2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册3.5确定二次函数表达式同步达标测评（Word版，附答案解析）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《3.5确定二次函数表达式》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（　　）
A．y＝4（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣2（x﹣2）2+3
C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣2）2+3
2．二次函数的图象经过点（﹣3，0）和（0，3），对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（　　）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
3．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（　　）
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
4．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（　　）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
5．若|m+3|+＝0，点P（m，n）关于x轴的对称点P′为二次函数图象顶点，则二次函数的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2
C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2
6．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（　　）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1
7．抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与y＝x2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣（x+3）2+5 B．y＝﹣（x﹣3）2﹣5
C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2﹣5
8．若抛物线y＝x2+2x+c的顶点在x轴上，则c的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．4
9．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（　　）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
10．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（其中a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝8；当x＝8时，y＝1，（　　）
A．若h＝4，则a＞0 B．若h＝5，则a＜0
C．若h＝6，则a＞0 D．若h＝7，则a＜0
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为　 　．
12．若某抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c，已知a，b为正整数，c为整数，b＞2a，且当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，则抛物线的函数解析式为　 　．
13．抛物线y＝ax2+bx经过点A（4，0），该抛物线顶点在直线y＝﹣x+4上，则该抛物线解析式为　 　．
14．如图所示，抛物线y＝x2+2x﹣3顶点为Q，交x轴于点E、F两点（F在E的右侧），T是x正半轴上一点，以T为中心作抛物线y＝x2+2x﹣3的中心对称图形，交x轴于点K、L两点（L在K的右侧），已知∠FQL＝45°，则新抛物线的解析式为　 　．
15．若抛物线y＝ax2（a≠0）经过A（1，3），则该抛物线的解析式为　 　．
16．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x＝1，y＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A，C分别在x轴和y轴上，抛物线y＝（x﹣a）2+b经过B，C两点，顶点D在正方形内部．
若点D有一条特征线是y＝x+2，则此抛物线的表达式是　 　．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．
18．设二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）（a、b是常数，a≠0）．
（1）该二次函数图象是否经过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4）、B（0，﹣1），求该二次函数的表达式．
19．设二次函数y＝ax2+bx+a﹣5（a、b为常数，a≠0），且2a+b＝3．
（1）若该二次函数的图象经过点（﹣1，4），求该二次函数的解析式．
（2）无论a取何常数，这个二次函数的图象始终经过一个定点，求出这个定点坐标．
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）都在二次函数的图象上，若x0＜1，且m＞n，求x0的取值范围（用含a的代数式表示）．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣3与x、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B．
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）垂直于y轴的直线l与直线AB交于点M（x1，y1），与抛物线相交于点P（x2，y2）、Q（x3，y3）．若x1＜x2＜x3，结合函数图象，求x1+x2+x3的取值范围．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：∵抛物线的顶点为（2，3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
∵经过点（3，1），
∴代入得：1＝a（3﹣2）2+3，
解得：a＝﹣2，
即y＝﹣2（x﹣2）2+3．
故选：B．
2．解：点（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把（0，3）代入得3＝a 3 （﹣1），解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3．
故选：D．
3．解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a＝﹣，故C正确；
若h＝7，则a＝﹣，故D错误；
故选：C．
4．解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
5．解：∵|m+3|+＝0，
∴m＝﹣3，n＝2，即P（﹣3，2），
关于x轴对称点P′的坐标为（﹣3，﹣2），
则以P′为顶点的二次函数解析式为y＝（x+3）2﹣2，
