第26章解直角三角形达标测试卷2021-2022学年 九年级数学冀教版上册（Word版含答案）

第二十六章达标测试卷
一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)
1.cos 45°的值为(　　)
A. B. C. D．1
2．如图，点A(t，4)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sin α＝，则t的值是(　　)
A．4 B．6 C．2 D．2
(第2题)　　 (第3题)
3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，则图中线段的比不能表示sin A的式子为(　　)
A. B. C. D.
4．如图，已知点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D停止，则在这个过程中，从点A观测点C的俯角将(　　)
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D先减小后增大
(第4题)　 　 (第5题)　 　 (第6题)
5．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为(　　)
A. B. C. D.
6．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24 m，那么旗杆AB的高度是(　　)
A．12 m B．8 m C．24 m D．24 m
7．若计算器的四个键如图所示，在角的度量单位为“度”的情况下，用计算器求sin 47°，正确的按键顺序是(　　)
(第7题)
A．①②③④ B．②④①③
C．①④②③ D．②①④③
8．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10 m，坝高12 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为(　　)
A．26 m B．28 m C．30 m D．46 m
(第8题)　　 (第9题)
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，若sin∠CAM＝，则tan B＝(　　)
A. B. C. D．2
10．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90 m，那么该建筑物的高度BC约为(　　)
A．204 m B．206 m
C．208 m D．210 m
(第10题)　 　　 (第11题)　　　 (第12题)
11．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为(　　)
A．2 m B．2 m
C．(2 －2)m D．(2 －2)m
12．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan ∠OAB等于(　　)
A. B.
C. D.
13．如图，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为10 海里，渔船将险情报告发给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，30分钟后，救援船在海岛C处恰好与渔船相遇，那么救援船航行的速度为(　　)
A．10 海里/时 B．15海里/时
C．5 海里/时 D．30海里/时
(第13题)　　 (第14题)
14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC的长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是(　　)
A. B. C. D.
15．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝，则下列结论：①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝2 cm.
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(第15题)　　 　 (第16题)
16．“五一”期间，小明和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．如图，他从点D处走到点A处，然后沿着斜坡AB从点A处走了8 m到达点B处，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点测得观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到点C处，测得观景塔顶端的仰角为30°，B，C之间的水平距离BC＝10 m，则观景塔DE的高度约为(精确到1 m，≈1.41，≈1.73)(　　)
A．14 m B．15 m
C．19 m D．20 m
二、填空题(17、18题每题3分，19题每空2分，共12分)
17．在△ABC中，若＋(1－tan B)2＝0，则∠C的度数是________．
18.如图，八个完全相同的小长方形恰好能拼成一个边长为4的正方形，连接小长方形的顶点得△ABC，则tan ∠ACB＝________．
(第18题)　　 　 (第19题)
19．如图①，在边长为1的正方形网格中，连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠CPB的值．嘉琪同学是这样解决的：连接格点A，D，可得△ADC为等腰直角三角形，则AD⊥CD，又∠CPB＝∠APD，那么∠CPB就变换到Rt△ADP中．由BD∥AC，可得DPPC＝________，则tan∠CPB的值为________．
【探索延伸】如图②，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，则sin∠APD的值为________．
三、解答题(20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，26题12分，共66分)
20．计算：
(1)(－2)3＋－2sin 30°＋(2 020－π)0；
(2)sin2 45°－cos 60°－＋2sin2 60°·tan 60°.
21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．
22．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(第22题)
(1)若∠A＝60°，求BC的长；
(2)若sin A＝，求AD的长．
23．如图，某山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋)m，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为 m/s.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？
(第23题)
24．如图，在△ABC中，tan (∠C－∠B)＝，AC＝，AB＝5，求BC的长．
(第24题)
25．某校为检测师生体温，安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面2.2 m，为了解自己的有效测温区间，身高1.6 m的小聪做了如下试验：当他在地面N处时，测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；当他在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．(额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到0.1 m，sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
(第25题)
26．在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝.
(1)如图①，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M，N，若点B恰好是线段MN的中点，求tan∠BAM的值；
(2)如图②，P是边BC延长线上一点，∠APB＝∠BAC，求tan∠PAC的值．
(第26题)
答案
一、1.B　2.D　3.C　4.A　5.B　6.B
7．D　8.D　9.C　10.C　11.B　12.B
13．D
14．B　【点拨】设BC＝x.在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝BC＝x.
根据题意，得AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x.
如图，过点E作EM⊥AD于点M，易知AM＝AD＝x.
在Rt△AEM中，cos ∠EAD＝＝＝.
(第14题)
15．C
16．C　【点拨】过点B作BF⊥DE于F，过点A作AH⊥BF于H，易知DF＝AH.
∵∠EBF＝45°，AB⊥BE，
∴∠ABH＝45°.
