而确定m的值。
28．【答案】（1）解：①∵∠ACB=90°，∠B=72°，
∴∠C=90°-72°=18°，
∵∠CPB=54°，
∴∠A+∠ACP=54°，
∴∠ACP=36°，
∴∠ACP=2∠A，
∴△ACP是“倍角三角形”，
故答案为：是．
②∵∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”，
∴△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，
∴∠BCP=36°或72°，
∴∠ACP=54°或18°
（2）解：如图2-1中，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=45°．
如图2-2中，当∠A=60°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=60°．
如图2-3中，当∠A=60°，∠BPC=100°时，满足条件，此时∠BCP=50°．
如图2-4中，当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条件，此时∠BCP=40°．
如图2-5中，当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条件，此时∠BCP=30°．
综上所述，满足条件的∠BC的值为30°或40°或45°或50°或60°．
【知识点】角的运算；定义新运算；三角形的综合
【解析】【分析】（1）①求出△ACP中各个内角的度数，即可判断；②由∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”，推出△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，由此得出结论；
（2）先确定△ABC是“倍角三角形”时分当∠A=60°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=60°．当∠A=60°，∠BPC=100°时，满足条件，此时∠BCP=50°．当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条件，此时∠BCP=40°．当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条件，此时∠BCP=30°．分起来讨论即可。
29．【答案】（1）8
（2）解：∵B，M两点的“轴距长方形”为周长等于8的正方形，
∴正方形的边长为2，
∴点M的横坐标为﹣1+2=1或﹣1﹣2=﹣3，点M的纵坐标为1+2=3或1﹣2=﹣1，
∵点M为“等轴距点”，
∴点M（﹣3，3）或（1，﹣1）；
（3）解：当点N的坐标为（a，a）时，
∵A，N两点的“轴距长方形”的周长为12，
∴2（|a﹣2|+|a﹣2|）=12
∴a=﹣1或a=5，
∴点N的坐标为（﹣1，﹣1）或（5，5）；
当点N的坐标为（a，﹣a）时，
∵A，N两点的“轴距长方形”的周长为12，
∴2（|a﹣2|+|a+2|）=12
∴a=﹣3或a=3，
∴点N的坐标为（﹣3，﹣3）或（3，3）；
综上所述：点N的坐标为（﹣1，﹣1）或（5，5）或（﹣3，﹣3）或（3，3）
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】（1）∵A（2，2），B（﹣1，1），长方形ACBD为A，B两点的“轴距长方形”，
∴AD=BC=3，AC=BD=1，
∴“轴距长方形”ACBD的周长=2×（1+3）=8，
故答案为：8；
【分析】（1）由“轴距长方形”的定义可求解；
（2）由“轴距长方形”的定义可求点M的横坐标、纵坐标，由“等轴距点”的定义可求解；
（3）分两种情况讨论：由“轴距长方形”的定义和长方形的性质可求解。
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