第4章图形的相似 同步达标测评 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如果ab＝cd，且abcd≠0，则下列比例式不正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC．则BN：NQ：QM等于（　　）
A．6：3：2 B．2：1：1 C．5：3：2 D．1：1：1
3．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若AD：DB＝3：1，AE＝6，则AC等于（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．下列说法正确的是（　　）
A．菱形都是相似图形 B．各边对应成比例的多边形是相似多边形
C．等边三角形都是相似三角形 D．矩形都是相似图形
5．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．10
6．如图，点P在△ABC的边AC上，添加如下一个条件后，仍不能得到△ABP∽△ACB的是（　　）
A．＝ B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．∠ABP＝∠C
7．在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE＝45°，点F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G、H．∠CBE＝∠BAD，有下列结论：①FD＝FE；②AH＝2CD；③BC AD＝AE2；④S△BEC＝S△ADF．其中正确的有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在平行四边形ABCD中，点F在CD边上，CF：DF＝1：2，则S△CEF：S△AEB等于（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
9．如图，为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组做了如下的探索：把一面很小的镜子水平放置在离树底（B）7.8米的点E处，然后观察者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝3.2米，观察者目高CD＝1.6米，则树（AB）的高度约为（　　）米．
A．15.6 B．6.4 C．3.4 D．3.9
10．如图，已知E′（2，﹣1），F′（，），以原点O为位似中心，按比例尺1：2把△E′F′O扩大，则E′点对应点E的坐标为（　　）
A．（﹣4，2） B．（4，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，4）
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．若＝＝＝2，且b+d+f＝4，则a+c+e＝　 　．
12．如图，AD∥BE∥FC，他们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，如果＝，DF＝7.5，那么EF的长为　 　．
13．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是　 　cm2．
14．如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：　 　，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
15．如图，CE是 ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：
①四边形ACBE是菱形；
②∠ACD＝∠BAE；
③AF：BE＝2：3；
④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．
其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号）
16．在同一时刻，身高1.6m的小强的影长是1.2m，旗杆的影长是15m，则旗杆高为　 　．
17．如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为　 　．
18．若两个相似三角形的周长之比为2：3，较小三角形的面积为8cm2，则较大三角形面积是　 　cm2．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC＝，AD＝1，求DB的长．
20．如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，CD⊥AC交AB于点D．
（1）尺规作图：作线段AD的中点E（保留作图痕迹，不要求写作法），并连接CE；
（2）已知AD＝2，P是线段BC上一点，若以P，D，B为顶点的三角形与△BCE相似，DP的长为多少？
21．如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作CF⊥BD于F，过点A作AE∥CF交BC延长线于E，交BD于M，CH⊥AE于H．
（1）求证：AG＝CF；
（2）若M是GH中点，AG＝8，求BD和CE的长．
22．如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）如AF＝3，AG＝5，求△ADE与△ABC的周长之比．
23．在 ABCD中，点E在BC边上，点F在BC边的延长线上，且BE＝CF，连接AF，分别交DE、CD于M，N．
（1）求证：MA＝MF；
（2）若∠B＝∠AME，求证：ND ME＝AD MN．
