第2章一元二次方程 期中复习测评 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》期中复习测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．若关于x的方程（m+2）x+6x﹣9＝0是一元二次方程．则m的值为（　　）
A．m≠﹣2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2
2．若α，β是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　）
A．2021 B．2019 C．﹣2021 D．4042
3．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（　　）
A．32×12﹣32x﹣12x＝300 B．（32﹣x）（12﹣x）+x2＝300
C．（32﹣x）（12﹣x）＝300 D．2（32﹣x+12﹣x）＝300
4．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2021﹣m2+m的值为（　　）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
5．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+5＝0，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（　　）
A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11
6．定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则
B．如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根
C．如果一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解
D．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根
7．在今年举办的东京奥运会上，杨倩在女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是22500个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是（　　）
A．5000（1+x）2＝22500
B．5000（1﹣x）2＝22500
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
8．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．2
9．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣10x+n+1＝0的两根，则n的值为（　　）
A．15 B．24 C．15或24 D．22或24
10．已知M＝t﹣2，N＝t2﹣t（t为任意实数），则M，N的大小关系为（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式4﹣2a2+6a的值为 　 　．
12．一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，则本次比赛共有 　 　个参赛棋手．
13．已知关于x的一元二次方程mx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　．
14．三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形的周长为 　 　．
15．某菜农在2020年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏 　 　天．
16．在解方程x2+px+q＝0时，小明看错了p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝　 　，q＝　 　．
17．若直角三角形的两直角边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两根，则该直角三角形的面积是 　 　．
18．松花江商场一月份利润为100万元，三月份的利润为121万元，求这个商场二、三月利润的平均增长率 　 　．
19．若x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则（x12+x1﹣2）（x22+x2﹣2）的值为 　 　．
20．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1＝2，x2＝3，则一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个实数根为x3＝　 　，x4＝　 　．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）．
（1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值；
（2）是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
22．解下列一元二次方程：
（1）x2+2x﹣4＝0；
（2）（2x+3）2＝4（2x+3）；
（3）x2﹣5x﹣6＝0．
23．某景区在2020年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2022年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，该景区一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2020至2022年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
24．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝4m﹣3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2，若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．
25．先阅读，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴n＝3，m＝﹣3．
问题：
（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|＝0，请问△ABC是怎样形状的三角形？
（3）根据以上的方法是说明代数式：2x2+8x+y2﹣8y+25的值一定是一个正数．
26．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：根据题意得：m2﹣2＝2，且m+2≠0，
∴m＝2，
故选：D．
2．解：∵α，β是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021，且α+β＝﹣2，
∴α2+3α+β＝α2+2α+α+β＝2021﹣2＝2019．
故选：B．
3．解：∵道路的宽为x米，
∴铺设草坪的面积等于长为（32﹣x）米、宽（12﹣x）米的矩形面积．
∵草坪的面积为300平方米，
∴（32﹣x）（12﹣x）＝300．
故选：C．
4．解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2，
所以m2﹣m＝2，
所以2021﹣m2+m＝2021﹣（m2﹣m）＝2021﹣2＝2019．
故选：B．
5．解：方程x2﹣8x+5＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣5，
配方得：x2﹣8x+16＝11，即（x﹣4）2＝11．
故选：D．
6．解：x2+2x+c＝0的倒方程是cx2+2x+1＝0，将x＝2代入，，故A正确；
∵ac＜0，∴b2﹣4ac＞0，∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故B正确；
∵ax2﹣2x+c＝0无解，∴4﹣ac＜0，它的倒方程的根的判别式也为4﹣ac＜0，∴它的倒方程也无解，故C正确；
若c＝0，则它的倒方程为一元一次方程，只有一个实数根，故D错误
故选：D．
7．解：根据题意可得：
7月25日的销量为：5000（1+x），
7月26日的销量为：5000（1+x）（1+x）＝5000（1+x）2，
故5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500．
故选：D．
