2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册3.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质解答题专题训练（Word版，附答案解析）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《3.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》
解答题专题训练（附答案）
1．已知抛物线y＝ax2+3经过点A（﹣2，﹣13）．
（1）求a的值．
（2）若点P（m，﹣22）在此抛物线上，求点P的坐标．
2．已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求a的值；
（2）若点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．
3．抛物线y＝a（x﹣2）2经过点（1，﹣1）
（1）确定a的值；
（2）求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．
4．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+m﹣4（m为常数）与y轴的交点为C，M（3，0）与N（0，﹣2）分别是x轴、y轴上的点
（1）当m＝1时，求抛物线顶点坐标．
（2）若3≤x≤3+m时，函数y＝﹣x2+4x+m﹣4有最小值﹣7，求m的值．
（3）若抛物线与线段MN有公共点，直接写出m的取值范围是　 　．
5．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…An…将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…
（1）分别写出顶点M1，M2，M3的坐标；
（2）顶点M2019的坐标为（　 　，　 　）
6．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B（1，1）．
（1）求m的值；
（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．?
7．函数y＝ax2与直线y＝﹣2x﹣4交于点（2，b）．
（1）求a和b的值；
（2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴；画出此二次函数的图象；
（3）函数y＝ax2，当x取何值时，y随x的增大而增大？
… …
… …
8．如图，已知抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴的两个交点分别是A、B（A在B的左侧）．
（1）求A、B的坐标；
（2）利用函数图象，求当y＜5时，x的取值范围．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是图象上的两点，你能确定y1与y2的大小关系吗？为什么？
10．若二次函数y＝﹣x2图象平移后得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+4的图象．
（1）平移的规律是：先向　 　（填“左”或“右”）平移　 　个单位，再向　 　平移　 　个单位．
（2）在所给的坐标系内画出二次函数y＝﹣（x﹣2）2+4的示意图．
11．抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；
（2）若y1＜0，指出x的取值范围；
（3）若y1＞y2，指出x的取值范围．
12．二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于原点，点B1，B2在y轴的正半轴上，点A1，A2在二次函数y＝x2的图象上，若△A0B1A1，△B1A2B2都为等边三角形，求△B1A2B2的边长．
13．如图，点P（O，y0）为y轴正半轴上一定点，点A，B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若∠APO＝∠BPy，求证：直线AB经过一个定点．
14．抛物线y＝x2﹣6x+c的一段如图所示．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）它可以由抛物线y＝x2经过怎样的平移而得到？
（3）画出这条抛物线．
15．这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字，你能写出被墨迹污染的二次项系数吗？
由图象知，当x＝﹣1时，二次函数y＝x2+6x﹣5的值最小．
16．抛物线y＝x2﹣经过P（1，﹣3），B（4，0）两点，若D是抛物线上的一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标．
17．在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝（x+3）2，y＝（x﹣3）2﹣1的图象，并回答：
（1）写出这三个函数的两条相同的特征；
（2）函数y＝（x+3）2的图象可由抛物线y＝x2怎样平移得到？
（3）函数y＝x2的图象可由抛物线y＝（x﹣3）2﹣1怎样平移得到？
（4）函数y＝（x+3）2﹣1的图象可由抛物线y＝（x﹣3）2怎样平移得到？