24．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC．
（1）求证：AC＝AD+CE；
（2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q．若点P与A、B两点不重合，求的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：A、＝，得ad＝bc，故A符合题意；
B、＝，得ab＝cd，故B不符合题意；
C、＝，得ab＝cd，故C不符合题意；
D、＝，得ab＝cd，故D不符合题意．
故选：A．
2．解：连接MF，如图，
∵M是AC的中点，EF＝FC，
∴MF为△CEA的中位线，
∴AE＝2MF，AE∥MF，
∵NE∥MF，
∴＝＝1，＝＝，
∴BN＝NM，MF＝2NE，
设BN＝a，NE＝b，则NM＝a，MF＝2b，AE＝4b，
∴AN＝3b，
∵AN∥MF，
∴＝＝＝，
∴NQ＝a，QM＝a，
∴BN：NQ：QM＝a：a：a＝5：3：2．
故选：C．
3．解：∵AD：DB＝3：1，
∴AD：AB＝3：4，
∵DE∥BC，
∴，
∴AC＝8，
故选：D．
4．解：A、菱形对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定是相似图形，故本选项错误．
B、各边对应成比例的多边形对应角不一定相等（如菱形），所以不一定是相似多边形，故本选项错误；
C、等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确；
D、矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；
故选：C．
5．解：设这个多边形的最短边长为x，
∵两个多边形相似，
∴＝，
解得，x＝8，
故选：B．
6．解：A、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确；
B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误．
故选：A．
7．解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB＝∠AEB＝∠CEB＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴FD＝AB，FE＝AB，
∴FD＝FE，①正确；
∵∠CBE＝∠BAD，∠CBE+∠C＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠C，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BC＝2CD，∠BAD＝∠CAD＝∠CBE，
在△AEH和△BEC中，，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH＝BC＝2CD，②正确；
∵∠BAD＝∠CBE，∠ADB＝∠CEB，
∴△ABD∽△BCE，
∴＝，即BC AD＝AB BE，
∵∠AEB＝90°，AE＝BE，
∴AB＝BE
BC AD＝BE BE，
∴BC AD＝AE2；③正确；
设AE＝a，则AB＝a，
∴CE＝a﹣a，
∴＝，
即，
∵AF＝AB，
∴，
∴S△BEC≠S△ADF，故④错误，
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△CEF∽△AEB，
∴CE：AE＝CF：AB，
∵CF：DF＝1：2，
∴CF：CD＝CF：AB＝1：3，
∴S△CEF：S△ABE＝1：9，
故选：D．
9．解：∵∠AEB＝∠CED，
∴Rt△ABE∽Rt△CDE，
∴＝，即＝，
∴AB＝3.9（m）．
故选：D．
10．解：∵E′（2，﹣1），以原点O为位似中心，按比例尺1：2把△E′F′O扩大，
∴E′点对应点E的坐标为（2×（﹣2），﹣1×（﹣2）），即（﹣4，2），
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：＝＝＝2，
由等比性质，得，
a+c+e＝8．
故答案为：8．
12．解：∵AD∥BE∥FC，
∴＝＝，
∵DF＝7.5，
∴＝，
解得：EF＝4.5，
故答案为：4.5
13．解：两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，
则相似比是3：4.5＝2：3，
面积的比等于相似比的平方，即面积的比是4：9，
因而可以设较小的多边形的面积是4x（cm2），
则较大的是9x（cm2），
根据面积的和是130（cm2），
得到4x+9x＝130，
解得：x＝10，
则较小的多边形的面积是40cm2．
故答案为：40．
14．解：DF∥AC，或∠BFD＝∠A．
理由：∵∠A＝∠A，＝＝，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC，或∠BFD＝∠A．
15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵EC垂直平分AB，
∴OA＝OB＝AB＝DC，CD⊥CE，
∵OA∥DC，
∴＝＝＝，
∴AE＝AD，OE＝OC，
∵OA＝OB，OE＝OC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵AB⊥EC，
∴四边形ACBE是菱形，故①正确，
∵∠DCE＝90°，DA＝AE，
∴AC＝AD＝AE，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BAE，故②正确，
∵OA∥CD，
∴＝＝，
∴＝＝，故③错误，
设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积＝△AOE的面积＝3a，
∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a
∴S四边形AFOE：S△COD＝2：3．故④正确，
故答案为①②④．
16．解：根据题意可得：设旗杆高为x．
根据在同一时刻身高与影长成比例可得：＝，
故x＝20m．
故答案为20．
17．解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4），
∴OC＝AB＝4，OA＝2，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（﹣1，2），
∴位似比为1：2，
∴OP：AP＝OD：AB＝1：2，
设OP＝x，则，
解得：x＝2，
∴OP＝2，
即点P的坐标为：（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
18．解：∵两个相似三角形的周长之比为2：3，
∴两个相似三角形的相似比是2：3，
∴两个相似三角形的面积比是4：9，
又较小三角形的面积为8cm2，
∴较大三角形的面积为18cm2，
故答案为：18．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．解：∵∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴＝．
∵AC＝，AD＝1，
∴＝，
∴AB＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝3﹣1＝2．
20．解：（1）如图点E即为所求；
（2）∵E是边AD的中点，
∴CE＝AE＝ED，
∵∠A＝30°，
∴CD＝AE＝ED，∠ADC＝60°
∴CD＝AE＝ED，∠ECD＝60°
而∠B＝30°，
∴∠BCD＝∠ADC﹣∠B＝60°﹣30°＝30°．
∴∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝60°+30°＝90°
∴
方法一
①过D作DP⊥BC交BC于P，
在△BPD和△BCE中，
，
∴△BPD∽△BCE（AA）．
∴，即，
∴．
②过D作DP'⊥AB交AB于P'，
在△BP'D和△BEC中，
，
∴△BP'D∽△BEC（AA）．
∴，即，
∴DP'＝1．
综合①②若以P，D，B为顶点的三角形与△BCE相似，DP的长为或1．
方法二
①过D作DP⊥BC交BC于P，
则DP，
②过D作DP'⊥AB交AB于P'，
则，
∴DP'＝1．
综合①②若以P，D，B为顶点的三角形与△BCE相似，DP的长为或1．
21．（1）证明：∵CF⊥BD，AE∥CF，
∴∠BFC＝∠AGD＝90°，
∵在矩形ABCD中，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠1＝∠2，
在△AGD和△CFB中，
，
∴△AGD≌△CFB（AAS），
∴AG＝CF；
（2）解：由题意可得出：∠CFG＝∠FGH＝∠CHG＝90°，
∴四边形GFCH是矩形，
∴FC＝GH，CH＝FG，
∵CH∥BD，
∴△CHM∽△DGM，
∵GM＝MH，
∴DM＝CM，DG＝CH，
∵△AGD≌△CFB，
∴DG＝BF，
∴BF＝FG＝DG，
∵CH∥BG，
∴＝＝，
∴GH＝HE，
∵∠1＝∠2，∠AGD＝∠BCD，
∴△AGD∽△DCB，
∴＝，
设AD＝y，BF＝FG＝DG＝x，
∴＝，
解得：y＝x，
∵AD2＝DG2+AG2，
∴（x）2＝x2+82，
解得：x＝4，
∴BD＝3×4＝12，
∵HE＝8，CH＝4，
∴EC＝＝4．
22．解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AED＝∠ACB，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）由（1）可得△ADE∽△ABC，
又∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∴△ADE与△ABC的周长之比＝＝．
23．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵BE＝CF，
∴EF＝BC＝AD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴ME＝MF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，
∵∠B＝∠AME＝∠DMN，
∴∠ADC＝∠DMN，
∴△ADN∽△DMN，
∴＝，
∵DM＝ME，
∴＝，
∴ND ME＝AD MN．
24．解：（1）∵BD⊥BE，
∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠E＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1＝∠E，
∵在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AB＝CE，
∴AC＝AB+BC＝AD+CE；
（2）如图，过点Q作QF⊥BC于F，
则△BFQ∽△BCE，
∴，
即 ，
∴QF＝BF，
∵DP⊥PQ，
∴∠APD+∠FPQ＝180°﹣90°＝90°，
∵∠APD+∠ADP＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ADP＝∠FPQ，
又∵∠A＝∠PFQ＝90°，
∴△ADP∽△FPQ，
∴，
即，
∴5AP﹣AP2+AP BF＝3 BF，
整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）＝0，
∵点P与A，B两点不重合，
∴AP≠5，
∴AP＝BF，
由△ADP∽△FPQ得，，
∴．