8．解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，
∵x2＝2x1，
∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，
∴a+b （﹣）+c＝0，
∴﹣+c＝0，
∴9ac＝2b2，
∴4b﹣9ac＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，
∵﹣2＜0，
∴4b﹣9ac的最大值是2，
故选：D．
9．解：当2为底边长时，则a＝b，a+b＝10，
∴a＝b＝5．
∵5，5，2能围成三角形，
∴n+1＝5×5，
解得：n＝24；
当2为腰长时，a、b中有一个为2，则另一个为8，
∵8，2，2不能围成三角形，
∴此种情况不存在．
故选：B．
10．解：∵N﹣M＝（t2﹣t）﹣（t﹣2）＝t2﹣2t+2＝（t﹣1）2+1＞0，
∴M＜N，
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，
∴a2﹣3a﹣5＝0，
∴a2﹣3a＝5，
∴4﹣2a2+6a＝4﹣2（a2﹣3a）＝4﹣2×5＝﹣6．
故答案为﹣6．
12．解：设本次比赛共有x个参赛棋手，
依题意得：x（x﹣1）＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
13．解：∵关于x的一元二次方程mx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣且m≠0．
故答案是：m＞﹣且m≠0．
14．解：解方程x2﹣8x+15＝0得：x＝3或5，
当第三边为3时，2+3＝5，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
当第三边为5时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+5+5＝12，
故答案为：12．
15．解：设需要将采摘的黄瓜储藏x天出售，
（6+0.5x）（400﹣10x）﹣40x﹣1600＝1175，
解得，x1＝5，x2＝15（舍去），
即若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏5天．
故答案是：5．
16．解：由一元二次方程的根与系数的关系可得4﹣2＝﹣p，1×（﹣3）＝q，
解得p＝﹣2，q＝﹣3．
故答案为：﹣2，﹣3．
17．解：设x1、x2是方程x2﹣14x+48＝0的两根，
∴x1x2＝48，
∵直角三角形的两直角边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两根，
∴直角三角形的面积为：＝＝24，
故答案为24．
18．解：设商场的二、三月份的总收入平均增长率为x，
由题意得：100（1+x）2＝121，
解之得：x＝0.1或﹣2.2；
考虑实际应用，﹣2.2不合题意舍去；
∴x＝0.1＝10%．
答：这个商场的二、三月份的总收入平均增长率为10%，
故答案为：10%．
19．解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，
∴x12+x1﹣1＝0，x22+x2﹣1＝0，
即x12+x1＝1，x22+x2＝1，
∴原式＝（1﹣2）×（1﹣2）
＝1．
故答案为1．
20．解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1＝2，x2＝3，
∴﹣＝2+3＝5，＝2×3＝6，
∴﹣＝，＝，
而+＝＝﹣，＝＝，
∴一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个实数根为x3＝，x4＝，
故答案为，．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）∵方程的两根为菱形相邻两边长，
∴此方程有两个相等的的实数根，
∴Δ＝0，
∴[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+k+3）＝0，
4（k2+2k+1）﹣4k2﹣4k﹣12＝0，
4k2+8k+4﹣4k2﹣4k﹣12＝0，
4k﹣8＝0，
k＝2，
（2）不存在，
∵该方程的两解是菱形的两对角线长，
∴a+b＝2（k+1），ab＝k2+k+3，
设菱形的两对角线长a，b．
∵菱形的两对角线互相垂直平分，
∴由勾股定理得，+＝4，
+＝4，
b2+a2＝16，
∴b2+2ab+a2﹣2ab＝16，
（a+b）2﹣2ab＝16，
[2（k+1）]2﹣2（k2+k+3）＝16，
解得k＝，
∵Δ＝4k﹣8，
∴4k﹣8≥0．
∴k≥2，
∵k＝＜2，
∴不存在满足条件的常数k．
22．解：（1）x2+2x﹣4＝0，
x2+2x＝4，
x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5，
∴x+1＝，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）（2x+3）2＝4（2x+3），
（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，
（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，
∴2x+3＝0或2x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝；
（3）x2﹣5x﹣6＝0，
（x+1）（x﹣6）＝0，
∴x+1＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝6．
23．解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有
2（1+x）2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，依题意得：
（y﹣10）[120﹣（y﹣15）]﹣168＝600，
解得y1＝18，y2＝22，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝18．
答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天利润600元．
24．解：（1）方程化为x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0，
根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）＝﹣8m+24≥0，
解得m≤3；
（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2m﹣6，x1x2＝m2﹣4m+3，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，
∴x1x2﹣（x1+x2）2+2x1x2＝﹣7，
即3x1x2﹣（x1+x2）2＝﹣7，
∴3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2＝﹣7，
整理得m2﹣12m+20＝0，解得m1＝2，m2＝10，
∵m≤3，
∴m＝10应舍去，
∴m＝2．
25．解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4＝x2﹣2xy+y2+y2+4y+4＝（x﹣y）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+2＝0，
∴x＝y＝﹣2，
∴xy＝（﹣2）﹣2＝．
（2）a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|＝（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|＝0，
∴a＝b＝c＝3，
∴△ABC是等边三角形．
（3）2x2+8x+y2﹣8y+25＝2（x2+4x+4）+y2﹣8y+16+1＝2（x+2）2+（y﹣4）2+1，
∴2（x+2）2+（y﹣4）2+1≥1，
∴原式的值一定为正数．
26．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意，得：（6﹣x）×2x＝8，
化简，得：x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，
依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，
化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，
解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：经过秒后，P，Q两点间距离是cm．