18．如图，动直线y＝kx+2（k＞0）与y轴交于点F，与抛物线y＝相交于A，B两点，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接CF，DF，请你判断△CDF的形状，并说明理由．
19．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过点（1，5），（3，1）．
（1）求b，c的值；
（2）在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象（要求列表、描述、连线）
20．如图，过A（1，0）作x轴的垂线，交抛物线y＝﹣x2+x于点C．D（3，a）为抛物线上一点，点M为线段OD上的一个动点，MN∥AC交抛物线于点N．
（1）求直线OD的解析式；
（2）若四边形ACNM为平行四边形，求点M的坐标．
参考答案
1．解：（1）将点A（﹣2，﹣13）．代入y＝ax2+3，得﹣13＝4a+3，
解得a＝﹣4，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣4x2+3，
（2）∵点P（m，﹣22）在此抛物线上，
∴﹣22＝﹣4m2+3，
解得m＝±，
∴点P的坐标为（，﹣22）或（﹣，﹣22）．
2．解：（1）把点A（﹣2，﹣8）代入y＝ax2，
得4a＝﹣8，
∴a＝﹣2；
（2）把点P（m，﹣6）代入y＝﹣2x2中，
得﹣2m2＝﹣6，
∴m＝±，
∴P（，﹣6）．
3．解：（1）把（1，﹣1）代入y＝a（x﹣2）2得a （1﹣2）2＝﹣1
解得a＝﹣1
（2）抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2，
当y＝0时，﹣（x﹣2）2＝0，解得x＝2，
所以抛物线与x轴交点坐标为（2，0）；
当x＝0时，y＝﹣（x﹣2）2＝﹣4，
所以抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣4）．
4．解：（1）当m＝1时，y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标为（2，1）；
（2）由抛物线y＝﹣x2+4x+m﹣4（m为常数）可知：开口向上，函数的对称轴为直线x＝2，
∴当3≤x≤3+m时，y随x的增大而减小，
∴当x＝m+3时，y有最小值﹣7，
∴﹣（m+3）2+4（m+3）+m﹣4＝﹣7，
解得m1＝2，m2＝﹣3（舍去），
∴m＝2；
（3）∵M（3，0），N（0，﹣2），
∴直线MN的解析式为y＝x﹣2，
∵抛物线与线段MN有公共点，则方程﹣x2+4x+m﹣4＝x﹣2，即x2﹣x﹣m+2＝0中△≥0，且m﹣4≤﹣2，
∴（﹣）2﹣4（﹣m+2）≥0，
解得﹣≤m≤2，
故答案为﹣≤m≤2．
5．解：（1）∵抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…，An，…，
∴点An的坐标为（n，n2）．
设点Mn的坐标为（a，a），则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y＝（x﹣a）2+a，
∵点An（n，n2）在抛物线y＝（x﹣a）2+a上，
∴n2＝（n﹣a）2+a，解得：a＝2n﹣1或a＝0（舍去），
∴Mn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），
∴顶点M1的坐标为（1，1），顶点M2的坐标为（3，3），顶点M3的坐标为（5，5）；
（2）∵Mn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），
∴点M2019，两坐标为：2019×2﹣1＝4037，
∴M2019（4037，4037），
故答案为：4037，4037．
6．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2．
把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，
∴m＝±2．
∵点A在二象限，
∴m＝﹣2．
（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，
∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．
7．解：（1）把（2，b）代入y＝﹣2x﹣4得b＝﹣4﹣4＝﹣8，
把（2，﹣8）代入y＝ax2得4a＝﹣8，解得a＝﹣2；
（2）抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，
列表：
x … ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 …
y … ﹣4.5 ﹣2 ﹣0.5 0 ﹣0.5 ﹣2 ﹣4.5 …
描点，连线，如图：
（3）当x＜0时，y随x的增大而增大．
8．解：（1）当x2+2x﹣3＝0时，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（2）当y＝5时，x2+2x﹣3＝5，
整理得x2+2x﹣8＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2，
由函数图象可得，当﹣4＜x＜2时，y＜5．
9．解：能定y1与y2的大小关系．
因为抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣3，
所以当x＞﹣3时，y随x的增大而减小，
因为1＜2，
所以y1＞y2．
10．解：（1）原抛物线的顶点坐标为（0，0），新抛物线的顶点坐标为（2，4），说明新抛物线向右移动了2个单位，向上移动了4个单位．