∴DF＝AH＝8×＝4 ( m)．
在Rt△ECF中，tan∠ECF＝，
∴CF＝EF.
在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，
∴BF＝EF.
∵CF－BF＝BC，∴EF－EF＝10 m，
解得EF＝(5 ＋5) m，
∴DE＝EF＋DF＝5 ＋5＋4 ≈19(m)．
二、17.75°
18.　【点拨】由正方形的边长为4，易得小长方形的长为2，宽为1.如图，延长CA，交正方形一边于点D，连接DB，易得BD⊥AC，DB＝，DC＝3 ，∴tan∠ACB＝＝.
(第18题)
19．1?2；3；
【点拨】如图，连接CE，DE，过D作DM⊥CE于点M.
(第19题)
∵BC∥AE，BC＝AE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴CE∥AB，∴∠APD＝∠ECD.
∵△ECD的面积＝3×4－×1×4－×2×3－×1×3＝，
∴CE·DM＝.
易得CE＝，∴DM＝，
易得CD＝，
∴sin ∠APD＝sin ∠ECD＝＝.
三、20.解：(1)原式＝－8＋4－2×＋1＝－8＋4－1＋1＝－4.
(2)原式＝()2－－＋2×()2×＝.
21．解：由2a＝3b，可得＝.
设a＝3k(k＞0)，则b＝2k，
由勾股定理，得c＝＝＝k，
∴sin B＝＝＝，
cos B＝＝＝，
tan B＝＝＝.
22．解：(1)在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tan A＝，
∴∠E＝30°，BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6 .
在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝4，
∴CE＝2CD＝8.
∴BC＝BE－CE＝6 －8.
(2)在Rt△ABE中，sin A＝＝，
∴可设BE＝4x(x＞0)，则AE＝5x.
由勾股定理可得AB＝3x，
∴3x＝6，解得x＝2.
∴BE＝8，AE＝10.
易得tan E＝＝，∴＝，
解得DE＝.
∴AD＝AE－DE＝10－＝.
23.解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x m，小明的行走速度是a m/s.
∵∠A＝45°，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝x m，AC＝x m.
在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，
∴BC＝＝＝2x(m)．
∵小军的行走速度为 m/s，小明与小军同时到达山顶C处，
∴＝，解得a＝1.
答：小明的行走速度是1 m/s.
24．解：如图，在BC上取一点E，使AE＝AC＝，连接AE，过点E作EF⊥AB于点F，过点A作AD⊥CE于点D，
则∠AEC＝∠C，DE＝CD.
(第24题)
∵∠EAF＝∠AEC－∠B，
∴∠EAF＝∠C－∠B.
∵tan(∠C－∠B)＝，
∴tan∠EAF＝，即＝，
设EF＝6x，则AF＝17x，由勾股定理得AF2＋EF2＝AE2，
∴(17x)2＋(6x)2＝()2，
∴x＝(负值舍去)，
∴EF＝，AF＝，
∴BF＝AB－AF＝5－＝，
∴BE＝＝＝2.
∵S△ABE＝AB·EF＝BE·AD，
∴AD＝＝＝3，
∴CD＝DE＝＝2，
∴BC＝BE＋DE＋CD＝2＋2＋2＝6.
25.解：如图，连接BC并延长BC交AD于点E，易知DE＝1.6 m，则AE＝AD－DE＝0.6 m.
在Rt△ABE中，BE＝≈≈1.88 (m)，
在Rt△ACE中，CE＝≈≈0.35 (m)．
易知四边形MNBC是矩形，
∴MN＝BC＝BE－CE≈1.88－0.35≈1.5 (m)．
答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为1.5 m.
(第25题)
26．解：(1)∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠M＝∠N＝90°，
∴∠MAB＋∠ABM＝90°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠NBC＋∠ABM＝90°，
∴∠MAB＝∠NBC，
∴△AMB∽△BNC，
∴＝＝tan∠BAC＝.
∵点B是线段MN的中点，
∴BM＝BN，
∴在Rt△AMB中，tan∠BAM＝＝＝.
(2)过点C作CD⊥AC交AP于点D，
过点D作DE⊥BP于点E.
∵tan∠BAC＝，∠APB＝∠BAC，
∴tan∠BAC＝＝，
tan∠APB＝＝.
设BC＝x，则AB＝2x，BP＝4x，
∴CP＝BP－BC＝4x－x＝3x.
易得∠BAC＝∠ECD，
∴∠APB＝∠ECD.
∵DE⊥BP，
∴CE＝EP＝CP＝x.
∵∠BAC＝∠ECD，∠B＝∠CED＝90°，
∴△ABC∽△CED，
∴＝＝＝，
∴在Rt△ACD中，tan∠PAC＝＝.
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