故选：B．
6．解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．
故选：D．
7．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2﹣5，
因为所求抛物线与y＝x2的图象开口大小相同，
而y的最大值为﹣5，
所以a＝﹣，
所以这条抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．
故选：B．
8．解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝0，
将a＝1，b＝2，c＝c代入，
得4﹣4c＝0，
所以c＝1．
故选：A．
9．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
10．解：当x＝1时，y＝8；当x＝8时，y＝1；代入函数式得：，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝﹣7，
整理得：a（9﹣2h）＝﹣1，
若h＝4，则a＝﹣1，故A错误；
若h＝5，则a＝1，故B错误；
若h＝6，则a＝，故C正确；
若h＝7，则a＝，故D错误；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：图象顶点坐标为（0，﹣2），
可以设函数解析式是y＝ax2﹣2，
又∵形状与抛物线y＝﹣3x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝3，
∴这个函数解析式是：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2，
故答案为：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．
12．解：抛物线y＝ax2+bx+c中，a，b为正整数，c为整数，b＞2a，
∴抛物线开口向上，对称轴直线x＜﹣1，
∵当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，
∴当x＝﹣1时y＝﹣4，x＝1时y＝2，
∴，
②﹣①得2b＝6，
∴b＝3，
∵a，b为正整数，b＞2a，
∴a＝1，
∴1+3+c＝2，解得c＝﹣2，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2+3x﹣2，
故答案为y＝x2+3x﹣2．
13．解：根据题意，画图如下：
∵A（4，0），
∴OA＝4，
由抛物线对称性可知 OH＝HA＝2，
∴D点横坐标为2，
∵点D在直线y＝﹣x+4上，
∴y＝﹣2+4＝2，
∴D（2，2），
∵y＝ax2+bx过点A（4，0），D（2，2），
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+2x．
故答案为：y＝﹣x2+2x．
14．解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴Q（﹣1，﹣4），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴E（﹣3，0），F（1，0），
作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，如图，
∵∠FQL＝45°，
∴△QFM为等腰直角三角形，
∴FQ＝FM，
∵∠PFQ+∠PQF＝90°，∠PFQ+∠MFN＝90°，
∴∠PQF＝∠MFN，
∴△PQF≌△NFM（AAS），
∴PQ＝FN＝4，MN＝PF＝2，
∴M（5，﹣2），
设直线QL的解析式为y＝kx+b，
把Q（﹣1，﹣4），M（5，﹣2）代入得，解得，
∴直线QL的解析式为y＝x﹣，
当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝11，
∴L（11，0），
∵点E（﹣3，0）和点L（11，0）关于T对称，
∴T点坐标为（4，0），
∵点F与点K关于T点对称，
∴K（7，0），
∵新抛物线与抛物线y＝x2+2x﹣3关于T对称，
∴新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣7）（x﹣11），
即y＝﹣x2+18x﹣77．
故答案为y＝﹣x2+18x﹣77．
15．解：把A（1，3）代入y＝ax2（a≠0）中，
得3＝a×12，
解得a＝3，
所以该抛物线的解析式为y＝3x2．
故答案为：y＝3x2．
16．解：由题意可知D（a，b）在y＝x+2上，
∴b＝a+2，
∴正方形的边长为2a，
∴C（0，2a），
将点C代入y＝（x﹣a）2+b得到，
（﹣a）2+a+2＝2a，
∴a＝4
∴y＝（x﹣4）2+6，
故答案为y＝（x﹣4）2+6．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
∴函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x﹣，
点M坐标为（2，﹣3）；
（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），
因为AB＝5+1＝6，
且△ABM、△ABC的高分别是点M、点C纵坐标的绝对值，
所以S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC＝+＝36．
18．解：（1）∵当x＝1时，y＝a+b﹣（a+b）＝0，
∴该二次函数经过定点（1，0）；
（2）把A（﹣1，4）、B（0，﹣1）代入二次函数的解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝3x2﹣2x﹣5．
19．解：（1）∵函数y＝ax2+bx+a﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a+b＝3，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为y＝3x2﹣3x﹣2；
（2）∵2a+b＝3，
∴二次函数y＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，
整理得，y＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2
∴当x＝1时，y＝﹣2，
∴这个二次函数的图象始终经过一个定点，这个定点坐标为（1，﹣2）；
（3）∵y＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，
∴对称轴为x＝﹣，
∵x0＜1，且m＞n，
∴当a＞0时，对称轴x＝﹣＞1﹣，
解得：x0＜1﹣，
当a＜0时，对称轴x＝﹣＜1﹣，
解得：x0＞1﹣（不符合题意，故x0不存在）
故x0的取值范围为：x0＜1﹣．
20．解：（1）∵直线y＝x﹣3与x、y轴分别交于点A、B，
∴A（3，0），B（0，﹣3），
将A、B坐标分别代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，
解得，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）；
（2）∵垂直于y轴的直线l与直线AB交于点M，与抛物线相交于点P、Q，
∴点P、Q关于抛物线的对称轴x＝1对称，
∴x2+x3＝2，
又∵x1＜x2＜x3，
∴点M、P、Q都在点B的下方，且M在y轴左侧，点P、Q在y轴右侧，
∴直线l在直线y＝﹣4和直线y＝﹣3之间，
令y＝x﹣3＝﹣4，得x＝﹣1，
∵﹣1＜x1＜0，
∴1＜x1+x2+x3＜2．