（2）抓住顶点（2，4），与y轴（0，0），x轴的交点（4，0）（0，0）等关键点来画．
11．解：（1）∵二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b＜0，
∴b＜0，
∵二次函数与坐标轴的交点个数为2，
∴b2﹣4ac＞0，
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，结合图象可知，
∴a﹣b+c＞0；
（2）结合图象可知，
当1＜x＜4 时，y1＜0；
（3）结合图象可知，
当x＜1 或 x＞5时，y1＞y2．
12．解：设△A0B1A1的边长为a，△B1B2A2的边长为b，则点A1的坐标为（a，a），点A2的坐标为（b，a+b）．
∵点A1、A2在二次函数y＝x2的图象上，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴△B1A2B2的边长为4．
13．证明：设抛物线的表达式为y＝ax2①，
作点A关于y轴的对称轴M，
∵抛物线关于y轴对称，故点M在抛物线上，连接MP，
∵∠MPO＝∠OPA＝∠BPy，故M、P、B三点共线，
设点A（p，ap2），则点M（﹣p，ap2），
设直线PM的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线PM的表达式为y＝x+y0②，
联立①②并整理得：ax2+x﹣y0＝0，
则xB+xM＝﹣，
即xB﹣p＝﹣，则xB＝，
将xB的值代入y＝ax2得，y＝，故点B的坐标为（，），
由点B、A的坐标得，直线AB的表达式为y＝x﹣y0，
当x＝0时，y＝﹣y0，
故直线AB恒过点（0，﹣y0）．
14．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣6x+c，
∴对称轴为直线x＝﹣＝3；
（2）∵抛物线y＝x2﹣6x+c经过点（1，0），
∴1﹣6+c＝0，解得c＝5，
∴抛物线为y＝x2﹣6x+5，
∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴它可以由抛物线y＝x2向右平移3个单位，向下平移4个单位而得到；
（3）∵对称轴为直线x＝3，与x轴的交点为（1，0），（5，0），与y轴的交点为（0，5）
画出抛物线如图：
15．解：∵当x＝﹣1时，二次函数y＝x2+6x﹣5的值最小
∴对称轴为直线x＝﹣1
∴﹣＝﹣1
∵b＝6
∴a＝3
答：被墨迹污染的二次项系数为3．
16．解：如图，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO＝∠POB，得DP∥OB，
D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），
得D（﹣1，﹣3）；
当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G．
作PH⊥OB于点H，则OH＝1，PH＝3．
∵∠DPO＝∠POB，
∴PG＝OG．
设OG＝x，则PG＝x，HG＝x﹣1．
在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5．
∴点G（5，0）．
∴直线PG的解析式为y＝x﹣，
解方程组得或．
∵P（1，﹣3），
∴D（，﹣）．
∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（，﹣）．
17．解：在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝（x+3）2，y＝（x﹣3）2﹣1的图象如图：
（1）三个函数的两条相同的特征：①开口方向和大小相同；②都有最小值；
（2）函数y＝（x+3）2的图象可由抛物线y＝x2向左平移3个单位得到；
（3）函数y＝x2的图象可由抛物线y＝（x﹣3）2﹣1向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到；
（4）函数y＝（x+3）2﹣1的图象可由抛物线y＝（x﹣3）2怎样向左平移6个单位，向下平移1个单位得到．
18．解：x2+1＝kx+2，
x2﹣kx﹣1＝0，
x＝2k±2，
∴x1＝2k﹣2，x2＝2k+2，
∴OD＝2k+2，OC＝2﹣2k，
DC2＝（2k+2+2﹣2k）2＝16（k2+1），
CF2＝22+（2﹣2k）2＝8k2﹣8k+8，
DF2＝22+（2k+2）2＝8k2+8k+8，
∴DC2＝CF2+DF2，
∴∠CFD＝90°，
故△CFD是直角三角形．
19．解：（1）把（1，5），（3，1）代入函数表达式，得，
解得：；
（2）列表
x ﹣1 0 1 2 3
y 1 4 5 4 1
描点、连线作图如下：
．
20．解：（1）∵D（3，a）为抛物线上一点，
∴a＝﹣×32+×3＝1，
∴D（3，1）
设直线OD的解析式为y＝kx，代入D的坐标得：1＝3k，
∴k＝，
∴直线OD的解析式为y＝x；
（2）过A（1，0）作x轴的垂线，交抛物线y＝﹣x2+x于点C，
∴把x＝1代入得，y＝3，
∴C（1，3），
∴AC＝3，
∵点M为直线OD上的一个动点，
∴设M（m，m），
∴N（m，﹣m2+m），
∴MN＝|﹣m2+m﹣m|＝|﹣4m2+12m|，
∵四边形ACNM为平行四边形，
∴AC＝MN，
∴|﹣4m2+12m|＝3，
∵0＜m＜4，
∴﹣4m2+12m＞0，
∴﹣4m2+12m＝9，
∴m＝，
把x＝m＝代入y＝﹣x2+x得n＝
∴M（，）．