2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章直线和圆的方程讲义（Word）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章直线和圆的方程讲义（Word） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 353.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-05 15:54:14 | ||
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文档简介
第4讲 直线和圆的方程 姓名
一、知识梳理
直线的五种方程
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
两条直线的平行和垂直
(1) 若，
①;②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①；②；
3. 点到直线的距离
(点,直线：).
4. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).
5.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种
若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
6.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;;
.其中.
7.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;;
;;
.
8.圆的切线方程
(1)已知圆．
①若已知切点在圆上，
则切线只有一条，其方程是
若在圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切 线．
(2)已知圆．
①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为.
9.小结论
（1）设三角形的三个顶点是A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3）,则⊿ABC的重心G为（）；
（2）两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是；
（3）过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2;
二、核心问题
抓住4个高考重点
重点1 直线的方程例1： 设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
重点2 两条直线的位置关系
例1：已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2的距离是________．
例2： 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．
重点3 圆的方程
例1： 设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
例2： 在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
例3： 圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－ B．－ C. D．2
例4：已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为______________．
重点4 直线与圆、圆与圆的位置关系
例1：过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．8 C．4 D．10
例2： 平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
例3： 已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点
A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．2
例4：已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点 若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
例5： 已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________．
突破4个高考难点
难点1 对称问题的探究
1.中心对称：（1）点与点关于点对称 （2）直线与直线关于点对称
2.轴对称： （1）点与点关于直线对称 （2）直线与直线关于直线对称
例1.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D )
A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－
难点2 过定点的直线系问题
例1：在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，a)、N2(0，b)，且ab＝3.
(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；
(2)已知点F2(1,0)，设直线l：y＝kx＋m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角为α、β，且 α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．
难点3 与直线、圆有关的最值问题
例1：设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程．
例2：已知实数满足方程
（1）求的最大值和最小值
（2）求的最大值和最小值
（3）求的最大值和最小值
例3：在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )
A. B. C．(6－2)π D.
难点4 有关圆的弦长、中点弦问题的求解
例1：已知点及圆.
（1）若直线过点且被圆截得的线段长为，求直线的方程；
（2）求过点的圆的弦的中点的轨迹方程.
与圆有关的交汇问题
与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题多以其他相关知识为依托，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想；或以圆为依托考查基本不等式求最值等．常见的有与集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不等式相交汇、与向量相交汇等.
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一、知识梳理
直线的五种方程
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
两条直线的平行和垂直
(1) 若，
①;②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①；②；
3. 点到直线的距离
(点,直线：).
4. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).
5.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种
若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
6.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;;
.其中.
7.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;;
;;
.
8.圆的切线方程
(1)已知圆．
①若已知切点在圆上，
则切线只有一条，其方程是
若在圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切 线．
(2)已知圆．
①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为.
9.小结论
（1）设三角形的三个顶点是A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3）,则⊿ABC的重心G为（）；
（2）两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是；
（3）过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2;
二、核心问题
抓住4个高考重点
重点1 直线的方程例1： 设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
重点2 两条直线的位置关系
例1：已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2的距离是________．
例2： 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．
重点3 圆的方程
例1： 设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
例2： 在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
例3： 圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－ B．－ C. D．2
例4：已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为______________．
重点4 直线与圆、圆与圆的位置关系
例1：过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．8 C．4 D．10
例2： 平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
例3： 已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点
A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．2
例4：已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点 若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
例5： 已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________．
突破4个高考难点
难点1 对称问题的探究
1.中心对称：（1）点与点关于点对称 （2）直线与直线关于点对称
2.轴对称： （1）点与点关于直线对称 （2）直线与直线关于直线对称
例1.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D )
A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－
难点2 过定点的直线系问题
例1：在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，a)、N2(0，b)，且ab＝3.
(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；
(2)已知点F2(1,0)，设直线l：y＝kx＋m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角为α、β，且 α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．
难点3 与直线、圆有关的最值问题
例1：设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程．
例2：已知实数满足方程
（1）求的最大值和最小值
（2）求的最大值和最小值
（3）求的最大值和最小值
例3：在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )
A. B. C．(6－2)π D.
难点4 有关圆的弦长、中点弦问题的求解
例1：已知点及圆.
（1）若直线过点且被圆截得的线段长为，求直线的方程；
（2）求过点的圆的弦的中点的轨迹方程.
与圆有关的交汇问题
与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题多以其他相关知识为依托，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想；或以圆为依托考查基本不等式求最值等．常见的有与集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不等式相交汇、与向量相交汇等.
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